3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)

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1 Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica das matrizes: a) I 1 b) O 5 3 c) I n, n N d) O m n, m, n N 2. A matriz A = está em forma de escada? E está em forma condensada? 3. Diga qual o número minímo de operações elementares em linhas necessárias para obter uma forma condensada da matriz B = Reduza a forma de escada (pelo método de eliminação de Gauss) e diga qual é a característica de cada uma das seguintes matrizes a) b)

2 AL 21/ Em cada alínea indique, se possível, duas matrizes A e B, de tipo 3 4 e com característica 2, tais que: i) car(a + B) = ii) car(a + B) = 1 iii) car(a + B) = 2 iv) car(a + B) = 3 v) car(a + B) = 4 vi) car(a + B) = 5 Nos casos onde não for possível encontrar tais matrizes explique porquê. 6. Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: a) Uma das operações elementares em linhas de matrizes consiste em multiplicar todos os elementos de uma linha por um número qualquer. b) Substituir uma linha de uma matriz pela soma dessa linha com outra é uma operação elementar nas linhas da matriz. c) Uma matriz com os elementos todos diferentes de zero tem a característica igual ao número de linhas. d) Uma matriz triangular superior está sempre em forma de escada. e) A matriz nula de qualquer tipo é uma matriz em forma de escada. f) A matriz nula tem característica zero. g) Se uma matriz não é nula então a sua característica é diferente de zero. 7. Para cada par de números reais (t, b) considere a matriz [ ] A t,b =. b t Diga qual é a característica de A t,b em função de (t, b). 8. Para cada número real t considere a matriz [ ] A t = t Diga qual é a característica de A t em função de t.

3 AL 21/ Para cada número complexo t considere a matriz [ ] A t = t Diga qual é a característica de A t em função de t. 1. Sendo A α = 4 4 α 2 α 2, discuta a característica de A α em termos do parâmetro α R. Resolução do exercício 1 : Em primeiro lugar aplica-se o método de eliminação de Gauss à matriz: α 2 α 2 L1 L2 L4 2L α 2 α 2 4. α α 2 α 2 L3 4L α 2 α 2 4 Se 4 α 2 e α 2 a matriz está em forma de escada e tem 4 pivots e logo tem característica 4. Temos então de estudar os casos em que 4 α 2 = ou α 2 =. A condição α 2 = e 4 α 2 é impossível. Se 4 α 2 = então α = 2 ou α = 2. Para α = 2, substituindo na última matriz, obtemos 1 1 1, que é uma matriz em forma de escada com característica 2. Se 4 α 2 = e α = 2, substituindo na última matriz, obtemos que não é uma matriz em forma de escada, mas que se verifica imediatamente ter característica 3.,

4 AL 21/211 4 Logo a característica de A α é : 2 se α = 2 car(a α ) = 3 se α = 2 4 se α ±2 Soluções: 1.a) 1, b) c) n, d). 2. Está em forma de escada mas não está em forma condensada. 3. Duas (multiplicar a segunda linha por 1 6 eliminar o 2 acima). e usar o pivot da segunda linha para 4. A matriz da alínea a) está já em forma de escada e tem característica 3. Por redução da matriz em b) à forma de escada verifica-se que tem característica No caso da alínea v) e vi) não há exemplos porque a característica de uma matriz nunca é maior do que o seu número de linhas (e colunas). Nos restantes casos há muitos exemplos possíveis. Note -se que, como a única matriz de tipo m n que tem característica é a matriz nula desse tipo, na alínea i) qualquer que seja a matriz A escolhida tem de se ter B = A. Uma resposta possível é 1 1 definir A = 1 e escolher a matriz B como se segue: 1 1 i) B = 1 ; 1 ii) B = 1 ; iii) B = A; 1 iv) B = 1 6. a) É falso (porque multiplicar uma linha por não é uma operação elementar nas linhas de uma matriz). 6.b) É verdade (por definição das operações elementares).

5 AL 21/ c) É falso. Por exemplo a matriz diferentes de e característica 1. [ 1 6.d) É falso. Por exemplo a matriz = 1 em forma de escada. 6. e) Verdade. 6. f) Verdade. 6. g) Verdade tem três linhas, todos os elementos ] é triangular superior mas não está 7. Para quaisquer valores de b e t a matriz está em forma de escada e terá dois pivots se b ou t e um só se b = t =, donde a resposta é { 2 se (t, b) (, ) car(a t,b ) = 1 se (t, b) = (, ) 8. Para qualquer número real t, a matriz A t está em forma de escada. Como o polinómio x não tem raízes reais, t para todo o número real t. Logo a característica de A t é 2, t R. 9. Neste caso a resposta é diferente porque o polinómio x tem duas raízes complexas: i, i. A resposta é { 2 se t i e t i car(a t ) = 1 se t = i ou t = i