x 1 + b a 2 a 2 : declive da recta ;

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1 - O que é a Álgebra Linear? 1 - É a Álgebra das Linhas (rectas). Equação geral das rectas no plano cartesiano R 2 : a 1 x 1 + a 2 = b Se a 2 0, = a 1 a 2 x 1 + b a 2 : m = a 1 : declive da recta ; a 2 p = b : ordenada na origem. a 2 Rectas paralelas : mesmo declive Rectas coincidentes : mesmo declive mesma ordenada na origem. Resolução de sistemas de 2 equações com 2 incógnitas } Sistema possível e determinado : solução = ponto de intersecção Sistema impossível : rectas paralelas { Intersecção de rectas Sistema possível e indeterminado : infinitas soluções rectas coincidentes

2 Resolução álgébrica dos sistemas 2 Método de GAUSS { a11 x 1 + a 12 = b 1 a 21 x 1 + a 22 = b 2 Se a 11 0 : x 1 = a 12 + b 1 a 11 a 11 (a 11 a 22 a 12 a 21 ) = a 11 b 2 a 21 b 1 a 11 a 22 a 12 a 21 = a 11 a 12 a 21 a 22 = : determinante. Se 0 : Se = 0 : x 1 = a 22b 1 a 12 b 2 = a 11b 2 a 21 b 1 solução única; sistema possível e determinado (i) a 11 b 2 a 21 b 1 0 (sistema impossível) ; (ii) a 11 b 2 a 21 b 1 = 0 arbitrária (livre) x 1 = a 12 a 11 + b 1 a 11 (infinitas soluções; sistema possível e indeterminado)

3 Interpretação Dinâmica dos sistemas 3 Transformações Lineares { a11 x 1 + a 12 = b 1 a11 a 12 b1 = a 21 x 1 + a 22 = b 2 a 21 a 22 b 2 a11 a A = 12 : matriz, define uma a 21 a 22 A A aplicação ou transformação linear : ( ( λ A : R 2 R 2 x 1 : = A x 2 ) y1 + y 2 ) = λa = A Resolver o sistema : Se 0 : + A y1 y 2 (λ R : escalar) a22 a 12 = A 1 b1 b 2 b1? = 1 a 21 a }{{ 11 } A 1 b 2

4 O que é um CORPO? 4 Um sistema de números sobre os quais é possível efectuar as quatro operações aritméticas : adição, multiplicação, subtracção e divisão. EXEMPLOS : 1) Os números racionais :Q. 2) Os números reais :R. 3) O corpo binário : F 2 = {0, 1} (bits). 4) Inteiros módulo p : F p = {0, 1, 2,..., p 1}. 5) Os números complexos : C = { a + b 1 : a, b R }. DEFINIÇÃO : Chama-se corpo a um conjunto K de elementos a que chamamos números sobre os quais estão definidas duas operações: Soma : K K K ; Produto : K K K (x, y) x y (x, y) x y com as propriedades: (i) Comutatividade :x y = y x; x y = y x; (ii) Associatividade:(x y) z = x (y z) ; (x y) z = x (y z) ; (iii) Existem o, u K : x o = x; x u = x, x K; (o : zero; u : um); (iv) Para cada x K, existe x K : x ( x) = o Para cada x K, x o, existe x 1 K : x x 1 = u; ( x = simétrico de x ; x 1 = inverso de x); (v) Distributividade : (x y) z = (x z) (y z).

5 ( ) Sistemas de equações lineares 5 a 11 x 1 + a a 1j x j + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a a 2j x j + + a 2n x n = b a i1 x 1 + a i2 + + a ij x j + + a in x n = b i..... a m1 x 1 + a m2 + + a mj x j + + a mn x n = b m m equações ; n incógnitas : x 1,,..., x n i, j : a ij, x i, b j K (corpo : Q, R, C, F 2, F p,...) a ij = coeficiente de x j na equação i b 1,..., b m : termos independentes Se b 1 = b 2 = = b m = 0 : sistema homogéneo. Conjunto de soluções do sistema : S = {(x 1,,..., x n ) : x 1,,..., x n K e satisfazem ( )} S = : sistema impossível S = {( x 0 1,..., x 0 n)} sistema possível determinado S tem mais de um elemento: sistema possível indeterminado

6 Dois sistemas de equações lineares dizem-se 6 equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA I) Se multiplicarmos uma equação de um sistema por uma constante não nula, obtemos um sistema equivalente II) Se substituirmos uma equação do sistema pela sua soma com outra equação do mesmo, obtemos um sistema equivalente Sistemas equivalentes têm necessariamente o mesmo número de incógnitas, mas não forçosamente o mesmo número de equações Representações matriciais a 11 a 12 a 1j a 1n b Abreviada : a i1 a i2 a ij a in b i..... a m1 a m2 a mj a mn b m Algébrica ou Dinâmica : Ax = b a 11 a 12 a 1j a 1n x a i1 a i2 a ij a in = a m1 a m2 a mj a mn x n b 1 b 2.. b m

7 MÉTODO DE ELIMINAÇÃO OU REDUÇÃO 7 DE GAUSS ALGORITMO Passo 1 : Trocar as equações até que a Passo 2 : Usando a 11 como pivot, eliminar x 1 das restantes equações : Para cada i > 1 substituir a equação i pela sua soma com a 1 a equação multiplicada por a i1. a 11 Passo 3 : Detectar no sistema obtido a existência de equações degeneradas : (a) do tipo podem eliminar-se do sistema. Avançar para o Passo 4. (b) do tipo b com b 0, implicam imediatamente ser o sistema impossível. FIM Passo 4 : Repetir os Passos 1, 2 e 3 para o sistema formado por todas as equações, excluída a 1 a. Passo 5 : Repetir os Passos 1, 2, 3 e 4 até o sistema ficar em escada de linhas com r m e r n (claro!) a 11 a 12 a 1n b 1 a 2j 2 a 2n b a rj r a rn b r 1 < j 2 < < j r ; a 11 0, a 2j 2 0,..., a rj r 0. FIM

8 r = n DISCUSSÃO DO SISTEMA 8 : Sistema possível e determinado Solução : x n = b n x n 1 = a nn 1 a n 1n 1 ( b n 1 a n 1n x n ) escada acima x 1 = 1 (b 1 a 12 a 1n x n ) a 11 r < n : Sistema possível mas indeterminado Solução : n r incógnitas livres ; restantes r, correspondentes às colunas com pivots 1, j 2,..., j r, determinadas em função das livres 1 ( x jr = b a r a rj r +1 x ) j r +1 a rnx n rj r escada acima x 1 = 1 (b 1 a 12 a 1n x n ) a 11

9 ALGORITMO DE ELIMINAÇÃO COMPLETO 9 (GAUSS-JORDAN) Passo 6 : Usando a rj r 0 como pivot, eliminar x jr nas r 1 equações anteriores : Para cada i < r, substituir a equação i pela sua soma com a equação r multiplicada por a ij r. a rj r Passo 7 : Repetir o Passo 6 para o subsistema que resulta de excluir a equação r. Passo 8 : Repetir or Passos 6 e 7 até à 1 a equação. Passo 9 : Multiplicar cada uma das equações do sistema por a 1 11, 1 a 2j 2,..., a 1 rj r, respectivamente, reduzindo-o assim à forma 1 a a 1n b 1 1 a 2j a 2n b a rn b r Discussão/Solução do Sistema : Semelhante à anteriormente descrita indo escada acima da última para a 1 a equação.

10 ÁLGEBRA DAS MATRIZES 10 K corpo arbitrário Matriz função m n : A : {1,..., m} {1,..., n} K (i, j) A (i, j) = a ij Matriz quadro m n : a 11 a 1j a 1n... A m n = a ij i=1,...,m = a i1 a ij a in j=1,...,n... a m1 a mj a mn Igualdade de matrizes : A = a ij m n, A = a ij { A = A m = m ; n = n a ij = a ij, i, j Matriz-linha : L 1 n = l 11 l 12 l 1n c 11 Matriz-coluna : C m 1 = c 21. c m1 m n