Resolução de Sistemas Lineares. Método de Gauss. O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos:
|
|
- Matilde Mendes Andrade
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Resolução de Sistemas Lineares Método de Gauss O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos: Resolução de Sistemas Lineares Triangulares Procedimento de escalonamento Sob um ponto de vista mais conceitual, o Método de Gauss consiste em um algoritmo que surge naturalmente da questão sobre existência e unicidade de soluções de Sistemas Lineares envolvendo n equações e n incógnitas Para melhor entender esta observação, considere um sistema de equações lineares da forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn 1 x n 1 + a nn x n = b n (1) onde {a ij } 1 i,j n e {b i } 1 i n são coeficientes dados e os valores das incógnitas {x i } 1 i n são fixados pelas equações (1) Utilizando notação matricial nós reescrevemos este sistema na forma: a 11 a 12 a 1n 1 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n 1 a 2n x 2 b 2 a n1 a n2 a nn 1 a 1n x n = b n (2) As informações que definem as equações do sistema (ie os valores dos coeficientes a s e b s )podem ser organizados em uma única matriz E, a qual denominamos de matriz estendida: 1
2 E = a 11 a 12 a 1n 1 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n 1 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn 1 a 1n b n (3) A questão de existência e unicidade da solução de um sistema linear da forma (2) é facilmente respondida no caso particular em que o sistema tem a propriedade a ij = 0 se i > j (4) Sistemas com esta propriedade são denominados de T riangulares ou Escalonados e o sistema de equações (1) é da forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 22 x a 2n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a nn x n = b n (5) A solução de Sistemas Lineares com esta propriedade quando a ii 0; 1 i n, pode ser obtida pelo seguinte algoritimo recursivo: x n = [b n ]/a nn x n 1 = [b n 1 a n 1n x n ]/a n 1n 1 n x i = [b i a ik x k ]/a ii (6) k=i+1 n x 1 = [b 1 a 1k x k ]/a 11 Assim a existência e unicidade da solução é equivalente à condição: k=2 2
3 a ii 0; 1 i n (7) Observe que esta condição pode ser sintetizada na forma: D = 1 i n a ii 0 (8) O valor de D é chamado de Determinante Quando D = 0, o conjunto das colunas da matriz dos coeficientes A não constitui um conjunto de vetores Linearmente Independente de R n e neste caso o sistema é indeterminado se b R n é um vetor no subespaço das combinações lineares das colunas de A ou impossível se b nã pertence a este subespaço Em termos do processo iterativo do o sistema tem solução indeterminada se para as linhas em que a ii = 0, é possível escolher no x k ; k > i de forma que [b i n k=i+1 a ikx k ] = 0, caso contrário o sistema é impossível No caso mais geral em que a condição (4) não está satisfeita, a questão de existência e unicidade pode ser respondida considerando o procedimento de escalonamento descrito a seguir, o qual consiste em efetuar transformações na matriz estendida E de forma a obter uma nova matriz E cujo sistema linear associado é triangular e equivalente ao sistema original no sentido de que os conjuntos soluções coincidem Assim a existência e unicidade da solução do sistema original fica estabelecida pela existência e unicidade do sistema escalonado equivalente Procedimento Iterativo de Escalonamento 1 Primeira Iteração 11 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a i1 a 11 ; 1 < i n 3
4 12 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m i1 1 < i n: m i1 = a i1 a 11 1 < i n Como consequência da condensação pivotal, m i1 1 Observe também que os multiplicadores m i1 estão definidos desde que a 11 0, também como consequência da condensação pivotal, a 11 = 0 somente se todas as entradas na primeira coluna da matriz E forem nulas, o que ocorre somente se o sistema for indeterminado ou impossível 13 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m i1 (1a linha) com este procedimento obtemos uma nova matriz estendida em que as entradas na primeira coluna, a i1 ; i > 1, são nulas pois a i1 m i1 a 11 = a i1 a i1 a 11 a 11 = 0 2 Segunda Iteração 21 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a i2 a 22 ; 2 < i n 22 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m i2 2 < i n: 4
5 m i2 = a i2 a 22 2 < i n Como consequência da condensação pivotal, m i2 1 Observe também que os multiplicadores m i2 estão definidos desde que a 22 0, também como consequência da condensação pivotal, a 22 = 0 somente se todas as entradas na segunda colunas da matriz E com indices de linha i 2 forem nulas Como após a 1a iteração as entradas na primeira coluna para estas linhas são iguais a zero, a 22 = 0, após efetuada a condensação pivotal, implica em que o sistema é indeterminado ou impossível 23 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m i2 (2a linha) com este procedimento obtemos uma nova matriz estendida em que as entradas na segunda coluna, a i2 ; i > 2, são nulas pois a i2 m i2 a 22 = a i2 a i2 a 22 a 22 = 0 k Iteração k1 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a ik a kk ; k < i n k2 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m ik k < i n: m ik = a ik a kk k < i n 5
6 Como consequência da condensação pivotal, m ik 1 Observe também que os multiplicadores m ik estão definidos desde que a kk 0 e, também como consequência da condensação pivotal, a kk = 0 somente se todas as entradas na k-ésima colunas da matriz E com indices de linha i k forem nulas Como após as iterações anteriores as entradas nas colunas de 1 a k 1, para estas linhas são iguais a zero, a kk = 0, após efetuada a condensação pivotal, implica em que o sistema é indeterminado ou impossível k3 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m ik (k ésima linha) As transformações envolvidas na condensação pivotal (passos k1 do procedimento de escalonamento) são implementadas pela multiplicação de E por uma matriz de permutação simples P (ie multiplicação por uma matriz P com a propriedade de que p ij = 0 ou 1; em cada linha e em cada coluna de P existe apenas uma entrada não nula e na diagonal de P existe no máximo duas entradas nulas) Por exemplo a troca da linha i com a linha j é implementada por uma matriz de permutação em que p ij = p ji = 1 Matrizes P com estas propriedades tem inversa e P 1 = P, de forma que se x é tal que Ax = b então P Ax = P b e se y é tal que P Ay = P b então Ay = b Assim sistemas lineares Ax = b associadosà matriz estendida E e P Ax = P b associado à matriz estendida P E são equivalentes no sentido que seus conjuntos soluções coincidem As transformações envolvidas nas substituições de linhas (passos k3) são implementadas pela multiplicação de E por uma matriz S com as propriedades: s ii = 1; 1 i n existe apenas uma entrada não nula fora da diagonal de S Por exemplo a troca de linhas: 6
7 (i ésima linha) (i ésima linha) m ik (k ésima linha) é implementada multiplicando a matriz E por uma matriz S com s ik = m ik Observando que S = S 1 existe e é definida por: s ii = 1; 1 i n e existe apenas uma entrada não nula fora da diagonal de S ; s ik = m ik, podemos concluir que que se x é tal que Ax = b então SAx = Sb e se y é tal que SAy = Sb então Ay = b Portanto sistemas lineares Ax = b associadosà matriz estendida E e SAx = Sb associado à matriz estendida P E são equivalentes no sentido que seus conjuntos soluções coincidem Com estas observações podemos concluir que o sistema triangular obtido no final do processo de escalonamento é equivalente ao sistema original pois todas as transformações envolvidas são implementadas pela multiplicação por matrizes que possuem inversas assegurando a equivaleência dos conjuntos soluções 7
Métodos Numéricos - Notas de Aula
Métodos Numéricos - Notas de Aula Prof a Olga Regina Bellon Junho 2007 Introdução Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares,
Leia maisAgenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação
Agenda do Dia Aula 14 (19/10/15) Sistemas Lineares: Introdução Classificação Sistemas Lineares Sistemas lineares são sistemas de equações com m equações e n incógnitas formados por equações lineares. Um
Leia maisMatemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares
Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares
Leia maisMétodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)
Leia mais[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo
7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a
Leia maisFundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica
Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: determinantes e sistemas 13 e 27/06/14 Determinantes Def.: Seja M uma matriz quadrada de elementos reais, de
Leia maisResolução de Sistemas Lineares. Ana Paula
Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Aula Anterior 2 Decomposição LU 3 Decomposição LU com Pivotamento 4 Revisão Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Eliminação de Gauss Transforma
Leia maisVetores e Geometria Analítica
Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 23 de fevereiro de 2016 AVISO O propósito fundamental destes slides é servir como um guia para as aulas. Portanto eles não devem ser
Leia maisCálculo Numérico BCC760
Cálculo Numérico BCC760 Resolução de Sistemas de Equações Lineares Simultâneas Departamento de Computação Página da disciplina http://www.decom.ufop.br/bcc760/ 1 Introdução! Definição Uma equação é dita
Leia maisDisciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ. Sílvia Mara da Costa Campos Victer. Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas
Disciplina: Cálculo Numérico IPRJ/UERJ Sílvia Mara da Costa Campos Victer Aula 6 - Solução de Sistema de Equações Algébricas Métodos diretos: 1- Eliminação de Gauss com substituição recuada 2- Decomposição
Leia maisNotas para o Curso de Algebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009
Notas para o Curso de Álgebra Linear Il Dayse Haime Pastore 20 de fevereiro de 2009 2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares 5 11 Matrizes 6 12 Sistemas Lineares 11 121 Eliminação Gaussiana 12 122 Resolução
Leia maisSISTEMAS LINEARES. Solução de um sistema linear: Dizemos que a sequência ou ênupla ordenada de números reais
SISTEMAS LINEARES Definições gerais Equação linear: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x 1, x 2,..., x n, toda equação do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b. Os números a 11,
Leia maisSistemas Lineares Métodos Diretos
Sistemas Lineares Métodos Diretos Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga avalli@inf.ufes.br, luciac@inf.ufes.br March 19, 2018 Andrea M. P. Valli, Lucia Catabriga (UFES) DI-PPGI/UFES March 19, 2018 1 / 34
Leia maisINTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS. Solução de Sistemas Lineares
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Solução de Sistemas Lineares Introdução Uma variedade de problemas de engenharia pode ser resolvido através da análise linear; entre eles podemos citar: determinação do
Leia maisSistemas Lineares - Eliminação de Gauss
1-28 Sistemas Lineares - Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil 2-28
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 12 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 2 FATORAÇÃO LU Cálculo Numérico 3/37 FATORAÇÃO LU Uma fatoração LU de uma dada
Leia maisParte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares
Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,
Leia maisResolução de Sistemas Lineares. Ana Paula
Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes
Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 5 de fevereiro de 2014 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes
Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 27 de agosto de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina
Leia maisMétodos Matemáticos II
Sumário Métodos Matemáticos II Nuno Bastos Licenciatura em Tecnologias e Design Multimédia Escola Superior de Tecnologia de Viseu Gabinete 4 nbastos@mat.estv.ipv.pt http://www.estv.ipv.pt/paginaspessoais/nbastos.
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes
Resolução de sistemas de equações lineares: Fatorações de matrizes Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 27 de fevereiro de 2015 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares
universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]
Leia maisMatrizes e sistemas de equações algébricas lineares
Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)
Leia maisSistemas de equações lineares
DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Sistema de Equações Lineares 1 Sistema de Equações Lineares 2 com pivoteamento parcial 3 Método de Jacobi Método Gauss-Seidel Sistema de Equações Lineares n equações
Leia maisSistemas Lineares. Métodos Iterativos Estacionários
-58 Sistemas Lineares Estacionários Lucia Catabriga e Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo -
Leia maisNota importante: U é a matriz condensada obtida no processo de condensação da matriz
Decomposição P T LU A denominada decomposição P T L U é um processo que pode ser extremamente útil no cálculo computacional, na resolução de sistemas de equações lineares. Propriedade Seja A uma matriz
Leia maisCálculo Numérico. Resumo e Exercícios P1
Cálculo Numérico Resumo e Exercícios P1 Fórmulas e Resumo Teórico Parte 1 Aritmética de ponto flutuante Operar com o número de algarismos significativos exigido. Arredondar após cada conta. Método de escalonamento
Leia maisLaboratório de Simulação Matemática. Parte 6 2
Matemática - RC/UFG Laboratório de Simulação Matemática Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2017 2 [Cap. 6] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning, 2010. Thiago
Leia maisdecomposição de Cholesky.
Decomposição LU e Cholesky Prof Doherty Andrade - DMA-UEM Sumário 1 Introdução 1 2 Método de Eliminação de Gauss 1 3 Decomposição LU 2 4 O método de Cholesky 5 5 O Algoritmo para a decomposição Cholesky
Leia maisCÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano
CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 13 04/2014 Sistemas de Equações Lineares Parte 3 MÉTODOS ITERATIVOS Cálculo Numérico 3/44 MOTIVAÇÃO Os métodos iterativos
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares
MATEMÁTICA APLICADA Matrizes e Sistemas Lineares MATRIZES E SISTEMAS LINEARES. Matrizes Uma matriz de ordem mxn é uma tabela, com informações dispostas em m linhas e n colunas. Nosso interesse é em matrizes
Leia maisResolução de Sistemas Lineares. Ana Paula
Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Aula Anterior 2 3 Revisão Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Aula Anterior Decomposição LU A matriz de coeficientes é decomposta em L e U L é uma matriz
Leia maisAlgoritmos Numéricos 2 a edição
Algoritmos Numéricos 2 a edição Capítulo 2: Sistemas lineares c 2009 FFCf 2 2.1 Conceitos fundamentais 2.2 Sistemas triangulares 2.3 Eliminação de Gauss 2.4 Decomposição LU Capítulo 2: Sistemas lineares
Leia maisModelagem Computacional. Parte 6 2
Mestrado em Modelagem e Otimização - RC/UFG Modelagem Computacional Parte 6 2 Prof. Thiago Alves de Queiroz 2/2016 2 [Cap. 6 e 7] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Numerical Analysis (9th ed). Cengage Learning,
Leia maisGuia-1. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn
Guia-1 Revisão de Matrizes, Determinantes, Vetores e Sistemas Lineares SMA00 - Complementos de Geometria e Vetores Estagiária PAE: Ingrid Sofia Meza Sarmiento 1 Introdução Este texto cobre o material sobre
Leia maisAULA 8- ÁLGEBRA MATRICIAL VERSÃO: OUTUBRO DE 2016
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS MATEMÁTICA 01 AULA 8- ÁLGEBRA MATRICIAL VERSÃO: 0.1 - OUTUBRO DE 2016 Professor: Luís Rodrigo E-mail: luis.goncalves@ucp.br
Leia maisx 1 + b a 2 a 2 : declive da recta ;
- O que é a Álgebra Linear? 1 - É a Álgebra das Linhas (rectas). Equação geral das rectas no plano cartesiano R 2 : a 1 x 1 + a 2 = b Se a 2 0, = a 1 a 2 x 1 + b a 2 : m = a 1 : declive da recta ; a 2
Leia maisA = Utilizando ponto flutuante com 2 algarismos significativos, 2 = 0, x (0)
MAP 22 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) Lista de Exercícios sobre Sistemas Lineares : Utilizando o método de eliminação de Gauss, calcule o determinante e a seguir a inversa da matriz abaixo. Efetue todos os
Leia maisUniversidade Federal do Espírito Santo - UFES
Universidade Federal do Espírito Santo - UFES Centro Universitário Norte do Espírito Santo - CEUNES Departamento de Matemática Aplicada - DMA Prof Isaac P Santos - 2018/1 Aula: Sistemas Lineares 1 Sistemas
Leia maisSistemas de Equações Lineares Algébricas
Sistemas de Equações Lineares Algébricas A 11 x 1 + A 12 x 2 +... + A 1n x n = b 1 A 21 x 1 + A 22 x 2 +... + A 2n x n = b 2............... A n1 x1 + A n2 x 2 +... + A nn x n = b n A 11 A 12... A 1n x
Leia maisn. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:
n. 5 Determinantes: Regra de Cramer e Triangulação Podemos classificar um sistema linear de três maneiras: SPD Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução; SPI Sistema possível indeterminado:
Leia mais1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos
FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21
Leia maisTema: Método da Eliminação de Gauss
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Computação GMA038 Introdução à Ciência da Computação Prof. Renato Pimentel Trabalho de implementação 25,0 pontos Prazo máximo para entrega: 15 de julho (até
Leia maisSISTEMAS LINEARES PROF. EDÉZIO
SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE SISTEMAS LINEARES PROF. EDÉZIO Considere o sistema de n equações e n incógnitas: onde E : a x + a x +... + a n x n = b E : a x + a x +... + a n x n = b. =. () E n : a n x + a n x
Leia maisétodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO
Leia maisAvaliação e programa de Álgebra Linear
Avaliação e programa de Álgebra Linear o Teste ( de Março): Sistemas de equações lineares e matrizes. Espaços lineares. o Teste ( de Maio): Matriz de mudança de base. Transformações lineares. o Teste (
Leia mais2. Sistemas lineares
2. Sistemas lineares 2.1 Conceitos fundamentais. 2.2 Sistemas triangulares. 2.3 Eliminação de Gauss. 2.4 Decomposição LU. 2.5 Decomposição de Cholesky. 2.6 Decomposição espectral. 2.7 Uso da decomposição.
Leia maisSistema de Equaçõs Lineares
Summary Sistema de Equaçõs Lineares Hector L. Carrion ECT-UFRN Agosto, 2010 Summary Equações Lineares 1 Sistema de Eq. Lineares 2 Eliminação Gaussiana-Jordan 3 retangular 4 5 Regra de Cramer Summary Equações
Leia maisAnálise multivariada
UNIFAL-MG, campus Varginha 6 de Setembro de 2018 Matriz inversa Já discutimos adição, subtração e multiplicação de matrizes A divisão, da forma como conhecemos em aritmética escalar, não é definida para
Leia mais(d) Seja W um espaço vetorial de dimensão 4 e sejam U e V subespaços de W tais que U V = 0. Assinale. Gabarito Pág. 1
UFRJ Instituto de Matemática Disciplina: Algebra Linear II - MAE 125 Professor: Bruno, Gregório, Luiz Carlos, Mario, Milton, Monique e Umberto Data: 15 de maio de 2013 Primeira Prova 1. Os valores de (a,
Leia maisUnidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 4 - Matrizes elementares, resolução de sistemas A Hefez e C S Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013 Nesta unidade, veremos
Leia maisSistemas Lineares. Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP. 4 de março de 2015
Sistemas Lineares Marina Andretta/Franklina Toledo ICMC-USP 4 de março de 2015 Marina Andretta/Franklina Toledo (ICMC-USP) sme0301 - Métodos Numéricos para Engenharia I 4 de março de 2015 1 / 15 Introdução
Leia maisPode-se mostrar que da matriz A, pode-se tomar pelo menos uma submatriz quadrada de ordem dois cujo determinante é diferente de zero. Então P(A) = P(A
MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES AULA 03: ÁLGEBRA LINEAR E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES TÓPICO 02: SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Considere o sistema linear de m equações e n incógnitas: O sistema S pode
Leia maisÁlgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017
º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz
Leia mais5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para
5 a Lista de Exercícios de Introdução à Álgebra Linear IMPA - Verão 2008 1. Encontre os autovalores, os autovetores e a exponencial e At para [ ] 1 1 1 1 2. Uma matriz diagonal Λ satisfaz a regra usual
Leia maisResolvendo algebricamente um PPL
Capítulo 6 Resolvendo algebricamente um PPL 6.1 O método algébrico para solução de um modelo linear A solução de problemas de programação linear com mais de duas variáveis, não pode ser obtida utilizando-se
Leia maisRevisão: Matrizes e Sistemas lineares. Parte 01
Revisão: Matrizes e Sistemas lineares Parte 01 Definição de matrizes; Tipos de matrizes; Operações com matrizes; Propriedades; Exemplos e exercícios. 1 Matrizes Definição: 2 Matrizes 3 Tipos de matrizes
Leia maisIntrodução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss
Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss Pedro Vasconcelos DCC/FCUP 2015 Pedro Vasconcelos (DCC/FCUP) Introdução à Programação Aula 18 Método de eliminação de Gauss 2015 1 / 23 Nesta
Leia maisEscalonamento. Sumário. 1 Pré-requisitos. 2 Sistema Linear e forma matricial. Sadao Massago a Pré-requisitos 1
Escalonamento Sadao Massago 2011-05-05 a 2014-03-14 Sumário 1 Pré-requisitos 1 2 Sistema Linear e forma matricial 1 3 Forma escalonada 3 4 Método de eliminação de Gauss (escalonamento) 5 5 A matriz inversa
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica
Leia maisSistemas Lineares - Decomposição LU
Sistemas Lineares - Decomposição LU Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES,
Leia maisUma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma:
Edgard Jamhour Uma equação linear com n variáveis tem a seguinte forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b onde a 1, a 2,..., a n e b são constantes reais. Um sistema de equações lineares é um conjunto
Leia maisGeometria anaĺıtica e álgebra linear
Geometria anaĺıtica e álgebra linear Francisco Dutenhefner Departamento de Matematica ICEx UFMG 22/08/13 1 / 24 Determinante: teorema principal Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear
Leia mais3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz. Definição 1 Sejam m e n dois números naturais.
3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.1. Conceito Elementar de Matriz Definição 1 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz real m n é um conjunto de mn números reais distribuídos por m linhas
Leia maisapontamentos Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica, 1 o semestre 2012/13
apontamentos Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica, 1 o semestre 2012/13 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice Índice 1 1 Matrizes,
Leia maisSistemas de Equações Lineares Algébricas
Sistemas de Equações Lineares Algébricas A x + A x +... + A n x n b A x + A x +... + A n x n b............... A n x + A n x +... + A nn x n b n A A... A n x b A A... A n x b.................. A n A n...
Leia maisCálculo Numérico. Aula 8 Sistemas de Equações Lineares / Parte /04/2014. Prof. Guilherme Amorim*
Cálculo Numérico Aula 8 Sistemas de Equações Lineares / Parte 1 2014.1-29/04/2014 Prof. Guilherme Amorim* gbca@cin.ufpe.br * Com algumas modificações pelo Prof. Sergio Queiroz Perguntas... O que é um sistema
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss - estratégias de pivotamento
Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss - estratégias de pivotamento Marina Andretta ICMC-USP 28 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e
Leia maisProblema 5a by
Problema 5a by fernandopaim@paim.pro.br Resolva o sistema linear por escalonamento S = x y z=1 x y z= 1 2x y 3z=2 Resolução Utilizaremos quatro métodos para ilustrar a resolução do sistema linear acima.
Leia maisSistemas Lineares e Matrizes
Sistemas Lineares e Matrizes Lino Marcos da Silva linosilva@univasfedubr Obs Este texto ainda está em fase de redação Por isso, peço a gentileza de avisar-me sobre a ocorrência de erros conceituais, gráficos
Leia maisApontamentos I. Álgebra Linear aulas teóricas. Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Apontamentos I Álgebra Linear aulas teóricas Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Índice
Leia maisSistemas de Equações Lineares
Capítulo 2 Sistemas de Equações Lineares 21 Generalidades Chamamos equação linear nas variáveis (incógnitas) x 1, x 2, x 3,, x n uma igualdade da forma a a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b Os
Leia maisÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de Equações Lineares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares 3 Forma
Leia maisMatriz, Sistema Linear e Determinante
Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, onde
Leia maisÁLGEBRA LINEAR AULA 2
ÁLGEBRA LINEAR AULA 2 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de 1 2 3 4 5 6 7 2 / 14 matrizes Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução
Leia maisNotas em Álgebra Linear
Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos,
Leia maisGeometria Analítica e Álgebra Linear
UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra
Leia maisProfs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados Aula 07 Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. Conteúdo 7. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares...2 7.1. Matrizes...2
Leia maisLista de Exercícios 05 Álgebra Matricial
Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial - 016.1 1. Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y + 3 3 w (a) 3.X = (b) = 6 9 4 0 6 z. Uma rede de postos de combustíveis
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos
Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram
Leia maisPESQUISA OPERACIONAL
PESQUISA OPERACIONAL Uma breve introdução. Prof. Cleber Almeida de Oliveira Apostila para auxiliar os estudos da disciplina de Pesquisa Operacional por meio da compilação de diversas fontes. Esta apostila
Leia maisÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS
ÁLGEBRA LINEAR AULA 5 MÉTODOS ITERATIVOS Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 27 1 2 3 4 2 / 27 Seja o sistema linear Ax = b, onde: A: Matriz dos coeficientes, n n;
Leia maisRenato Martins Assunção
Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica 2012 1 / 84 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear
Leia maisALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1
ALGEBRA LINEAR 1 RESUMO E EXERCÍCIOS* P1 *Exercícios de provas anteriores escolhidos para você estar preparado para qualquer questão na prova. Resoluções em VETORES Um vetor é uma lista ordenada de números
Leia maisUnidade 3 - Transformações elementares de matrizes, matriz escaloconada. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa
MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 3 - Transformações elementares de matrizes, matriz escaloconada A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Matrizes
Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,
Leia maisGAAL - Primeira Prova - 06/abril/2013. Questão 1: Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z.
GAAL - Primeira Prova - 06/abril/203 SOLUÇÕES Questão : Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x, y e z. x + ay z = x + y + 2z = 2 x y + az = a Determine todos os valores de a para os quais
Leia maisétodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES (Continuação) Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CENTRO
Leia maisÁlgebra Linear 1 o Teste
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática 1 o Semestre 2008-2009 6/Janeiro/2008 Prova de Recuperação Álgebra Linear 1 o Teste MEMec, MEAer Nome: Número: Curso: Sala: A prova que vai realizar
Leia maisSolução de sistemas de equações lineares
Cálculo Numérico Solução de sistemas de equações lineares Prof Daniel G Alfaro Vigo dgalfaro@dccufrjbr Departamento de Ciência da Computação IM UFRJ Parte I Métodos diretos Motivação: Circuito elétrico
Leia maisResolução de Sistemas de Equações Lineares
1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Resolução de Sistemas de Equações
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocabaunespbr Matrizes Inversas 1 Matriz Inversa e Propriedades 2 Cálculo da matriz
Leia maisSumário. Capítulo 1 - Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1
Sumário Capítulo 1 - Conhecendo os Vários Tipos de Problema... 1 Capítulo 2 - Problemas sobre Correlacionamento... 7 2.1. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos...7 2.2. Considerações Finais sobre
Leia maisIntrodução aos Métodos Numéricos. Instituto de Computação UFF
Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas
Leia maisÍNDICE MATRIZES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA
ÍNDICE MATRIZES Definição 1 Igualdade 2 Matrizes Especiais 2 Operações com Matrizes 3 Classificação de Matrizes Quadradas 9 Operações Elementares 11 Matriz Equivalente por Linha 11 Matriz na Forma Escalonada
Leia maisÁlgebra Linear. André Arbex Hallack
Álgebra Linear André Arbex Hallack 2017 Índice 1 Sistemas Lineares 1 1.1 Corpos............................................. 1 1.2 Sistemas de Equações Lineares............................... 3 1.3 Sistemas
Leia maisFACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA Exercícios vários. Considere o conjunto C =, e a operação binária definida por a b = min(a, b). O conjunto C é, relativamente
Leia maisAulas práticas de Álgebra Linear
Ficha Matrizes e sistemas de equações lineares Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores o semestre 6/7 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento
Leia mais