4 APLICAÇÕES LINEARES Núcleo e Imagem. Classificação de um Morfismo... 52

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1 Tópicos de Álgebra Linear Isabel Maria Teixeira de Matos Secção de Matemática Departamento de Engenharia de Electrónica e Telecomunicações e de Computadores (DEETC-ISEL) 1 de Dezembro de 2007

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3 Conteúdo 1 MATRIZES Conceitos Gerais Álgebra das Matrizes Operações elementares. Característica de uma matriz Sistemas de Equações Lineares Inversa de uma Matriz Quadrada DETERMINANTES Conceitos Gerais Definição de Determinante Propriedades dos Determinantes O Teorema de Laplace Aplicações dos Determinantes Cálculo da Inversa de uma Matriz Resolução de Sistemas Lineares Possíveis e Determinados ESPAÇOS VECTORIAIS Definição e Exemplos Dependência e Independência Lineares Característica de uma Matriz Subespaços vectoriais Subespaço gerado Base e dimensão Matriz de Mudança de Base APLICAÇÕES LINEARES Núcleo e Imagem. Classificação de um Morfismo ii

4 4.2 Soma, Multiplicação por Escalar, Composta e Inversa de Aplicações Lineares Matriz de uma Aplicação Linear Relação entre as diferentes Matrizes de uma Aplicação Linear VECTORES e VALORES PRÓPRIOS Definição e Exemplos Subespaços Próprios Endomorfismos Diagonalizáveis iii

5 Capítulo 1 MATRIZES 1.1 Conceitos Gerais Definição 1 Seja F um conjunto não vazio onde estão definidas duas operações binárias 1 : uma adição e uma multiplicação, denotadas por + e, respectivamente. Diz-se que (F, +, ) é um corpo se: (A1) A adição é comutativa: x, y F x + y = y + x; (A2) A adição é associativa: x, y, z F (x + y) + z = x + (y + z); (A3) A adição tem elemento neutro 0: 0 F x F x + 0 = 0 + x = x; (A4) Todo o elemento x de F tem simétrico ( x) em F: x F ( x) F x + ( x) = ( x) + x = 0. (M1) A multiplicação é comutativa: x, y F x y = y x; (M2) A multiplicação é associativa: x, y, z F (x y) z = x (y z); (M3) A multiplicação tem elemento neutro 1: 1 F x F x 1 = 1 x = x; (M4) Todo o elemento x de F \ {0} tem inverso x 1 em F \ {0}: x F \ {0} x 1 F \ {0} x x 1 = x 1 x = 1. (D) A multiplicação é distributiva em relação à adição: x, y, z F x (y + z) = x y + x z. Observações 1 Identifica-se o corpo (F, +, ) com o conjunto suporte F, sabendo que estão sempre implícitas as duas operações nele definidas. 2 A adição e a multiplicação usuais de números reais verificam as propriedades referidas na Definição 1, pelo que, R é um corpo o corpo dos números reais. 1 Uma operação binária em F é uma aplicação que faz corresponder a cada par ordenado de elementos de F um (e um só) elemento deste conjunto. 1

6 3 A adição e a multiplicação usuais de números complexos satisfazem as propriedades referidas na Definição 1, por isso, C é um corpo o corpo dos números complexos F = {0, 1} com as operações e é um corpo o menor dos corpos finitos. Designa-se por Z 2 e é o corpo dos inteiros módulo 2. 5 Neste capítulo, bem como em todos os que se seguem, trabalhar-se-á nos corpos R e C (com as operações usuais). No entanto, toda a teoria apresentada desenvolve-se da mesma maneira em qualquer corpo. Definição 2 Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz do tipo m n (com elementos num corpo) é um quadro de mn números (desse corpo) distribuidos em m linhas e n colunas. A cada um dos números que forma a matriz dá-se o nome de entrada. Para referenciar (e localizar) uma entrada utilizam-se dois índices, por esta ordem: o índice de linha e o índice de coluna. Uma matriz real (resp.: complexa) é uma matriz cujas entradas são números reais (resp.: complexos). Exemplo A = é uma matriz do tipo 1 4 (matriz linha). A sua entrada (1, 3) é ( 1). Mais geralmente, qualquer matriz do tipo 1 n diz-se uma matriz linha. 3 B = 2 é uma matriz do tipo 3 1 (matriz coluna). A sua entrada (2, 1) é 2. 1 A qualquer matriz do tipo m 1 chama-se matriz coluna C = é uma matriz do tipo 2 3 e é uma matriz rectangular (2 3) Em geral, qualquer matriz do tipo m n, com m n, diz-se uma matriz rectangular. 1 1 D = é uma matriz do tipo 2 2. Também se diz uma matriz quadrada 0 4 de ordem 2. Mais geralmente, qualquer matriz do tipo n n denomina-se matriz quadrada de ordem n. 2

7 Notação Se A é uma matriz do tipo m n escreve-se, a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn ou, abreviadamente, A = a ij m n, onde i {1,, m} é o índice de linha e j {1,, n} é o índice de coluna. O conjunto das matrizes do tipo m n com elementos em R (resp.: C) denota-se por R m n (resp.: C m n ), R m,n (resp.: C m,n ) ou ainda por M m n (R) (resp.: M m n (C)). Definição 3 Uma submatriz de uma matriz A, do tipo m n, é uma matriz do tipo p q, com 1 p m, 1 q n, obtida por supressão de alguma(s) linha(s) e/ou alguma(s) coluna(s)de A. Notação Se i 1 < i 2 <... < i p são elementos distintos de {1, 2,..., m} e j 1 < j 2 <... < j q são elementos distintos de {1, 2,..., n} Ai 1,..., i p j 1,..., j q representa a submatriz de A formada pelos elementos que pertencem à intersecção das linhas i 1, i 2,..., i p e das colunas j 1, j 2,..., j q de A; A(i 1,..., i p j 1,..., j q ) representa a submatriz de A que se obtém eliminando as linhas i 1, i 2,..., i p e as colunas j 1, j 2,..., j q de A. Exemplo Seja A = Então A1, 3 1, 2, 4 = = A(2 3) e A2 1, 3 = 5 7 = A(1, 3 2, 4). Definição 4 Seja A = a ij n n uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos diagonais (ou principais) de A são os n elementos que têm índices de linha e coluna iguais, ou seja, a 11, a 22,..., a nn. Ao seu conjunto dá-se o nome de diagonal principal de A. A sua soma constitui o traço de A, que se denota por tr(a) (tr(a) = a 11 + a a nn ). A matriz diz-se: Triangular superior se i > j a ij = 0 (são nulas todas as entradas abaixo da 3

8 diagonal principal); Triangular inferior se i < j a ij diagonal principal); Triangular se for triangular superior ou triangular inferior; = 0 (são nulas todas as entradas acima da Diagonal se i j a ij = 0 (são nulas todas as entradas não diagonais); Escalar se i j a ij = 0 (é Diagonal) e c F i a ii = c (c constante); Identidade se i j a ij = 0 e i a ii = 1 (é Escalar com elemento diagonal igual a 1). Denota-se por I n e é também chamada Identidade de ordem n. Frequentemente, escreve-se I n = δ ij n n, onde δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 se i j (δ ij é o chamado símbolo de Krönecker). Nula se i j a ij = 0 (é Escalar com elemento diagonal igual a 0). Denota-se por 0 n e é também chamada matriz nula de ordem n. Observe-se que uma matriz do tipo m n com todas as entradas iguais a zero também se designa por matriz nula, denotando-se por 0 m n. Exemplo A = é triangular superior B = é triangular inferior C = é diagonal D = é escalar Definição 5 Seja A = a ij uma matriz do tipo m n. A matriz transposta de A, A t, é a matriz do tipo n m cuja entrada (j, i) é a ij. Exemplo 1 A = 1 A t =

9 2 B = B t = C = C t = D = D t = E = E t = Propriedade Resulta facilmente da definição que, para qualquer matriz A, (A t ) t = A. 1.2 Álgebra das Matrizes Igualdade Sejam A = a ij, B = b ij matrizes do mesmo tipo. A = B se e só se i, j a ij = b ij. Adição Sejam A = a ij, B = b ij matrizes do tipo m n. A matriz soma A + B é uma matriz do tipo m n, A + B = c ij, onde i, j c ij = a ij + b ij. Propriedades Sejam A, B, C matrizes do tipo m n. Então: (A1) A + B = B + A; (A2) (A + B) + C = A + (B + C); (A3) Sendo 0 m n a matriz nula (matriz com todas as entradas nulas) do tipo m n, A + 0 = 0 + A = A; (A4) Se A é a matriz do tipo m n cujas entradas são simétricas das entradas de A, A = a ij, A + ( A) = ( A) + A = 0 m n ; 5

10 (At) (A + B) t = A t + B t. Definição de Subtracção A B = A + ( B) = s ij, onde i, j s ij = a ij b ij. Multiplicação de uma matriz por um escalar Sejam A uma matriz real (complexa) do tipo m n, A = a ij e λ R (C). O produto escalar de A por λ, λa, é uma matriz do tipo m n, λa = d ij, onde i, j d ij = λa ij. Propriedades Sejam A, B matrizes do tipo m n com entradas em R (C) e α, β R (C). Então: (Pe1) α(a + B) = αa + αb; (Pe2) (α + β)a = αa + βa; (Pe3) (αβ)a = α(βa); (Pe4) 1A = A; (Pet) (αa) t = αa t. Observação Se E é uma matriz escalar de ordem n com elemento diagonal a, então E = ai n. Uma expressão do tipo i λ ia i chama-se (como veremos no Capítulo 3) uma combinação linear das matrizes A i. Exemplo Sejam A = A = e B = Multiplicação de matrizes, 2B = 3A 2B = 3A + ( 2B) =. Calculemos 3A 2B e Sejam A uma matriz do tipo m n, A = a ij e B uma matriz do tipo n p, B = b jk. O produto de A por B, AB, é a matriz do tipo m p, AB = p ik onde, i, k p ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk. Observações 1 O produto de duas matrizes só é possível se o número de colunas do primeiro factor. 6

11 for igual ao número de linhas do segundo factor. 2 A matriz produto tem o número de linhas do primeiro factor e o número de colunas do segundo factor. 3 Cada entrada da matriz produto é soma de multiplicações de todos os elementos de uma linha do primeiro factor pelos elementos convenientes (correspondentes) de toda uma coluna do segundo factor. Propriedades Sejam A, B, C matrizes reais (complexas) compatíveis para a multiplicação (isto é, tais que (AB)C existe) e λ um número real (complexo). Então: (P1) (AB)C = A(BC); (P2) λ(ab) = (λa)b = A(λB); (P3) A m n I n = I m A m n = A. Em particular, se A é uma matriz quadrada de ordem n, AI n = I n A = A; (Pt) (AB) t = B t A t. Sejam B e C matrizes do mesmo tipo e A uma matriz tal que os produtos que se seguem são possíveis. Então: = (PDe) A(B + C) = AB + AC; (PDd) (B + C)A = BA + CA. Exemplo a) Sejam A = e B = AB = 1 0 = Calculemos AB e BA. 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = ( 3) ( 1) ( 3) ( 1) ( 3) e BA = 1 0 = ( 1) ( 1) + 2 ( 3) ( 1) = = ( 1) ( 1) + 1 ( 3) ( 1)

12 b) Sejam A = c) Sejam A = e B =. Calculemos AB e BA AB = = e BA = = e B = 1 0. Calculemos AB e BA AB = = e BA = = Observações 1 Do exemplo anterior conclui-se que o produto de matrizes não é comutativo, isto é, em geral, AB BA. Se A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que AB = BA diz-se que A e B são permutáveis. É o caso das matrizes em c). 2 Também do exemplo anterior pode concluir-se que, na multiplicação de matrizes, não é válida a lei do anulamento do produto. Com efeito, em b), as matrizes A e B consideradas são ambas não nulas mas AB é a matriz nula. Definição 6 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de expoente inteiro não negativo de A definem-se da seguinte forma: { A 0 = I n A m+1 = A m A, m 0. Definição 7 Seja A = a ij uma matriz quadrada. Diz-se que A é: simétrica se A t = A, ou seja, se i, j a ji = a ij ; anti-simétrica (ou hemi-simétrica) se A t = A, ou seja, se i, j a ji = a ij. 8

13 Observações Resulta imediatamente da definição que: uma matriz simétrica tem elementos diagonais arbitrários e elementos opostos em relação à diagonal principal (correspondem às entradas (i, j) e (j, i) da matriz) iguais; uma matriz real ou complexa anti-simétrica tem elementos diagonais nulos 2 elementos opostos em relação à diagonal principal simétricos. Exemplo A matriz A = é simétrica e B = como facilmente se comprova calculando as transpostas respectivas e é anti-simétrica Definição 8 Seja A = a ij uma matriz complexa do tipo m n. A matriz conjugada de A, A, é a matriz complexa do tipo m n cujos elementos são os complexos conjugados dos elementos de A : A = a ij ; a matriz transconjugada de A, A, é a transposta da matriz conjugada de A (ou, o que é o mesmo, a conjugada da transposta de A): A = (A) t = A t. Definição 9 Seja A = a ij uma matriz complexa quadrada. Diz-se que A é: hermítica (hermitiana) se A = A, ou seja, se i, j a ji = a ij ; hemi-hermítica (hemi-hermitiana, anti-hermítica) se A = A, ou seja, se i, j a ji = a ij. Observações Resulta da definição que: uma matriz hermítica tem elementos diagonais reais e elementos opostos em relação à diagonal conjugados; uma matriz hemi-hermítica tem elementos diagonais nulos e/ou imaginários puros e elementos opostos em relação à diagonal principal com mesma parte imaginária e partes reais simétricas. Exemplo 2 Isto não é válido em todos os corpos. Por exemplo, no corpo Z 2 da observação 4 da página 2, tem-se = 0, donde 1 = 1 e 1 0 9

14 A matriz A = i 3i 2 i 0 4 é hermítica e B = 3i 4 1 3i 4 0 hemi-hermítica como facilmente se comprova calculando as transconjugadas respectivas. Observações i 2 + i 3i 2 + i 2i 4 A transconjugação goza de propriedades análogas às da transposição, excepto para a transconjugação de uma multiplicação por escalar. Tem-se (admitindo que as matrizes têm tipos adequados para efectuar as operações indicadas e que α C): (A ) = A; (A ± B) = A ± B ; (AB) = B A ; (αa) = αa. é 1.3 Operações elementares. Característica de uma matriz Definição 10 São operações elementares sobre as linhas (colunas) de uma matriz: (OE1) Trocar duas linhas (colunas); (OE2) Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar diferente de zero; (OE3) Somar a uma linha (coluna) outra multiplicada por um escalar qualquer. Exemplo Seja A = Troca das linhas 1 e 3 : A L 1 L 3 Multiplicação da linha 1 por 1 2 : A L 1 = 1 2 L Soma da linha 2, multiplicada por ( 1), à linha 3 : A L 3 =L 3 L

15 Definição 11 Diz-se que uma matriz tem as linhas em escada se: (i) As linhas nulas (caso existam) ocorrem depois das linhas não nulas; (ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha (pivot) situa-se numa coluna mais à esquerda que todos os pivots das linhas seguintes (ou seja, o índice de coluna do pivot de cada linha é menor que os índices de coluna dos pivots das linhas seguintes). Exemplo As matrizes A = escada e B = têm as linhas em Definição 12 A característica de uma matriz com as linhas em escada é igual ao número de linhas não nulas da matriz. Proposição Seja A uma matriz qualquer. Então A pode ser transformada numa matriz do mesmo tipo com as linhas em escada efectuando operações elementares sobre as suas linhas. Definição 13 Seja A uma matriz qualquer. A característica de A, que se denota por c(a) ou r(a), é igual à característica da matriz com linhas em escada que se obtém efectuando operações elementares sobre as linhas e/ou colunas de A. Exemplo A = L 1 = 1 2 L L 3 =L 3 L L L =L 3 2L =L 5 L 3 L =L L 3 11

16 L 4 2 = 2 7 L , pelo que, c(a) = B = L 1 L 2, por isso, c(b) = Propriedades da Característica de uma Matriz Sejam A F m n e α F \ {0}. Então: (C1) c(a) m e c(a) n; (C2) c(αa) = c(a); (C3) Se B F n p, c(ab) c(a) e c(ab) c(b); (Ct) c(a t ) = c(a). L 3 =L 3+L 1 L 5 =L 5 12L L 3 =L 3+L Sistemas de Equações Lineares Definição 14 Um sistema de m equações lineares a n incógnitas x 1,..., x n é da forma (dita canónica) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m.., (1.1) onde a ij, b i R(C) i = 1,..., m, j = 1,..., n são, respectivamente, os coeficientes e os termos independentes do sistema. 12

17 Definição 15 Associadas ao sistema (1.1) estão as seguintes matrizes: a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n...., a m1 a m2 a mn que é a matriz simples ou matriz dos coeficientes do sistema; X = x 1 x 2. x n, que é matriz coluna das incógnitas; B = b 1 b 2. b m, que é matriz coluna dos termos independentes; a 11 a 12 a 1n b 1 a A B = 21 a 22 a 2n b , a m1 a m2 a mn b m que é a matriz ampliada ou matriz completa do sistema. Notação Matricial do Sistema (1.1): AX = B. (1.2) Definição 16 Chama-se solução do sistema (1.1) a uma lista de números reais (complexos) (c 1, c 2,..., c n ) tal que, substituindo cada x i pelo respectivo valor c i (i = 1,..., n), as m equações do sistema transformam-se em proposições verdadeiras. Definição 17 O sistema (1.1) diz-se possível se tem, pelo menos, uma solução e impossível caso contrário. Sendo possível, (1.1) é determinado quando tem uma única solução e indeterminado quando tem mais de uma solução (se o corpo considerado for infinito, como é o caso do corpo dos reais e do corpo dos complexos, quando indeterminado, o sistema tem uma infinidade de soluções). 13

18 Definição 18 Dois sistemas de equações lineares com o mesmo número de incógnitas dizem-se equivalentes se têm as mesmas soluções. Proposição Dado o sistema (1.1), obtém-se um sistema equivalente quando se efectuam operações elementares sobre as linhas da sua matriz completa A B e/ou troca de colunas na sua matriz simples A (desde que se efectue a correspondente troca nas incógnitas respectivas). Observação De acordo com as Proposições e 1.4.1, qualquer sistema de equações lineares é equivalente a um sistema cuja matriz ampliada tem as linhas em escada. Proposição O sistema (1.2) é: impossível sse c(a) c(a B); possível determinado sse c(a) = c(a B) = n; possível indeterminado sse c(a) = c(a B) < n. Definição 19 Se o sistema (1.2) é possível, o número inteiro não negativo g = n c(a) chama-se grau de indeterminação do sistema. Exemplo 1 Consideremos o sistema x + y z = 2 x 2y + z = 5 x + 2y + z = 3. Vamos efectuar operações do tipo referido na Proposição na sua matriz ampliada até a transformarmos numa matriz com linhas em escada (fazemos a condensação de A B) L 3 =L 3+L L 2 =L 2 L L 3 =L 3+L Como c(a) = c(a B) = 3 o sistema é possível e determinado (SPD). Dado que a matriz com linhas em escada obtida é a matriz ampliada de um sistema equivalente ao dado, só temos que resolver agora x + y z = 2 3y + 2z = 7 2z =

19 x + y z = 2 3y + 2z = 7 2z = 8 x + y = y = 7 8 z = 4 x = 5 3 y = 1 3 z = 4 x + 2y + 3z = 0 2 Consideremos o sistema x + y + z = 10. Então y + 2z = A B = L 2 =L 2 L Como c(a) = 2 3 = c(a B) o sistema é impossível (SI).. L 3 =L 3+L 2 x + 2y + z + w = 4 3 Consideremos o sistema 2x + 4y z + 2w = 11. Então x + y + 2z + 3w = A B = L 3 =L 3 L L =L 2 2L 1 L 2 L Como c(a) = c(a B) = 3 < 4 o sistema é possível e indeterminado (SPI) de grau 1. x = 21 5w x + 2y + z + w = 4 x + 2y + w = 5 y = 8 + 2w y + z + 2w = 7 y + 2w = 8, w R. z = 1 3z = 3 z = 1 w = w x + y + z = 1 4 Consideremos o sistema x y + 2z = a. Vamos discuti-lo em função dos 2x + bz = 2 parâmetros reais a e b A B = a L 3 =L 3 2L a 1 L b 2 =L 2 L 1 L b 2 0 =L 3 L a b 3 1 a. 15

20 Discussão: Se b 3, c(a) = c(a B) = 3, a R, logo, SPD; b = 3 e a = 1, c(a) = c(a B) = 2 < 3, donde, SPI (de grau 1); b = 3 e a 1, c(a) = 2 3 = c(a B). Por isso, SI. Definição 20 Um sistema de equações lineares diz-se homogéneo se são nulos todos os seus termos independentes, isto é, se quando escrito matricialmente é da forma AX = 0. A todo o sistema de equações lineares AX = B está associado o sistema homogéneo AX = 0. Exemplo x + 2y + z + w = 4 O sistema homogéneo associado a 2x + 4y z + 2w = 11 x + y + 2z + 3w = 11 x + 2y + z + w = 0 2x + 4y z + 2w = 0. x + y + 2z + 3w = 0 é Observação Um sistema homogéneo é sempre possível pois admite sempre a solução nula. Se é determinado (basta que a característica da matriz simples coincida com o número n de incógnitas) essa é a sua única solução. Se é indeterminado (a característica da matriz simples é menor que o número de incógnitas), para além da solução nula (que existe sempre), admite soluções não nulas (recorde-se que o produto de duas matrizes não nulas pode ser nulo). Proposição Seja X p uma solução particular do sistema de equações lineares AX = B. Então, X 0 é solução do sistema se e só se existe uma solução X h do sistema homogéneo associado, AX = 0, tal que X 0 = X p + X h. Demonstração Por hipótese, AX p = B (uma vez que X p é uma solução particular de AX = B) ( ) Supondo que X 0 é (também) solução de AX = B, isto é, que AX 0 = B, provamos que X 0 X p é solução do sistema homogéneo associado. Tem-se, A(X 0 X p ) = AX 0 AX p = B B = 0, 16

21 logo, X h = X 0 X p é solução de AX = 0. ( ) Suponhamos que X h é uma solução do sistema homogéneo associado ao dado, AX = 0. Mostramos que X 0 = X p + X h é solução de AX = B. Temos, como queriamos. AX 0 = A(X p + X h ) = AX p + AX h = B + 0 = B, Observação Resulta da proposição anterior que, a solução geral de um sistema de equações lineares pode ser obtida somando a uma sua solução particular a solução geral do sistema homogéneo associado. 1.5 Inversa de uma Matriz Quadrada Definição 21 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é invertível (ou que A tem inversa) se existe uma matriz quadrada de ordem n, B, tal que AB = BA = I n. Proposição A inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, é única. Demonstração Suponhamos que B e C são inversas de A, ou seja, que AB = BA = I n e AC = CA = I n. Tem-se B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C, logo, B = C. Definição 22 Se A é invertível, a matriz B referida na Definição 3.1 chama-se inversa de A e representa-se por A 1. Assim, AA 1 = A 1 A = I n. Definição 23 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Diz-se que A é não singular (regular) se c(a) = n. Proposição Se A é uma matriz quadrada de ordem n então A é invertível se e só se é regular. Observação Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, tal que c(a) = n (logo, invertível), a inversa de A é a solução da equação matricial AX = I n. Podemos, por isso, calcular 17

22 facilmente A 1. Basta considerar a matriz A I n e efectuar operações elementares (só) sobre linhas até a transformar na matriz I n A 1. Exemplo 1 Consideremos a matriz A = , de característica 3. Calculamos A pelo método descrito (condensação, operando só sobre linhas) A I 3 = L 1 =L 1 L 2 L 3 =L 3 L 2 A 1 = L 1 =L 1+L L 2 =L 2 2 3L L 2 =L 2 2L L 3 = 1 2 L 3 (O resultado obtido pode ser confirmado usando a definição de inversa. Basta verificar que AA 1 = I n.) Se B = , é muito fácil concluir que B 1 = Propriedades Se A e B são matrizes reais (complexas) quadradas de ordem n, invertíveis e α R \ {0}(C \ {0}) então: (I1) A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A; (I2) αa é invertível e (αa) 1 = α 1 A 1 ; (I3) m N, A m é invertível e (A m ) 1 = (A 1 ) m ; (I4) A t é invertível e (A t ) 1 = (A 1 ) t ; (I5) (A) 1 = A 1 ; (I6) (A ) 1 = (A 1 ) ;. 18

23 (I7) AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1. Justificação (I1) Da igualdade A 1 A = AA 1 = I n, da definição e da unicidade da inversa resulta que A 1 é a matriz inversa de A e A é a matriz inversa de A 1. (I2) (αa)(α 1 A 1 ) = (αα 1 )(AA 1 ) = I n e (α 1 A 1 )(αa) = (α 1 α)(a 1 A) = I n. (I3) A prova rigorosa faz-se por indução em m. (I4) A t (A 1 ) t = (A 1 A) t = In t = I n e (A 1 ) t A t = (AA 1 ) t = In t = I n. (I5) A A 1 = AA 1 = I n = I n e A 1 A = A 1 A = I n = I n. (I6) A (A 1 ) = (A 1 A) = In = I n e (A 1 ) A = (AA 1 ) = In = I n. (I7) (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n e (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n. 19

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25 Capítulo 2 DETERMINANTES 2.1 Conceitos Gerais Definição 24 Dados os números naturais 1, 2,..., n, uma sua permutação é uma lista desses n números apresentados por uma qualquer ordem. Por exemplo, n, n 1, n 2,..., 3, 2, 1 é uma permutação dos números 1, 2,..., n. Notação O conjunto de todas as permutações de 1, 2,..., n denota-se por S n. Oservação Existem n! permutações de 1, 2,..., n. Definição 25 Seja i 1, i 2,..., i n uma permutação dos números 1, 2,..., n. Diz-se que um par (i k, i j ) faz uma inversão se k < j e i k > i j, ou seja, i k e i j aparecem na permutação por ordem decrescente. Definição 26 Uma permutação i 1, i 2,..., i n é par (resp.: ímpar) quando o número total de inversões que nela ocorrem é par (resp.: ímpar). Exemplos 1) n = 2 Permutação Total de Inversões Paridade 1,2 0 par 2,1 1 ímpar 21

26 2) n = 3 Permutação Total de Inversões Paridade 1,2,3 0 par 2,3,1 2 par 3,1,2 2 par 3,2,1 3 ímpar 2,1,3 1 ímpar 1,3,2 1 ímpar 2.2 Definição de Determinante Definição 27 Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n com elementos em R (C). O determinante de A, que se denota por det(a) ou A, é o número real (complexo): det(a) = ( 1) σ a 1i1 a 2i2 a nin, i 1,...,i n S n onde σ = 0, se i 1, i 2,..., i n é par e σ = 1, se i 1, i 2,..., i n é ímpar. Observe-se que o somatório anterior tem n! parcelas. Resulta imediatamente da definição que: deta 11 = a 11 ; det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 ; a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32. a 31 a 32 a Propriedades dos Determinantes Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n. 22

27 (P1) Se A tem uma linha (resp.: coluna) de zeros, então det(a) = 0. (P2) Se A tem duas linhas (resp.: colunas) iguais ou proporcionais, então det(a) = 0. (P3) Se trocarmos entre si duas linhas (resp.: colunas) de A, o valor do determinante de A muda de sinal. (Operação elementar do tipo 1) (P4) Se A é triangular então det(a) = a 11 a 22 a nn. a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n (P5) αa i1 αa i2 αa in = α a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn tipo 2). (Operação elementar do (P6) det(αa) = α n det(a). (P7) det(a) = det(a t ). (P8) Se A é complexa, det(a ) = det(a) = det(a). a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n (P9) a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in = a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n... b i1 b i2 b in... a n1 a n2 a nn. (P10) Se a uma linha (resp.: coluna) de A somarmos um múltiplo qualquer de outra linha (resp.: coluna), o valor do determinante de A não se altera. (Operação elementar do tipo 3) (P11) Não se altera o valor do determinante de A se a uma linha (resp.: coluna) de A adicionarmos uma soma de múltiplos quaisquer de outras linhas (resp.: colunas). (uso repetido de (P9)) (P12) Se B é uma matriz quadrada de ordem n, det(ab) = det(a)det(b). Em particular, n N det(a n ) = (det(a)) n. (P13) A é invertível se e só se det(a) 0. (P14) Se A é invertível então det(a 1 ) = 1 det(a). 23

28 Exemplo Então: Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 3 tais que det(a) = 2 e det(b) = 1 4. det(3a) = 3 3 det(a) = 27( 2) = 54; det(ab 1 A t ) = det(a)det(b 1 )det(a t ) = det(a) 1 det(b) det(a) = ( 2)2 4 = 16; det( B) = det(( 1)B) = ( 1) 3 det(b) = 1 4 ; det(b 1 A 4 B) = det(b 1 )det(a 4 )det(b) = 1 det(b) (det(a))4 det(b) = ( 2) 4 = 16; det( 1 2 (Bt ) 1 ) = ( 1 2 )3 det((b t ) 1 ) = ( 1 8 ) 1 det(b t ) = ( 1 8 ) 1 det(b) = ( 1 8 ) 4 = O Teorema de Laplace Definição 28 Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n. Recorde-se que A(i j) denota a submatriz de A que se obtém desta matriz por supressão da linha i e da coluna j. Chama-se complemento algébrico (ou cofactor) de a ij ao número A ij = ( 1) i+j det(a(i j)). Teorema (Teorema de Laplace) Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n. Então: det(a) = n a ij A ij = j=1 n a rs A rs, i, s {1, 2,..., n}. r=1 Exemplo = = = ( 1) = 4 2 ( 3) ( 1) 3 = 6(( 4)( 2) ( 1)( 3)) = 6 5 = Pela Propriedade (P5)aplicada à linha 1 2 Efectuando as operações elementares L 2 = L 2 3L 1 ; L 3 = L 3 2L 1 ; L 4 = L 4 L 1 3 Teorema de Laplace na coluna 1 4 Teorema de Laplace na coluna 1 24

29 2.5 Aplicações dos Determinantes Cálculo da Inversa de uma Matriz Definição 29 Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n. A matriz complementar de A, que se denota por Â, é a matriz quadrada de ordem n cujos elementos são os complementos algébricos dos elementos de A, isto é, Â = A ij. Definição 30 Seja A = a ij uma matriz quadrada de ordem n. A matriz adjunta de A, que se denota por adj(a), é a transposta da matriz complementar: adj(a) = Ât. Do Teorema de Laplace resulta que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, A adj(a) = adj(a) A = det(a)i n. Donde, se A é invertível (det(a) 0), A 1 = 1 det(a) adj(a). Exemplo Seja A = A = = 2 0, pelo que, A tem inversa. Calculamos A 1 a partir da matriz adj(a). A 11 = ( 1) 2 4 = 4; A 12 = ( 1) 3 3 = 3; A 21 = ( 1) 3 2 = 2; A 22 = ( 1) 4 1 = 1. A 11 A 12 Â = = A 21 A adj(a) = Ât = A 1 = 1 det(a) adj(a) = =

30 2.5.2 Resolução de Sistemas Lineares Possíveis e Determinados Regra de Cramer Dado o sistema de n equações lineares a n incógnitas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n, seja A a sua matriz simples, B a matriz coluna dos termos independentes e C i a matriz que se obtém de A substituindo a sua coluna número i por B. Se det(a) 0, então i {1, 2,, n}, x i = det(c i) det(a). Exemplo Consideremos o sistema x + y z = 2 x 2y + z = 5 x + 2y + z = 3. A = e B = A = = = = 2( 2 1) = 6. x = A = 10 6 = 5 3 ; y = A = 2 6 =

31 z = A = 24 6 = 4. 27

32

33 Capítulo 3 ESPAÇOS VECTORIAIS 3.1 Definição e Exemplos Definição 31 Um espaço vectorial (ou espaço linear) sobre um corpo F é uma estrutura algébrica formada por um conjunto não vazio E = { a, b,..., u, v, w,...}, com uma operação binária designada por adição, e denotada por + e, para cada elemento α F, uma aplicação de E para E (designada por multiplicação por escalar) que a cada x E faz corresponder o elemento α x E (multiplicação de α por x ), de tal modo que são satisfeitas as seguintes propriedades, para quaisquer u, v, w E e quaisquer α, β F: (A1) u + v = v + u (comutatividade da adição) (A2) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (associatividade da adição) (A3) 0 E : u + 0 = u (existência de elemento neutro) (A4) ( u ) E : u + ( u ) = 0 (existência de simétricos) (M1) (α + β) u = α u + β u (distributividade) (M2) α( u + v ) = α u + α v (distributividade) (M3) α(β u ) = (αβ) u (associatividade) (M4) 1 u = u Definição 32 Se E é um espaço vectorial sobre F, os elementos de E designam-se vectores e os de F escalares. O elemento neutro da adição em E toma o nome de vector nulo e denota-se por 0 ou 0 E. Quando F = R (resp.: F = C) o espaço vectorial diz-se real (resp.: complexo). 29

34 Exemplos 1 São espaços vectoriais reais: a) E = R 2, com as operações: (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) e α(x 1, x 2 ) = (αx 1, αx 2 ); 0 R 2 = (0, 0) e (x 1, x 2 ) = ( x 1, x 2 ) b) E = R n (n N), com as operações: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ) e α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ); 0 R n = (0, 0,..., 0) e (x 1, x 2,..., x n ) = ( x 1, x 2,..., x n ) c) E = R m n (m, n N), com as operações de adição de matrizes e de multiplicação de uma matriz por um escalar definidas no Capítulo 1. 0 R m n = 0 m n e a ij m n = a ij m n 2 São espaços vectoriais complexos: a) E = C 2, com as operações: (z 1, z 2 ) + (z 1, z 2) = (z 1 + z 1, z 2 + z 2) e α(z 1, z 2 ) = (αz 1, αz 2 ); 0 C 2 = (0, 0) e (z 1, z 2 ) = ( z 1, z 2 ) b) E = C n (n N), com as operações: (z 1, z 2,..., z n ) + (z 1, z 2,..., z n) = (z 1 + z 1, z 2 + z 2,..., z n + z n) e α(z 1, z 2,..., z n ) = (αz 1, αz 2,..., αz n ); 0 C n = (0, 0,..., 0) e (z 1, z 2..., z n ) = ( z 1, z 2..., z n ) c) E = C m n (m, n N), com as operações de adição de matrizes e de multiplicação de uma matriz por um escalar definidas no Capítulo 1. 0 C m n = 0 m n e z ij m n = z ij m n 30

35 Proposição Seja E um espaço vectorial sobre F. Então, para quaisquer vectores e quaisquer escalares, tem-se: a) 0 u = 0 b) α 0 = 0 c) α u = 0 α = 0 ou u = 0 d) ( α) u = (α u ) = α( u ) e) α( u v ) = α u α v f) (α β) u = α u β u. Demonstração de algumas afirmações a) = 0 (0 + 0) u = 0 u 0 u + 0 u = 0 u (0 u + 0 u ) + ( 0 u ) = 0 u + ( 0 u ) 0 u + (0 u + ( 0 u )) = 0 0 u = 0 b) tem prova idêntica a a) c) Suponhamos que α u = 0. Se α = 0 nada mais há a provar. Se α 0 vamos mostrar que u = 0. α u = 0 α 1 (α u ) = α 1 0 α 1 (α u ) = 0 (por b)) u = 0 d) ( α) u = (α u ) porque ( α) u + α u = ( α + α) u = 0 u = 0 (por a)). 3.2 Dependência e Independência Lineares Definição 33 Seja E um espaço vectorial sobre F. Diz-se que um vector v E é combinação linear dos vectores u 1, u 2,..., u k E se existem escalares α 1, α 2,..., α k F tais que v = α1 u 1 + α 2 u α k u k. Exemplos 1) Em R 3, o vector ( 2, 2, 5) é combinação linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) se existem números reais α 1, α 2 e α 3 tais que ( 2, 2, 5) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 1, 0) + α 3 (1, 0, 1), 31

36 ou seja, se o sistema 2 = α 1 + α 2 + α 3 é possível. Na forma matricial, L 2 =L 2 L 1 L 3 =L 3 L 1 2 = α 1 + α 2 5 = α 1 + α L 2 L é um sistema possível (e determinado), logo, ( 2, 2, 5) é combinação linear de (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1). Podemos calcular os escalares α 1, α 2, α 3 resolvendo-o: L 1 =L 1+(L 2 +L 3 ) L 2 = L 2 L 3 = L , logo, donde, α 1 = 9 α 2 = 7 α 3 = 4 ( 2, 2, 5) = 9(1, 1, 1) + ( 7)(1, 1, 0) + ( 4)(1, 0, 1)., 2) Em R 3, o vector ( 2, 2, 5) não é combinação linear de (1, 1, 0), (0, 0, 1), já que o sistema cuja matriz ampliada é é impossível. Observação L 2 =L 2 L O vector nulo de E, 0, é sempre combinação linear de quaisquer vectores u 1, u 2,..., u k E. Com efeito, 0 u u u k = 0. A esta combinação linear nula (isto é, cujo resultado é o vector nulo) dá-se o nome de combinação linear nula trivial. 32

37 Definição 34 Seja E um espaço vectorial sobre F. Diz-se que os vectores u 1, u 2,..., u k E são: (i) linearmente independentes se α 1 u 1 + α 2 u α k u k = 0 α 1 = α 2 =... = α k = 0. Ou seja, a única combinação linear nula possível dos vectores u 1, u 2,..., u k é a trivial (a que tem os escalares todos nulos). (ii) linearmente dependentes se β 1, β 2,..., β k F não todos nulos (isto é, com pelo menos um diferente de zero) tais que β 1 u 1 + β 2 u β k u k = 0. Ou seja, para além da combinação linear nula trivial (que existe sempre), existem outras combinações lineares nulas (com, pelo menos, um escalar não nulo) dos vectores u 1, u 2,..., u k. Exemplos 1) Em R 3, verificamos se os vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) e (1, 0, 1) são linearmente dependentes ou independentes: α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 1, 0) + α 3 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), equivale a resolver o sistema homogéneo (sempre possível), α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 = 0 α 1 + α 3 = 0 Se o sistema for determinado os vectores são linearmente independentes, se for indeterminado os vectores serão linearmente dependentes. Na forma matricial, L 2 =L 2 L 1 L 3 =L 3 L L 2 L donde, os vectores são linearmente independentes (a característica da matriz é igual ao número de vectores, logo, de escalares a determinar). 2) Em R 4, estudamos os vectores (1, 2, 2, 0), (1, 1, 3, 1) e (0, 2, 2, 2) quanto à dependência/independência linear. Para tal, condensamos a matriz simples do sistema de, 33

38 equações α 1 + α 2 = 0 2α 1 + α 2 + 2α 3 = 0. 2α 1 + 3α 2 2α 3 = 0 α 2 2α 3 = L 2 =L 2 2L L 4 =L 4+L 2 L 3 =L 3 2L L 3 =L 3+L , donde, os vectores são linearmente dependentes (a característica da matriz é menor que o número de vectores, logo, de escalares a determinar). Proposição Seja E um espaço vectorial sobre F. Então: (i) O vector nulo, 0, é linearmente dependente. (ii) Se v E, v é linearmente independente se e só se v 0. (iii) Os vectores v 1, v 2,..., v k (k 2) são linearmente dependentes se e só se algum deles é combinação linear dos restantes. Em particular, 2 vectores v 1, v 2 são linearmente dependentes se e só se um deles é combinação linear do outro (e, consequentemente, são linearmente independentes se e só se nenhum deles é combinação linear do outro). (iv) Se os vectores v 1, v 2,..., v n são linearmente independentes então v 1, v 2,..., v n, x são linearmente dependentes se e só se x é combinação linear de v 1, v 2,..., v n. (v) Se os vectores do conjunto { v 1, v 2,..., v n } são linearmente independentes então os vectores de qualquer seu subconjunto são linearmente independentes. (vi) Se os vectores da sequência s = ( v 1, v 2,..., v n ) são linearmente dependentes então os vectores de qualquer sequência que contenha s são linearmente dependentes. (vii) Os vectores v 1, v 2,..., v i,..., v n são linearmente independentes se e só se α 0 v 1, v 2,..., α v i,..., v n são linearmente independentes. (viii) Os vectores v 1, v 2,..., v i,..., v j,..., v n são linearmente independentes se e só se v 1, v 2,..., v i,..., v i + v j,..., v n são linearmente independentes. Demonstração de algumas das afirmações (i) 1 0 e 1 0 = 0, o que prova que 0 é linearmente dependente. (ii) Seja v E. Atendendo a (i), tudo o que há a mostrar é que se v 0, v é linearmente independente. 34

39 Suponhamos que v 0, α v = 0 e que, com vista a um absurdo, α 0. Então α 1 (α v ) = α 1 0 (α 1 α) v = 0 v = 0, o que contradiz a hipótese. (iii) ( ) Suponhamos que v 1, v 2,..., v k (k 2) são linearmente dependentes. Por definição, β 1, β 2,..., β k F não todos nulos tais que β 1 v 1 + β 2 v β k v k = 0. Sem perda de generalidade, suponhamos que β 1 0. Então, β 1 v 1 = β 2 v 2... β k v k v 1 = β 2 β 1 1 donde, v 1 é combinação linear dos restantes vectores. v 2... β k β1 1 v k, ( ) Por hipótese, um dos vectores dados é combinação linear dos restantes. Sem perda de generalidade, v 1 = α 2 v α k v k 1 v 1 α 2 v 2... α k v k = 0, ou seja, os vectores são linearmente dependentes. (vii) ( ) α 1 v 1 + α 2 v α i (α v i ) α n v n = 0 α 1 v 1 + α 2 v (α i α) v i α n v n = 0 ( v 1,..., v i,..., v n l.i.) α 1 = α 2 = = αα i = = α n = 0 (α 0) α 1 = α 2 = = α i = = α n = 0. ( ) α 1 v 1 + α 2 v α i v i α n v n = 0 α 1 v 1 + α 2 v α i (α 1 α) v i α n v n = 0 α 1 v 1 + α 2 v (α i α 1 )(α v i ) α n v n = 0 ( v 1,..., α v i,..., v n l.i.) α 1 = α 2 = = α i α 1 = = α n = 0 (α 1 0) α 1 = α 2 = = α i = = α n = Característica de uma Matriz Seja A uma matriz do tipo m n com entradas num corpo F. Cada uma das m linhas de A identifica-se com um vector de F n e cada uma das n colunas de A identifica-se com um vector de F m. Por exemplo, dada a matriz real os vectores (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5), (3, 4, 5, 6) de R 4 (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) de R 3., as suas linhas identificam-se com e as suas colunas com os vectores Todos os resultados enunciados àcerca da dependência e independência lineares de vectores são, por isso, aplicáveis às linhas e às colunas de A. 35

40 Atendendo à Proposição 3.2.1, efectuar operações elementares sobre as linhas (resp.: colunas) de A não altera a dependência/independência linear das linhas (resp.: colunas) da matriz. Tendo em conta que: (i) A pode ser transformada numa matriz com linhas em escada, U, efectuando operações elementares sobre as suas linhas (como foi visto no Captulo 1), (ii) são linearmente independentes as linhas de A correspondentes às linhas não nulas de U, (iii) são linearmente independentes as colunas de A correspondentes às colunas com pivots de U, a característica de A, número de linhas não nulas de U, coincide com o número máximo de linhas linearmente independentes de A e com o número máximo de colunas linearmente independentes de A. 3.3 Subespaços vectoriais Definição 35 Sejam E um espaço vectorial sobre F e E 1 um subconjunto não vazio de E. Diz-se que E 1 é um subespaço vectorial de E, e escreve-se E 1 E, se E 1 é um espaço vectorial sobre F com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em E. Proposição (Critério de Subespaço) Sejam E um espaço vectorial sobre F e E 1 um subconjunto de E. E 1 é um subespaço vectorial de E se e só se: (i) E 1 (ii) x, y E 1, x + y E 1 (iii) α F, x E 1, α x E 1. Proposição Sejam E um espaço vectorial sobre F e E 1 um subespaço vectorial de E. Então: a) 0 E 1 b) x E 1 x E 1 c) x, y E 1 x y E 1. 36

41 Demonstração Como E 1, seja x E 1. Dado que F é um corpo, 0 F e 1 F, logo, pela condição (iii) do Critério de Subespaço, 0 x = 0 E 1 e ( 1) x = x E 1. Por último, se x, y E 1, por b), y E 1 e, pela condição (ii) do Critério de Subespaço, x + ( y ) = x y E 1. Observação Atendendo à proposição anterior, a condição (i) do Critério de Subespaço pode ser substituida pela condição (i ): 0 E 1. Proposição Sejam E um espaço vectorial sobre F e E 1 um subconjunto de E. E 1 é um subespaço vectorial de E se e só se: (i) 0 E 1 (ii) α, β F, x, y E 1, α x + β y E 1. Exemplos 1 Se E é um espaço vectorial, E 1 = { 0 } e E 1 = E são subespaços vectoriais de E, designados por subespaços triviais. 2 Em R 2, E 1 = {(0, 0)} e E 1 = R 2 são os subespaços triviais. É um subespaço não trivial qualquer recta que passe na origem. Com efeito, se a) E 1 é uma recta não vertical que passa na origem então E 1 = {(x, y) R 2 : y = mx} = {(x, mx) : x R}. Usamos o Critério de Subespaço, enunciado na proposição 3.3.1, para mostrar que E 1 é um subespaço vectorial de R 2. (i) Como x é livre, tomando x = 0, y = mx = m0 = 0, logo, (0, 0) E 1 ; (ii) Sejam (x 1, mx 1 ), (x 2, mx 2 ) E 1 (x 1, mx 1 ) + (x 2, mx 2 ) = (x 1 + x 2, mx 1 + mx 2 ) = (x 1 + x 2, m(x 1 + x 2 )) E 1 ; (iii) Sejam (x, mx) E 1 e α R α(x, mx) = (αx, α(mx)) = (αx, m(αx)) E 1. b) E 1 é a (única) recta vertical que passa na origem então E 1 = {(x, y) R 2 : x = 0} = {(0, y) : y R}. (i) Como y é livre, tomando y = 0, conclui-se que (0, 0) E 1 ; (ii) Sejam (0, y 1 ), (0, y 2 ) E 1 (0, y 1 ) + (0, y 2 ) = (0, y 1 + y 2 ) E 1 ; 37

42 (iii) Sejam (0, y) E 1 e α R α(0, y) = (α0, αy) = (0, αy) E 1. 3 Em R 3, E 1 = {(0, 0, 0)} e E 1 = R 3 são os subespaços triviais. Os subespaços não triviais são qualquer recta que passe na origem e qualquer plano que passe na origem, isto é, qualquer subconjunto da forma E 1 = {(x, y, z) R 3 : a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0} (recta que passa na origem) ou E 1 = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} (plano que passa na origem). Verificamos que E 1 = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} é um subespaço vectorial de R 3, quaisquer que sejam a, b, c R. (i) (0, 0, 0) E 1 pois a0 + b0 + c0 = 0; (ii) Sejam (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) E 1 ax 1 + by 1 + cz 1 = 0 e ax 2 + by 2 + cz 2 = 0 (x 1, y 1, z 1 )+(x 2, y 2, z 2 ) = (x 1 +x 2, y 1 +y 2, z 1 +z 2 ) e a(x 1 +x 2 )+b(y 1 +y 2 )+c(z 1 +z 2 ) = (ax 1 + ax 2 ) + (by 1 + by 2 ) + (cz 1 + cz 2 ) = (ax 1 + by 1 + cz 1 ) + (ax 2 + by 2 + cz 2 ) = = 0 (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) E 1 ; (iii) Sejam (x, y, z) E 1 e α R ax + by + cz = 0 α(x, y, z) = (αx, αy, αz) e a(αx) + b(αy) + c(αz) = α(ax + by + cz) = α0 = 0, logo, α(x, y, z) E 1. 4 Já os subconjuntos de R 3 a) H 1 = {(x, y, z) R 3 : y = 1}, b) H 2 = {(x, y, z) R 3 : x Q}, c) H 3 = {(x, y, z) R 3 : z 1}, d) H 4 = {(x, y, z) R 3 : x y}, e) H 5 = {(x, y, z) R 3 : y = 0 ou z = 0}, não são subespaços vectoriais de R 3. Com efeito, a) (0, 0, 0) / H 1 (ver Prop ), b) α = 2 R, (1, 0, 0) H 2 e 2(1, 0, 0) = ( 2, 0, 0) / H 2 (falha condição (iii) da Prop.3.3.1), c) α = 7 R, (1, 1, 1) H 3 e 7(1, 1, 1) = (7, 7, 7) / H 3 (falha condição (iii) da Prop Observe-se que também falha a condição (ii)), d) α = 1 R, (2, 1, 0) H 4 e ( 1)(2, 1, 0) = ( 2, 1, 0) / H 4 (falha condição (iii) da Prop.3.3.1), 38

43 e) (0, 0, 1) H 5, (0, 1, 0) H 5 e (0, 0, 1) + (0, 1, 0) = (0, 1, 1) / H 5 (falha condição (ii) da Prop.3.3.1). Proposição Sejam E um espaço vectorial sobre F e E 1, E 2 subespaços vectoriais de E. Então: a) E 1 E 2 é um subespaço vectorial de E; b) E 1 + E 2 = { f + g : f E 1, g E 2 } é um subespaço vectorial de E; c) E 1 E 2 é um subespaço vectorial de E se e só se E 1 E 2 ou E 2 E 1. Demonstração a) (Usamos a Proposição 3.3.3) (i) 0 E 1 e 0 E 2, donde, 0 E 1 E 2 ; (ii) Sejam x, y E 1 E 2 e α, β F. Por definição de intersecção, x, y E 1 e x, y E 2. Logo, α x + β y E 1 e α x + β y E 2 α x + β y E 1 E 2. b) Fica ao cuidado do leitor efectuar a prova (muito simples), usando a Prop ou a Prop c) ( ) Trivial, já que, se E 1 E 2, E 1 E 2 = E 2 e se E 2 E 1, E 1 E 2 = E 1. ( ) Suponhamos que E 1 E 2 é um subespaço vectorial de E e que (com vista a um absurdo) E 1 E 2 e E 2 E 1. Então, e 1 E 1 tal que e 1 / E 2 e e 2 E 2 tal que e 2 / E 1. Como E 1 E 1 E 2 e E 2 E 1 E 2, e 1, e 2 E 1 E 2 (E 1 E 2 E) e 1 + e 2 E 1 E 2 (por definição de união de conjuntos) e 1 + e 2 E 1 ou e 1 + e 2 E 2. Se e 1 + e 2 E 1, como e 1 E 1, e 1 E 1, donde, ( e 1 ) + ( e 1 + e 2 ) = e 2 E 1, o que contradiz a hipótese. Se e 1 + e 2 E 2 conclui-se, de forma análoga, que e 1 E 2, ou seja, um absurdo Subespaço gerado Proposição Sejam E um espaço vectorial sobre F e v 1, v 2,..., v n vectores de E. Então o conjunto G = {λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n : λ 1, λ 2,..., λ n F} é um subespaço vectorial de E, designado por subespaço gerado por v 1, v 2,..., v n. Demonstração (Usamos a Prop ) 39

44 (i) Pondo λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0, tem-se 0 v v v n = 0 G; (ii) Sejam x, y G e α, β F. Então, λ 1, λ 2,..., λ n, γ 1, γ 2,..., γ n F tais que x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n e y = γ1 v 1 + γ 2 v γ n v n. Tem-se, α x +β y = α(λ 1 v 1 +λ 2 v λ n v n )+β(γ 1 v 1 +γ 2 v γ n v n ) = (αλ 1 + βγ 1 ) v 1 + (αλ 2 + βγ 2 ) v (αλ n + βγ n ) v n G. Notação O subespaço gerado por v 1, v 2,..., v n denota-se por < v 1, v 2,..., v n > ou L( v 1, v 2,..., v n ). Exemplos 1 Em R 3, determinamos o subespaço gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1). (x, y, z) < (1, 1, 1), (1, 0, 1) > sse (x, y, z) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 0, 1) sse 1 1 x 1 0 y 1 1 z 1 1 z é a matriz ampliada de um sistema linear possível. 1 1 x 1 1 x 1 0 y L 2 =L 2 L y x L 3 =L 3 L 1 O sistema é possível sse z x = 0, pelo que, 0 0 z x < (1, 1, 1), (1, 0, 1) >= {(x, y, z) R 3 : z = x} (um plano de R 3 ). sse 2 Em R 4, determinamos o subespaço gerado por (1, 1, 0, 2), (0, 1, 2, 3). (x, y, z, w) < (1, 1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) > sse (x, y, z, w) = α 1 (1, 1, 0, 2)+α 2 (0, 1, 2, 3) 1 0 x 1 1 y 0 2 z 2 3 w é a matriz ampliada de um sistema linear possível. 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 y L 2 =L 2+L z 0 1 y + x L 3 =L 3 L 2 L 4 =L 4 2L z 0 1 y + x L 4 =L 4 3L z 2x 2y 2 3 w 0 3 w 2x 0 0 (w 2x) + ( 3x 3y) 40

45 O sistema é possível sse z 2x 2y = 0 e w 5x 3y = 0, pelo que, sse < (1, 1, 0, 2), (0, 1, 2, 3) >= {(x, y, z, w) R 4 : z = 2x + 2y e w = 5x + 3y}. 3 Em R 3, determinamos o subespaço gerado por (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0). (x, y, z) < (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) > sse (x, y, z) = α 1 (1, 1, 1)+α 2 (1, 0, 1)+α 3 (1, 2, 0) z x y z é a matriz ampliada de um sistema linear possível x x y L 2 =L 2 L y x L 3 =L 3 L z x O sistema é sempre possível, quaisquer que sejam os valores reais de x, y, z. Logo, < (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) >= R Base e dimensão Definição 36 Seja E um espaço vectorial sobre F. Diz-se que os vectores u 1, u 2,..., u p E geram o (são geradores do) espaço, e escreve-se E =< u 1, u 2,..., u p >, se qualquer vector de E se pode escrever como combinação linear de u 1, u 2,..., u p. Definição 37 Um espaço vectorial E diz-se finitamente gerado se existe um número finito de vectores u 1, u 2,..., u p E tais que E =< u 1, u 2,..., u p >. Exemplo Do que vimos no exemplo anterior, R 3 é finitamente gerado, já que R 3 =< (1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 2, 0) >. Mais geralmente, para qualquer n N, R n =< (1, 0, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0, 0, 0,..., 1) >, pelo que R n é finitamente gerado. 41

46 Definição 38 Seja E um espaço vectorial finitamente gerado. Diz-se o conjunto B = { e 1, e 2,..., e n } E é uma base de E se: (i) B é um conjunto de vectores linearmente independentes; (ii) B é um conjunto de geradores de E, ou seja, E =< e 1, e 2,..., e n >. Proposição Todo o espaço vectorial finitamente gerado tem uma base. Observações 1 O espaço nulo, E = { 0 }, é finitamente gerado, uma vez que { 0 } =< 0 >, mas não possui vectores linearmente independentes. Por isso, convenciona-se que a sua base é o conjunto vazio,. 2 Se se atribuir uma certa ordem aos vectores da base B, diz-se que B é uma base ordenada de E, e escreve-se B = ( e 1, e 2,..., e n ). 3 Qualquer subespaço vectorial de um espaço finitamente gerado é um espaço finitamente gerado, logo, tem uma base. Proposição Duas quaisquer bases de um mesmo espaço vectorial têm o mesmo número de vectores. Definição 39 Chama-se dimensão de um espaço vectorial E, e denota-se por dim(e), ao número de vectores de uma base qualquer de E. Um espaço finitamente gerado diz-se de dimensão finita, enquanto que um espaço que não seja finitamente gerado tem dimensão infinita. Proposição Sejam E um espaço vectorial sobre F de dimensão n e B = ( e 1, e 2,..., e n ) uma base de E. Então, qualquer vector x E escreve-se de forma única como combinação linear dos vectores de B, ou seja, existem escalares únicos a 1, a 2,..., a n F tais que x = a 1 e 1 + a 2 e a n e n. Demonstração Suponhamos que x = a 1 e 1 +a 2 e a n e n e que x = b 1 e 1 +b 2 e b n e n. Então, a 1 e 1 + a 2 e a n e n = b 1 e 1 + b 2 e b n e n (a 1 b 1 ) e 1 + (a 2 b 2 ) e (a n b n ) e n = 0 (os vectores de B são linearmente independentes) a 1 b 1 = a 2 b 2 =... = a n b n = 0 a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n. Definição 40 Sejam E um espaço vectorial sobre F de dimensão n, x E e B = ( e 1, e 2,..., e n ) uma base (ordenada) de E. Os escalares únicos a 1, a 2,..., a n F 42