Ana Paula Santana Jo ao Filipe Queir o INTRODUC AO ` A ALGEBRA LINEAR Departamento de Matem atica - Universidade de Coimbra 2008

Transcrição

1 Ana Paula Santana João Filipe Queiró INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra 28

2 Nota Este texto é uma versão provisória de um livro que em breve será publicado Substitui a versão de 23 que tem sido disponibilizada online Trata-se também de uma versão parcial, pois não inclui os capítulos 8, 9 e que por vezes são referidos no texto Esses capítulos dirão respeito a espaços vectoriais abstractos, transformações lineares entre tais espaços, e espaços abstractos com produto interno Coimbra, Setembro de 28 Ana Paula Santana João Filipe Queiró

3 Conteúdo Os números complexos 4 Matrizes 7 Generalidades 7 2 Operações com matrizes 3 Inversa de uma matriz quadrada 6 4 Transposição de matrizes 8 5 Matrizes elementares 22 2 Sistemas de equações lineares 26 2 Generalidades O algoritmo de eliminação de Gauss O algoritmo de Gauss-Jordan para inversão de matrizes 43 3 Determinantes 48 3 Definição e primeiras propriedades Permutações Existência e unicidade do determinante Outras propriedades dos determinantes 6 35 O Teorema de Laplace e a Regra de Cramer 63 4 O espaço R n, subespaços, dimensão 68 4 Subespaços Dependência e independência linear Base e dimensão Mudança de base Característica e nulidade de uma matriz Soma e soma directa de subespaços 9 47 Transformações lineares em R n Nota sobre espaços vectoriais abstractos 99 5 Ângulos e distâncias em R n 5 Sistemas impossíveis 52 Produto interno em R n 4 53 Projecção ortogonal sobre um subespaço 54 Mínimos quadrados 8 55 Complemento ortogonal de um subespaço Determinantes e medidas de paralelipípedos Produto externo em R Planos em R n 3 7 Valores próprios e vectores próprios de matrizes 36 7 Conceitos básicos Matrizes diagonalizáveis 4 73 Um exemplo de aplicação da diagonalizabilidade 44 2

4 74 O caso das matrizes simétricas reais Curvas e superfícies do 2 o grau 5 76 Estudo da semelhança de matrizes A decomposição dos valores singulares A norma de uma matriz O número de condição de uma matriz 8 Apêndices 82 História dos números complexos 82 2 Permutações 85 3 O Teorema de Laplace 89 3

5 Os números complexos Esta secção é uma breve introdução aos conjuntos de números que serão mais utilizados no texto Destina-se principalmente ao leitor pouco familiarizado com os números complexos Os conjuntos de números mais conhecidos e habituais são os seguintes: o conjunto dos números naturais N = {, 2, 3, }, o conjunto dos números inteiros Z = {, 3, 2,,,, 2, 3, }, o conjunto dos números racionais { m } Q = n : m, n Z, n e o conjunto dos números reais, para o qual usaremos o símbolo R Tem-se a seguinte cadeia de inclusões: N Z Q R Exemplos de números reais que não são racionais são 2, 3, e e π A melhor maneira de visualizar o conjunto R é pensar nos pontos de uma recta, o eixo real Marcando no eixo dois pontos para representar os números e, obtém-se uma correspondência perfeita entre R e o conjunto dos pontos do eixo R α Supor-se-ão conhecidas as propriedades básicas destes números No século XVI, a propósito da descoberta da fórmula resolvente das equações do 3 o grau, descobriu-se um novo conjunto de números contendo R Essa história é recordada em apêndice O novo conjunto de números é o conjunto dos números complexos C = {a + bi : a, b R} onde i satisfaz i 2 = As operações com números complexos realizam-se tratandoos como números como os outros e usando as propriedades habituais das operações, bem como a igualdade i 2 = Assim, por exemplo, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 4

6 (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Estas operações gozam das mesmas propriedades algébricas que as correspondentes no conjunto dos números reais: comutatividade, associatividade, distributividade da multiplicação relativamente à adição Os números complexos = + i e = + i são elementos neutros para, respectivamente, a adição e a multiplicação O inverso do número complexo a + bi é a a 2 + b + b 2 a 2 + b i 2 Note-se que todos os números reais são também números complexos (são aqueles em que b = ), pelo que a cadeia de inclusões acima referida pode ser completada: N Z Q R C A melhor maneira de visualizar o conjunto C é pensar nos pontos de um plano, o plano complexo Traçando no plano um sistema de dois eixos perpendiculares, e identificando o número complexo a+bi com o ponto de coordenadas (a, b), obtém-se uma correspondência entre C e o conjunto dos pontos do plano C bi a + bi a Se pensarmos na fórmula resolvente para equações do 2 o grau, vemos que, com a introdução dos números complexos, qualquer equação do 2 o grau com coeficientes reais tem solução em C: o aparecimento de raízes quadradas de números negativos deixa de ser problema Por exemplo, a equação x 2 2x + 5 = tem as soluções + 2i e 2i Mas pode dizer-se muito mais: com a introdução dos números complexos, qualquer equação de qualquer grau, com coeficientes reais ou mesmo complexos, tem solução em C Este é o conteúdo do chamado Teorema Fundamental da Álgebra, demonstrado pela primeira vez de forma completa por Gauss em Uma diferença básica entre R e C é que no conjunto dos números complexos não existe uma relação de ordem < compatível com as operações, isto é, satisfazendo, para quaisquer z, z 2, w C, as implicações z < z 2 w > z w < z 2 w e z < z 2 z + w < z 2 + w 2 Para provar este teorema, são necessários conhecimentos de Análise que estão para além do o ano da Universidade Note-se que o teorema apenas afirma a existência de soluções A determinação delas para cada equação é um problema diferente 5

7 Do Teorema Fundamental da Álgebra tira-se uma importante conclusão: um polinómio com coeficientes reais ou complexos pode sempre escrever-se como produto de factores de grau : a n x n + a n x n + + a x + a = a n (x α )(x α 2 ) (x α n ), onde α, α 2,, α n são as raízes do polinómio O conjunto C é portanto muito rico do ponto de vista algébrico Encerramos esta secção introduzindo alguma terminologia sobre números complexos Seja z = a + bi C Chamamos a a parte real de z e escrevemos a = Re z Chamamos a b parte imaginária de z e escrevemos b = Im z Se a = dizemos que z é imaginário puro O conjugado de z é z = a bi O módulo de z é o número real não negativo z = a 2 + b 2 (A função módulo em C estende a função módulo conhecida em R) Geometricamente, z é a distância do ponto z do plano complexo à origem (isto é, ao ponto ) Mais geralmente, z w é a distância entre os pontos z e w 6

8 Matrizes Neste capítulo estudam-se os conceitos e resultados fundamentais sobre matrizes As matrizes são objectos básicos da Matemática: é impossível estudar Matemática a nível superior sem conhecer a linguagem matricial Esta linguagem é usada naturalmente em todos os contextos multidimensionais, isto é, em que os objectos considerados podem ser descritos por sequências de vários números A introdução das matrizes e das operações entre elas permite em geral uma descrição muito abreviada dos problemas e relações que surgem nesses contextos Uma matriz pode ser definida de forma muito simples, como um quadro de números dispostos segundo umas tantas linhas e colunas Com este tipo de objectos uma espécie de números generalizados podem fazer-se contas como com os números vulgares (embora algumas propriedades falhem), o que é útil nas partes mais computacionais da Álgebra Linear Em capítulos posteriores veremos que as matrizes são úteis também em contextos mais abstractos Nos primeiros capítulos deste texto, trabalharemos, em geral, com matrizes de números reais No entanto, praticamente tudo o que veremos é também válido para números complexos Generalidades Definição Chama-se matriz do tipo m n sobre R (ou C) a todo o quadro que se obtém dispondo mn números segundo m linhas e n colunas Esses números dizem-se os elementos da matriz Uma matriz diz-se real ou complexa consoante os seus elementos forem números reais ou complexos O conjunto de todas as matrizes do tipo m n sobre R representa-se por M m n (R) Usamos a notação R m para M m (R) [ ] 2 7 Exemplo, e 2 4 são matrizes reais dos tipos 2 3, e 3, respectivamente A primeira pertence M 2 3 (R), a segunda a M 3 3 (R) e a terceira a R 3 Usam-se letras maiúsculas para designar matrizes Exceptua-se o caso das matrizescoluna, isto é, matrizes só com uma coluna, para as quais, frequentemente, se utilizam letras minúsculas Numa matriz abstracta é comum designar os elementos por uma letra minúscula com dois índices, indicando o primeiro a linha da matriz em que o elemento se encontra e o segundo a coluna 7

9 Deste modo, se A for uma matriz do tipo m n, então a ij é o elemento de A situado na linha i e coluna j, para i =,, m e j =,, n Tal elemento é também referido como o elemento de A na posição (i, j), ou apenas por elemento (i, j) de A Assim, uma matriz abstracta do tipo m n é habitualmente apresentada da seguinte forma: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a m a m2 a mn Esta matriz pode também ser apresentada na forma A = [a ij ] m n, ou simplesmente A = [a ij ] se o tipo for conhecido do contexto ou não for importante na questão que esteja em estudo Na definição seguinte registamos terminologia e notações básicas relativas a matrizes 8

10 Definição 2 Duas matrizes A = [a ij ] e B = [b ij ] M m n (R) são iguais se a ij = b ij, para i =,, m, j =,, n 2 A M m n (R) diz-se quadrada de ordem n se m = n, e rectangular se m n 3 Os elementos diagonais de A = [a ij ] M n n (R) são a, a 22,, a nn A sequência ordenada constituída por estes elementos diz-se diagonal principal de A 4 Seja A = [a ij ] quadrada A diz-se triangular superior se a ij = quando i > j, triangular inferior se a ij = quando i < j, e diagonal se a ij = quando i j 5 A matriz identidade de ordem n, I n, é a matriz diagonal, de ordem n, com os elementos diagonais iguais a I n = Se a ordem estiver clara do contexto usamos simplesmente I 6 A matriz nula m n é a matriz m n cujos elementos são todos iguais a zero Representa-se por m n, ou simplesmente por se o tipo estiver claro do contexto 7 Sendo A = [a ij ] m n, define-se A = [ a ij ] m n 8 Sendo A uma matriz, uma submatriz de A é uma matriz que se obtém por supressão de linhas e/ou colunas de A [ ] [ ] 2 7 a 2 7 Exemplo 2 As matrizes e são iguais se a= e b=3 Estas duas b matrizes são rectangulares, enquanto a matriz A = é quadrada de ordem 3 Os elementos diagonais de A são, 2, 5 e a sua diagonal principal é (, 2, 5) As matrizes 2 7 2, 7 3 e são, respectivamente, triangular superior, triangular inferior e diagonal [ ] 7 As matrizes e 5 7 são exemplos de submatrizes de A=

11 2 Operações com matrizes As operações mais simples com matrizes são a adição (ou soma) de matrizes e a multiplicação de um número por uma matriz Definição 3 Sendo A = [a ij ] M m n (R), B = [b ij ] M m n (R) e α R, define-se: A+B como sendo a matriz do tipo m n cujo elemento (i, j) é a ij +b ij Assim A + B = [a ij + b ij ] m n 2 αa como sendo a matriz do tipo m n cujo elemento (i, j) é α a ij Tem-se então αa = [α a ij ] m n [ Exemplo 3 Sendo A = A + B = ] [ e B = ] e [ [ 2 A = ], tem-se ] Teorema Sejam A, B e C matrizes arbitrárias em M m n (R) Então verificase: (A + B) + C = A + (B + C) (associatividade da adição) 2 A + B = B + A (comutatividade da adição) 3 A + m n = m n + A = A (a matriz nula é elemento neutro da adição) 4 A + ( A) = ( A) + A = m n ( A é o elemento simétrico ou oposto de A) Demonstração Apenas demonstramos a primeira destas propriedades, deixando as restantes como exercício Sejam A = [a ij ], B = [b ij ], C = [c ij ] M m n (R) Sejam D = (A + B) + C = [d ij ] e E = A + (B + C) = [e ij ] Note-se que D e E são matrizes m n Por outro lado, da definição de adição de matrizes, tem-se d ij = (a ij + b ij ) + c ij e e ij = a ij + (b ij + c ij ) Mas a associatividade da adição em R diz-nos que estas duas somas são iguais Logo, d ij = e ij para i =,, m, j =,, n, e portanto D = E Teorema 2 Sejam A e B matrizes arbitrárias em M m n (R) e α, β R Então verifica-se: α(a + B) = αa + αb 2 (α + β)a = αa + βa

12 3 (αβ)a = α(βa) 4 A = A Demonstração Demonstremos a propriedade 3, sendo as restantes deixadas como exercício Seja A = [a ij ] M m n (R) e α, β R Então (αβ)a e α(βa) são matrizes do mesmo tipo e o elemento (i, j) de (αβ)a é (αβ)a ij Como α, β e a ij são elementos de R, da associatividade da multiplicação em R, sabemos que (αβ)a ij = α(βa ij ) Mas o segundo membro desta igualdade não é mais que o elemento (i, j) de α(βa) Como i e j são quaisquer, obtemos a igualdade das matrizes consideradas Vamos agora introduzir a operação de multiplicação (ou produto) de matrizes Definição 4 Sendo A = [a ij ] M m n (R) e B = [b ij ] M n p (R), define-se AB como sendo a matriz do tipo m p cujo elemento (i, j) é a i b j +a i2 b 2j + + a in b nj Assim [ n ] AB = a ik b kj k= m p Como se pode ver pela definição, o produto AB da matriz A pela matriz B apenas está definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B Neste caso o número de linhas da matriz AB é igual ao número de linhas de A e o número de colunas é igual ao de B O elemento de AB situado na linha i e coluna j obtém-se a partir da linha i de A e da coluna j de B: a i a i2 a in b j b 2j b nj = a i b j + a i2 b 2j + + a in b nj Vemos assim que, para cada i =,, m, a linha i de AB se obtém multiplicando a linha i de A pela matriz B, e que, para cada j =,, p, a coluna j de AB se obtém multiplicando a matriz A pela coluna j de B Exemplo 4 Sejam A = [ ] e B = Então [ AB = [ ] = ] Note-se que neste caso o produto BA não está definido, visto o número de colunas de B ser diferente do número de linhas de A

13 2 Sejam A = [ 3 5 ] e B = e 3 Sejam A = [ 4 Sendo A = BA = Então AB = [ ] = [ 33 ] ; e B = ] AB = BA = [ e B = AB = [ = Então ], tem-se ] [ 2 ; BA = 5 ] Como pode ser observado nestes exemplos, a multiplicação de matrizes comportase de modo diferente da multiplicação de números Dadas matrizes A e B, pode acontecer estar o produto AB definido, mas o produto BA não estar Estando AB e BA definidos, nada implica que AB seja igual a BA Verificamos ainda outra anomalia: o produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma delas o seja Estas e outras propriedades do produto de matrizes estão contidas no teorema que se segue Teorema 3 Sejam A,A M m n (R), B,B M n p (R), C M p q (R) matrizes arbitrárias e α R Então tem-se: A n p = m p, r m A = r n, AI n = I m A = A 2 (AB)C = A(BC) (associatividade da multiplicação) 3 A(B + B ) = AB + AB, (A + A )B = AB + A B (distributividades do produto em relação à adição) 4 α(ab) = (αa)b = A(αB) 5 AB = (A = ou B = ) 6 (AB = AB e A ) B = B, e também (AB = A B e B ) A = A 7 A multiplicação de matrizes não é comutativa 2

14 Demonstração As afirmações contidas nas alíneas 5, 6 e 7 são do tipo negativo, em que se diz que certa propriedade geral não é verdadeira Para provar uma afirmação desse tipo basta apresentar um exemplo, um caso concreto, em que a propriedade geral indicada não se verifica (A um exemplo apresentado com tal objectivo chama-se um contra-exemplo) No caso das propriedades 5 e 7, veja-se o Exemplo 4 [ Para a] primeira[ parte ] da propriedade [ 6, ] considere, por exemplo, as 2 3 matrizes A =, B = e B = Passemos agora à demonstração da propriedade 2, ficando as restantes como exercício Sejam A = [a ij ] M m n (R), B = [b ij ] M n p (R) e C = [c ij ] M p q (R) Então (AB)C e A(BC) são ambas matrizes do tipo m q Da definição de produto sabemos n que o elemento (i, j) de AB é a ik b kj Assim, o elemento (i, l) de (AB)C será k= ( p n ) a ik b kt c tl t= k= De modo análogo, o elemento (i, l) de A(BC) é n k= a ik ( p t= b kt c tl ) Utilizando as propriedades distributiva da multiplicação em relação à adição, associativa da multiplicação e da adição e comutativa da adição em R, tem-se ) ( n n p p n p n ) b kt c tl = a ik (b kt c tl ) = (a ik b kt )c tl = a ik b kt c tl k= a ik ( p t= k= t= Da associatividade do produto de matrizes concluímos que não temos que nos preocupar com parênteses quando lidarmos com mais de dois factores Em particular, fica bem definido o significado da expressão A k, onde A é uma matriz quadrada e k N Teorema 4 Seja A M m n (R) e designe-se por c j a coluna j de A, j =,, n Dada a matriz-coluna x x 2 x =, x n tem-se Ax = x c + x 2 c x n c n Dizemos então que Ax é uma combinação linear das colunas de A t= k= t= k= 3

15 Demonstração Pela definição de produto de matrizes, tem-se a a 2 a n x a 2 a 22 a 2n x 2 Ax = = a m a m2 a mn x n = x a a 2 a m + x 2 a 2 a 22 a m2 + + x n a x + a 2 x a n x n a 2 x + a 22 x a 2n x n a m x + a m2 x a mn x n a n a 2n a mn = = x c + x 2 c x n c n Note-se que, uma vez que AB se obtém multiplicando A pelas colunas de B, podemos concluir deste teorema que as colunas de AB são combinações lineares das colunas de A Exercícios [ cos α sin α Sendo α e β números reais, calcule o produto sin α cos α ] [ cos β sin β sin β cos β ] 2 Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ] duas matrizes do tipo n n (a) Escreva o elemento da matriz A 2 + B situado na linha i e na coluna j (b) Escreva o elemento da matriz A BA+2I n situado na linha i e na coluna j {(Para designar se i = j o elemento (i, j) de I n usa-se δ ij, o chamado símbolo de Kronecker: δ ij = se i j ) 3 Calcule: [ ] k [ ] k 2 (a) (k N); (b) (k N); 3 2 [ ] k cos θ sin θ (c) (θ R, k N); (d) 3 sin θ cos θ µ µ 2 4 Calcule µ n k (k N) 5 Prove que o produto de duas matrizes triangulares superiores (resp inferiores) da mesma ordem é ainda uma matriz triangular superior (resp inferior) A que são iguais os elementos diagonais do produto neste caso? 6 Calcule o número de multiplicações necessárias para multiplicar uma matriz do tipo m n por uma matriz do tipo n p 4

16 7 Sejam A, B, C matrizes dos tipos m n, n p e p q, respectivamente Calcule o número de multiplicações necessárias para obter o produto ABC (Note que a resposta depende de como considerarmos os parênteses no produto ABC) 8 (a) Dê exemplos que mostrem que as identidades algébricas (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A B) 2 = A 2 2AB + B 2, (A + B)(A B) = A 2 B 2 e (AB) 2 = A 2 B 2 nem sempre são verdadeiras quando A e B são matrizes (b) Transforme os segundos membros daquelas identidades de forma a obter identidades sempre válidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem 9 Mostre através de exemplos que uma matriz real quadrada A pode satisfazer: (a) A 2 = I; (b) A 2 =, sendo A não nula Prove que multiplicar A à esquerda por uma matriz diagonal de elementos diagonais µ,, µ m equivale a multiplicar a primeira linha de A por µ, a segunda linha por µ 2, etc Multiplicar A à direita por uma matriz diagonal de elementos diagonais µ,, µ n equivale a multiplicar a primeira coluna de A por µ, a segunda coluna por µ 2, etc Prove que uma matriz que comuta com uma matriz diagonal de elementos diagonais todos distintos tem de ser ela própria uma matriz diagonal 2 Prove que uma matriz quadrada que comuta com todas as matrizes quadradas da mesma ordem tem que ser uma matriz escalar (isto é, da forma αi para algum número α) 3 Se os elementos a ij de uma matriz A forem funções diferenciáveis de uma variável t, definese da dt como sendo a matriz de elementos daij dt Demonstre que dab dt = da dt B + AdB dt 4 Sejam A e B matrizes m n Prove que, se Av = Bv para todo o vector coluna n v, então A = B (Sugestão: O que conclui se v for uma das colunas da matriz I n?) 5 (Produto por blocos) Sejam A m n e B n p duas matrizes Suponhamos que as particionamos em submatrizes (ou blocos ) assim A A 2 A s B B 2 B t A 2 A 22 A 2s A =, B = B 2 B 22 B 2t, A r A r2 A rs B s B s2 B st de forma que, para todos os possíveis valores de i, j, e k, o número de colunas de A ik seja igual ao número de linhas de B kj Mostre que, então, o produto AB se pode calcular do seguinte modo (note-se que o número de colunas de blocos de A é igual ao número de linhas de blocos de B): s k= A s kb k k= A s kb k2 k= A s kb kt k= AB = A s 2kB k k= A s 2kB k2 k= A 2kB kt s k= A s rkb k k= A s rkb k2 k= A rkb kt ( Sugestão: Talvez ajude começar por considerar o caso s = 2, r = t = ) 5

17 6 Calcule os seguintes produtos matriciais usando a multiplicação por blocos (fazendo a partição indicada): (a) ; (b) Dê uma nova demonstração do Teorema 4 usando o produto por blocos 8 Seja A M m n (R) e designe-se por L i a linha i de A, i =,, m Dada a matriz-linha x = [x x 2 x n ], prove que se tem xa = x L + x 2 L x n L m 9 Sendo A uma matriz m n e B uma matriz n p cujas colunas são v, v 2,, v p, mostre que as colunas de AB são Av, Av 2,, Av p 3 Inversa de uma matriz quadrada Dado um número α não nulo, real ou complexo, podemos falar do seu inverso multiplicativo: α é o número que multiplicado por α dá O que se passará com matrizes? Definição 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Dizemos que A é invertível se existir uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que AX = XA = I n Teorema 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Então existe no máximo uma matriz X quadrada de ordem n tal que AX = XA = I n Demonstração Sejam X e Y matrizes quadradas de ordem n tais que AX = XA = I n e AY = Y A = I n Então Y = Y I n = Y (AX) = (Y A)X = I n X = X Logo, existe no máximo uma matriz X nas condições referidas Definição 6 Nas condições do Teorema, X diz-se a inversa de A e representa-se por A Exemplo 5 A matriz De facto tem-se [ 2 [ 2 ] ] [ 2 é invertível, sendo a sua inversa a matriz ] = I 2 e 6 [ 2 ] [ 2 ] = I 2 [ 2 ]

18 [ ] Já a matriz não é invertível, porque, multiplicando-a por qualquer outra matriz 2 2, a matriz produto tem necessariamente a segunda linha nula, e portanto nunca poderá ser a matriz identidade Adiante estudaremos métodos para determinar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, no caso afirmativo, calcular a sua inversa Teorema 6 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n invertíveis Então AB é invertível e (AB) = B A Demonstração (AB)(B A ) = A(BB )A = AI n A = AA = I n De modo análogo, (B A )(AB) = B (A A)B = B I n B = B B = I n Podemos assim concluir que AB é invertível e a sua inversa é B A Exercícios Generalize o resultado do teorema 6 para mais do que duas matrizes 2 Sejam A, B e C matrizes com A invertível Mostre que: (a) Se AB =, então B = (b) Se AB = AC então B = C 3 Seja A uma matriz invertível Prove que (a) Sendo k N, A k é invertível e (A k ) = (A ) k ; (b) Se α for um número não nulo, então a matriz αa é invertível e (αa) = α A (c) Se B for uma matriz quadrada que comuta com A, então B também comuta com A 4 Suponhamos que a matriz quadrada A satisfaz A 5 + 2A 4 5A 2 A + 7I = Mostre que A é invertível 5 Sejam A e B matrizes n n invertíveis Prove que A + B = A (A + B)B Que igualdade é esta no caso n =? 6 Seja A uma matriz quadrada Suponhamos que existe um número natural k tal que A k = Mostre que, então, I A é invertível, tendo-se (I A) = I + A + A A k 7 Usando o exercício anterior, calcule 7

19 A A 2 8 Seja A uma matriz particionada da seguinte forma:, onde os A r blocos A, A 2,, A r são quadrados e invertíveis e os zeros designam matrizes nulas dos tipos adequados Mostre que A é invertível e determine A 9 Seja A uma matriz quadrada cujos elementos são funções diferenciáveis de uma variável t Suponhamos que A é invertível para todos os valores de t Demonstre que, então, Que igualdade é esta no caso n =? d(a ) dt da = A dt A Sugestão: Parta da igualdade AA = I e use o exercício 3 da secção 2 4 Transposição de matrizes Uma transformação simples mas importante que se pode fazer a uma matriz é a transposição Definição 7 Dada uma matriz do tipo m n a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A =, a m a m2 a mn define-se a transposta de A como sendo a matriz do tipo n m a a 2 a m a 2 a 22 a m2 A T = a n a 2n a mn Ou seja: o elemento (i, j) de A T é a ji, para i =,, n, j =,, m A matriz A diz-se simétrica se A = A T Como se vê da definição, os elementos da coluna j de A T são precisamente os da linha j de A, para j =,, m Vemos também que uma matriz é simétrica se e só se for quadrada e forem iguais os elementos situados em posições simétricas relativamente à diagonal principal 8

20 [ 2 Exemplo 6 A transposta da matriz A = 5 3 A matriz é simétrica, mas a matriz ] é a matriz A T = já o não é, uma vez que os elementos nas posições (, 2) e (2, ) não são iguais Teorema 7 A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades: (A T ) T = A; 2 (A + B) T = A T + B T ; 3 (αa) T = αa T, sendo α um número; 4 (AB) T = B T A T ; 5 (A k ) T = (A T ) k, sendo k um número natural; 6 Se A for invertível, A T também é, tendo-se (A T ) = (A ) T Demonstração As propriedades, 2, 3 e 5 ficam como exercício Provemos 4 e 6 4 Sejam A = [a ij ] e B = [b ij ], dos tipos m n e n p, respectivamente Então B T A T e (AB) T são ambas do tipo p m Sendo b ki e a jk os elementos (i, k) e (k, j) de B T e A T, respectivamente, tem-se que o elemento (i, j) de B T A T é n n b ki a jk = a jk b ki, que é o elemento (i, j) de (AB) T, para i =,, p, j = k= k=,, m Logo, (AB) T = B T A T 6 Seja agora A = [a ij ] invertível de ordem n Então, usando a propriedade 4, tem-se A T (A ) T = (A A) T = I T n = I n e (A ) T A T = (AA ) T = I T n = I n Logo (A T ) = (A ) T Definição 8 Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertível e a sua inversa coincidir com a sua transposta Exemplo 7 A matriz A T = [ ] é ortogonal 9

21 Teorema 8 ortogonal O produto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz 2 A inversa de uma matriz ortogonal é também uma matriz ortogonal Demonstração Sejam A e B matrizes ortogonais de ordem n Então A = A T e B = B T Assim, (AB) = B A = B T A T = (AB) T, isto é, AB é ortogonal 2 Como a transposta da inversa da matriz A é a inversa da transposta de A, vem (A ) T = (A T ) = (A ), isto é, A é ortogonal Uma classe especial de matrizes ortogonais vai aparecer-nos nos capítulos seguintes: as matrizes de permutação Definição 9 Uma matriz n n diz-se uma matriz de permutação se tiver as mesmas linhas que a matriz identidade I n mas não necessariamente pela mesma ordem Exemplo 8 As matrizes e são matrizes de permutação Teorema 9 Toda a matriz de permutação é ortogonal Demonstração Exercício Definição Sendo A = [a ij ] m n uma matriz complexa, define-se a conjugada de A como sendo A = [a ij ] m n Escrevemos A = A T A matriz A diz-se hermítica 3 se A = A Da definição resulta que os elementos da coluna j de A são precisamente os conjugados dos da linha j de A, para j =,, m É também fácil de ver que uma matriz é hermítica se e só se for quadrada e forem conjugados os elementos situados em posições simétricas relativamente à diagonal principal 2

22 [ Exemplo 9 A conjugada de A = [ 5 3i A = 2 i 4i 2 + i 5 + 3i 4i ] Esta matriz não é hermítica, mas a matriz ] [ é a matriz A = [ 3 i 3+i 7 2 i 5 ] 3i 4i já o é ] Tem-se Teorema As matrizes complexas gozam das seguintes propriedades: (A ) = A; 2 (A + B) = A + B ; 3 (αa) = αa, sendo α um número complexo; 4 (AB) = B A ; 5 (A k ) = (A ) k, sendo k um número natural; 6 Se A for invertível, A também é, tendo-se (A ) = (A ) Demonstração Exercício Definição Uma matriz complexa quadrada A diz-se unitária se for invertível e A = A Teorema unitária O produto de duas matrizes unitárias é ainda uma matriz 2 A inversa de uma matriz unitária é também uma matriz unitária Demonstração Exercício Exercícios Seja A uma matriz m n Prove que as matrizes A T A e AA T são simétricas Dê um exemplo que mostre que estes dois produtos podem ser diferentes, mesmo que A seja quadrada 2 Prove o seguinte: (a) A soma de duas matrizes simétricas da mesma ordem é ainda uma matriz simétrica (b) O produto de duas matrizes simétricas da mesma ordem é uma matriz simétrica se e só se as duas matrizes comutarem 2

23 (c) A inversa de uma matriz simétrica invertível é também simétrica 3 Sejam A e B matrizes n n simétricas Prove que a matriz C = ABABABA é simétrica 4 Como sabe o produto de duas matrizes pode ser a matriz nula sem que nenhum dos factores o seja Mas se as duas matrizes (reais) forem a transposta uma da outra, tal não acontece Concretamente: Prove que, sendo A uma matriz m n de elementos reais, se A T A = então A = [ A B 5 Seja M = C D ] [ A uma matriz particionada em blocos Mostre que M T T C = T B T D T 6 Mostre que uma matriz real 2 2 é ortogonal se e só se for de uma das duas seguintes formas: [ ] [ ] cos θ sen θ cos θ sen θ,, θ R sen θ cos θ sen θ cos θ [ ] B C 7 Seja A = uma matriz particionada em blocos com B e D quadradas Mostre D que, se A for ortogonal, então B e D também são ortogonais e C = 8 Escreva todas as matrizes de permutação 3 3, incluindo P = I, e para cada uma identifique a sua inversa (que também é uma matriz de permutação) 9 Adapte e resolva para matrizes complexas os exercícios, 2, 3, 4, 5, 7 e 8 substituindo A T por A, simétrica por hermítica e ortogonal por unitária ] 5 Matrizes elementares Dedicamos agora a nossa atenção a uma classe especial de matrizes, as matrizes elementares, que aparecerão no estudo dos sistemas de equações lineares Para definirmos esta classe de matrizes é útil conhecer certo tipo de operações que se podem efectuar sobre as linhas de uma matriz, ditas operações elementares: Substituição de uma linha da matriz pela sua soma com um múltiplo de outra 2 Troca entre si de duas linhas da matriz 3 Multiplicação de uma linha da matriz por um número diferente de zero Definição 2 Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se obtém de I n por aplicação de uma operação elementar às suas linhas Obtemos assim três tipos de matrizes elementares de ordem n: 22

24 Para i j e α R temos a matriz α E ij (α) = E ij (α) obtém-se de I n adicionando à linha i a linha j previamente multiplicada por α Assim E ij (α) difere da matriz identidade apenas pelo elemento (i, j), que é α (se α =, tem-se E ij (α) = I n ) 2 Para i j, temos a matriz P ij = P ij obtém-se de I n trocando a linha i com a linha j 3 Finalmente, para α R não nulo e i n, temos a matriz D i (α) = α D i (α) obtém-se de I n multiplicando a linha i por α As matrizes P ij são matrizes de permutação especiais (obtidas de I n pela troca de apenas duas linhas) Exemplo As matrizes seguintes são exemplos de matrizes elementares de ordem 3 : E 2 (5) = 5 ; P 3 = ; D 2 (8) = 8 23

25 As propriedades mais importantes das matrizes elementares são enunciadas nos três teoremas seguintes As suas demonstrações são exercícios sobre multiplicação de matrizes e são deixadas ao leitor Teorema 2 Seja A M m n (R), i j e α R Então tem-se: E ij (α)a é a matriz que se obtém de A adicionando à linha i a linha j previamente multiplicada por α 2 P ij (α)a é a matriz que se obtém de A trocando a linha i com a linha j 3 D i (α)a é a matriz que se obtém de A multiplicando a linha i por α Em resumo, se E for uma matriz elementar, EA é a matriz que se obtém de A aplicando às linhas de A as mesmas operações elementares que foram aplicadas às linhas de I m para obter E Um resultado análogo é válido para o produto AE, reflectindo-se agora o efeito da multiplicação nas colunas de A: AE é a matriz obtida de A aplicando às colunas de A as mesmas operações elementares que foram aplicadas às colunas de I n para obter E Teorema 3 Seja j n, e defina-se E j como sendo o seguinte produto de matrizes elementares E j+,j (α j+,j )E j+2,j (α j+2,j ) E n,j (α nj ) Então tem-se: e E j = α j+,j α j+2,j α nj E E 2 E n = α 2 α 3 α 32 α n α n2 α n3 Como se pode observar, a matriz E E 2 E n obtém-se imediatamente das matrizes E, E 2,, E n, sem necessidade de cálculos Note que o mesmo não se passa com E n E 2 E, matriz para cujos elementos não existe uma expressão simples a partir dos elementos das matrizes E j (Verifique) 24

26 Teorema 4 As matrizes elementares E ij (α), P ij e D i (β), onde β, são invertíveis e tem-se (E ij (α)) = E ij ( α), P ij = P ij e (D i (β)) = D i (/β) Exercícios Sendo calcule A A = 2 3, 2 Seja E a matriz elementar 4 4 cujo efeito, quando multiplicada por uma matriz, é adicionar a primeira linha à terceira (a) Qual é o efeito de E 5? (b) Escreva por extenso as matrizes E, E 5 e 5E 3 Generalize 2 do Teorema 2 provando que, se A for uma matriz m n, multiplicar A à esquerda por uma matriz de permutação P equivale a efectuar em A as mesmas trocas de linhas feitas em I m para obter P Qual será o efeito de multiplicar A à direita por uma matriz de permutação? 25

27 2 Sistemas de equações lineares Os sistemas de equações lineares constituem hoje um relevante tema de estudo devido à sua importância em Matemática Aplicada Muitos problemas, por exemplo, nas áreas de Engenharia conduzem à necessidade de resolver sistemas de equações lineares Os sistemas de equações lineares ligados a questões de Matemática Aplicada podem ter um elevado número de equações e incógnitas Não se pode portanto pensar em resolvê-los à mão O que se faz é usar computadores para esse efeito, não aplicando fórmulas mas sim utilizando algoritmos, isto é, sequências organizadas de passos que conduzem à solução ou soluções Neste capítulo estudaremos o mais importante algoritmo geral para resolver sistemas de equações lineares, o algoritmo de eliminação de Gauss, e veremos como a linguagem das matrizes permite descrevê-lo de forma muito simples e abreviada Para sistemas muito grandes e de tipos especiais há algoritmos mais adaptados do que o algoritmo de eliminação de Gauss Esses algoritmos têm em geral um número infinito de passos e são estudados em disciplinas da área da Análise Numérica Como subproduto do nosso estudo dos sistemas, veremos um algoritmo que permite averiguar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, no caso de ser, calcular a sua inversa 26

28 2 Generalidades Definição 2 Uma equação linear nas incógnitas x,, x n é uma equação do tipo a x + + a n x n = d, onde a,, a n e d são números A d costuma chamar-se segundo membro ou termo independente da equação Um sistema de equações lineares é uma colecção finita ordenada de equações lineares (todas nas mesmas incógnitas) consideradas em conjunto Um sistema genérico com m equações e n incógnitas a x + + a n x n = b a 2 x + + a 2n x n = b 2 a m x + + a mn x n = b m apresenta-se abreviadamente na forma Ax = b onde a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n, x = a m a m2 a mn x x 2 x n, b = b b 2 b m A é a matriz do sistema, x é a matriz-coluna das incógnitas e b é a matrizcoluna dos segundos membros ou, abreviadamente, o segundo membro do sistema O grande objectivo perante um sistema de equações lineares é resolvê-lo, isto é, achar as suas soluções Na definição seguinte precisamos estes conceitos 27

29 Definição 22 Uma solução de um sistema de equações lineares nas incógnitas x,, x n é uma sequência ordenada (α,, α n ) de números tais que as substituições x i = α i, i =,, n, transformam todas as equações do sistema em identidades verdadeiras Uma solução também se pode apresentar na forma de uma matriz-coluna n : α α 2 α n Resolver um sistema de equações lineares é determinar todas as suas soluções ou provar que não existe nenhuma Um sistema de equações lineares que tenha pelo menos uma solução diz-se possível determinado se só tiver uma, indeterminado se tiver mais do que uma Um sistema de equações lineares que não tenha nenhuma solução diz-se impossível Exemplo 2 Considere o sistema de equações lineares { 2x + 5x 2 = 3 4x + 9x 2 = 7 [ ] [ ] [ ] 2 5 x 3 A matriz do sistema é, enquanto que x = e b = são, respectivamente, 4 9 x 2 7 as matrizes-coluna das [ incógnitas ] e dos segundos membros Este sistema é possível determinado, 4 sendo a sua solução O exemplo seguinte é de novo de um sistema possível determinado Qual a sua solução? x + 2x 2 = 4x + 3x 2 = 3 5x + 5x 2 = 4 O sistema { 2x + 4x 2 = 2 4x + 8x 2 = 24 [ ] 6 2α é possível indeterminado, com solução, para qualquer α R ; mas α { 2x + 4x 2 = 5 4x + 8x 2 = 7 já é um sistema impossível Recordando que uma condição do tipo a x + a 2 x 2 = d (com a ou a 2 ) é a equação de uma recta num plano em que se fixou um sistema de eixos, dê uma interpretação geométrica destes sistemas Definição 23 Um sistema em que os segundos membros das equações são todos iguais a diz-se homogéneo 28

30 Note-se que um sistema homogéneo é sempre possível: menos, a chamada solução nula possui sempre, pelo Definição 24 Dois sistemas com o mesmo número de equações e de incógnitas dizem-se equivalentes se tiverem exactamente as mesmas soluções Teorema 2 Seja Ax = b um sistema de equações lineares, com A m n Seja E uma matriz m m invertível Então, o sistema EAx = Eb é equivalente ao sistema Ax = b Demonstração Claramente, qualquer solução do sistema Ax = b é também solução do sistema EAx = Eb Reciprocamente, seja u uma solução do sistema EAx = Eb Tem-se EAu = Eb Multiplicando à esquerda ambos os membros desta igualdade por E, obtemos Au = b, isto é, u é solução do sistema Ax = b 22 O algoritmo de eliminação de Gauss Um método geral de resolver sistemas de equações lineares é o chamado algoritmo de eliminação de Gauss Este algoritmo consiste numa sequência de passos elementares que transformam o sistema dado num sistema muito fácil de resolver Um passo elementar do método de eliminação de Gauss consiste na adição membro a membro a uma equação de um múltiplo de outra, de forma que, na equação obtida, seja nulo o coeficiente de certa incógnita Com isto dizemos que se eliminou essa incógnita da equação Para exemplificar, consideremos o sistema Ax = b com A = [a ij ] m n Então, supondo a, a adição à segunda equação da primeira multiplicada por a 2 a elimina a incógnita x da segunda equação (verifique) Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x de todas as equações a partir da segunda para o que é necessário ter-se a não nulo, depois eliminar a incógnita x 2 de todas as equações a partir da terceira para o que é necessário ter-se a 22 (o novo coeficiente de x 2 na segunda equação) não nulo, etc Este processo repete-se até não ser possível continuá-lo mais Os números a, a 22, chamam-se os pivots da eliminação Note-se que os pivots são necessariamente não nulos Teorema 22 Cada um destes passos elementares do método de eliminação de Gauss transforma um sistema noutro equivalente Demonstração Basta observar que cada passo elementar do tipo descrito corresponde a multiplicar ambos os membros do sistema (escrito na forma matricial) por uma matriz elementar do tipo E ij (α), e que estas matrizes são invertíveis 29

31 Sempre que surja um zero na posição em que devia estar um pivot, procurase resolver o problema mediante a troca dessa equação com a que se lhe segue Se também essa tiver um zero na posição em causa tenta-se a seguinte, etc Se nenhuma troca resolver o problema, o pivot passa a ser procurado entre os coeficientes da incógnita seguinte É óbvio que uma troca na ordem das equações transforma um sistema noutro equivalente Isso também se pode concluir observando que uma troca de duas equações entre si corresponde a multiplicar ambos os membros do sistema (escrito na forma matricial) por uma matriz elementar do tipo P ij, e que estas matrizes são invertíveis Deste processo resulta um novo sistema, digamos U x = c, equivalente ao sistema original, e cuja matriz U, que é ainda m n, tem uma forma especial, a que se costuma chamar matriz em escada: Definição 25 Uma matriz diz-se uma matriz em escada se satisfizer as seguintes condições: i) Se o primeiro elemento não nulo numa linha está na coluna j, então a linha seguinte começa com pelo menos j elementos nulos ii) Se houver linhas totalmente constituídas por zeros, elas aparecem depois das outras O primeiro elemento não nulo de cada linha de uma matriz em escada chamase um pivot da matriz É óbvio que os pivots encontrados durante o algoritmo de eliminação aplicado a um sistema Ax = b são os pivots da matriz em escada resultante do algoritmo Exemplo 22 Exemplos do aspecto de uma matriz em escada (os símbolos representam os pivots): As matrizes, A = [ 2 5 6, ], B = 5 2 e C = são matrizes em escada A matriz A tem pivots 2 e 6, os pivots de B são e 2 e os de C são 3, e 6 As matrizes , 6 2 e não são em escada Porquê? 3

32 Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte descendente do método de eliminação de Gauss Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c, é possível, isto é, se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo Se o sistema for possível, resolve-se de baixo para cima (parte ascendente do algoritmo), se necessário obtendo algumas incógnitas aquelas que estão a multiplicar por pivots em função das outras Às incógnitas que estão a multiplicar por pivots chamamos incógnitas básicas, e às outras, que podem tomar qualquer valor em R, chamamos incógnitas livres Se houver incógnitas livres, o sistema é indeterminado (e tem um número infinito de soluções) Se só houver incógnitas básicas, o sistema é determinado Em resumo, o esquema geral da resolução de um sistema de equações lineares usando o algoritmo de eliminação de Gauss é o seguinte: o : Transformação do sistema Ax = b no sistema Ux = c; 2 o : Resolução do sistema Ux = c O que governa o método de eliminação é a matriz A do sistema, e podemos olhar para os sucessivos passos do algoritmo como respeitando apenas à matriz: o primeiro passo consiste em adicionar à segunda linha a primeira multiplicada por a 2 a, etc Definição 26 A característica de A abreviadamente, car(a) é o número de pivots que aparecem quando se aplica a A o método de eliminação Equivalentemente, car(a) é o número de linhas não nulas da matriz em escada U produzida pelo algoritmo de eliminação aplicado a A Uma matriz quadrada A n n diz-se não-singular se tiver característica n Se car(a) < n, a matriz A diz-se singular Exemplo 23 Considere as matrizes A, B e C do exemplo anterior Tem-se car(a) = 2, car(b) = 2 e car(c) = 3 Exemplo 24 Considere a matriz A = Apliquemos a A o método de eliminação de Gauss Começamos por adicionar à segunda e terceira linhas de A a primeira linha multiplicada 2 por e 2, respectivamente A matriz resultante será A = 2 Esta matriz não é 6 8 3

33 ainda uma matriz em escada Prosseguimos adicionando à terceira linha de A a segunda linha multiplicada por 3 A matriz que obtemos é a matriz em escada U = 2 2 Tem-se 5 car(a) = 3 (pois há três pivots :, 2 e 5) e A é não-singular Considere-se agora B = linha multiplicada por 2 obtemos a matriz em escada U = e 4 Logo car(b) = 2 e B é singular Adicionando à segunda e terceira linhas de B a primeira Há apenas dois pivots, O algoritmo de eliminação de Gauss pode ser descrito de forma muito abreviada usando a linguagem das matrizes: Consideremos o sistema Ax = b, e denotemos por Ux = c o sistema obtido após a parte descendente do algoritmo Suponhamos primeiro que não houve necessidade de trocas de linhas O efeito das sucessivas operações elementares aplicadas a A pode ser descrito pela multiplicação sucessiva, à esquerda, de A por matrizes elementares do tipo E ij (α), onde os números α são os multiplicadores usados na eliminação Designemos por M o produto de todas essas matrizes elementares Então M é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a (exercício 5 da secção 2), e tem-se MA = U Como as operações levadas a cabo com o segundo membro do sistema foram precisamente as mesmas, tem-se Mb = c Designemos M por L (donde A = LU e b = Lc) Sendo a inversa de M, a matriz L é igual ao produto das matrizes E ij ( α) pela ordem inversa àquela em que as matrizes E ij (α) figuram em M Então, dos Teoremas 3 e 4 da Secção 5, sabe-se que L é uma matriz triangular inferior com elementos diagonais iguais a e os elementos sob a diagonal de L são precisamente os simétricos dos multiplicadores usados na eliminação, cada um na posição em que figura na respectiva matriz elementar (E, portanto, a matriz L é muito fácil de escrever, o que não acontece com M) Exemplo 25 Considere-se o sistema Ax = b, onde A = no Exemplo 24, e b = é a matriz considerada Já vimos como obter uma matriz triangular superior U por aplicação do método de eliminação de Gauss a A Utilizando matrizes elementares, este processo pode ser descrito do seguinte modo: 2 E 32 ( 3)E 3 ( 2)E 2 ( )A = 2 = U 5 32

34 Efectuando as mesmas operações ao segundo membro do sistema, obtemos E 32 ( 3)E 3 ( 2)E 2 ( )b = 3 = c 5 A matriz L será L = [E 32 ( 3)E 3 ( 2)E 2 ( )] = E 2 ()E 3 (2)E 32 (3) = e tem-se A = LU e b = Lc 2 3, Se houver necessidade de trocas de linhas, a única diferença é que o algoritmo deve ser visto como aplicado, não a A e ao segundo membro b, mas a P A e P b, onde P é uma matriz de permutação P é o produto das matrizes de permutação correspondentes às várias trocas de linhas feitas na matriz durante o algoritmo Exemplo 26 Aplique-se o algoritmo de eliminação de Gauss ao sistema Ax = b, onde A = Ao adicionarmos à segunda e terceira linhas de A a primeira multiplicada por 2 e 3, respectivamente, obtemos a matriz E 3 (3)E 2 ( 2)A = O passo seguinte seria utilizar o elemento (2, 2) como pivot, mas este elemento é zero Temos que trocar entre si as linhas 2 e 3 desta matriz Este passo é equivalente a trocar estas linhas em A antes de termos iniciado o processo de eliminação, isto é, a fazer a eliminação não em A mas na matriz P 2,3 A Teremos então (atenção às novas matrizes E ij (α) ) E 3 ( 2)E 2 (3)P 2,3 A = Esta já é uma matriz em escada, a matriz U desejada Tomando L = [E 3 ( 2)E 2 (3)] = E 2 ( 3)E 3 (2), temos P 2,3 A = LU Regressando ao sistema Ax = b, teremos que efectuar no segundo membro as mesmas trocas de linhas que foram efectuadas em A, ou seja, iremos trabalhar não com Ax = b mas com o sistema equivalente P 2,3 Ax = P 2,3 b Note que não é necessário iniciar o processo de eliminação de cada vez que precisar de efectuar uma troca de linhas, mas sim registar quais são as alterações que tais trocas implicam na matriz L que está a ser construída Resumindo, temos: Teorema 23 (Factorização LU) Sendo A m n arbitrária, existe uma matriz de permutação P tal que P A se pode factorizar na forma LU, onde L é triangular inferior com elementos diagonais iguais a e U é uma matriz em escada Os elementos sob a diagonal de L são os simétricos dos multiplicadores usados no método de eliminação aplicado a A, e U é a matriz produzida pelo algoritmo (e portanto o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula de U é um pivot) 33

35 No caso quadrado n n não-singular, U é triangular superior, com os elementos diagonais não nulos (são os n pivots) 4 Podemos agora apresentar a descrição matricial do algoritmo de eliminação de Gauss Comecemos pelo caso de sistemas com matrizes quadradas não-singulares Algoritmo A Resolução do sistema Ax = b com A n n não singular: oo passo) Factorização P A = LU 2 oo passo) Resolução do sistema Lc = P b (para achar o novo segundo membro c) 3 oo passo) Resolução do sistema Ux = c Exemplo 27 Retomemos o sistema Ax = b considerado no Exemplo 25 Temos A = 2 2 Já conhecemos a decomposição LU de A: A = Passemos então ao segundo passo do algoritmo: resolução do sistema triangular inferior Lc = b c = c + c 2 = 2 2c + 3c 2 + c 3 = 2 Este é um sistema possível determinado, cuja solução se obtém imediatamente resolvendo-o de cima para baixo, c = 3 5 Resta-nos agora resolver, por substituição ascendente, o sistema triangular superior U x = c: x + x 2 + 2x 3 = 2x 2 + x 3 = 3 5x 3 = 5 A solução do sistema inicial Ax = b é então x = 4 x = 4 x 2 = x 3 = 4 No caso não-singular, uma variante desta factorização LU é a chamada factorização LDU, que se obtém da outra escrevendo U como produto de uma matriz diagonal onde os elementos diagonais são os pivots e uma matriz triangular superior com os elementos diagonais iguais a Exemplo: [ ] = [ 2 ] [ ] = [ 2 ] [ 2 5 ] [ 3 2 ] e b = 34

36 Exemplo 28 Seja agora A = Pretendemos resolver o sistema Ax = b, onde b = Sabemos que P 2,3 A tem a decomposição LU P 2,3 A = 3 2, a matriz da matriz considerada no Exemplo Para calcular o novo segundo membro c temos de resolver o sistema Lc = P 2,3 b Ora P 2,3 b = 58, logo 22 Lc = P 2,3 b c = 3c + c 2 = 58 2c + c 3 = 22 c = Agora Ux = c 2x + 6x 2 + 2x 3 = 6x 2 4x 3 = 28 6x 3 = 42 x = 2 7 A solução de Ax = b é então x = 2 7 Passemos agora a sistemas com matrizes quaisquer Vale a pena estudar separadamente o caso dos sistemas homogéneos, que, recorde-se, são sempre possíveis Definição 27 Sendo A M m n (R), o conjunto das soluções do sistema Ax =, designado por N(A), diz-se o núcleo ou espaço nulo de A Dada uma matriz A, se U for a matriz em escada obtida de A por aplicação do método de eliminação de Gauss, é óbvio que N(A) = N(U), uma vez os sistemas Ax = e Ux = são equivalentes Se A for quadrada não-singular, é óbvio que N(A) = Como determinar N(A) para A m n arbitrária? Comecemos com um exemplo 35

37 Exemplo 29 Dada a matriz A = , queremos resolver o sistema Ax =, ou, equivalentemente, o sistema Ux =, onde U é a matriz em escada obtida de A no final do processo de eliminação de Gauss É fácil de ver que U é a matriz 2 Temse car(a) = 2 e há, portanto, duas incógnitas básicas, x e x 4, e três incógnitas livres, x 2, x 3 e x 5 Passemos as incógnitas livres para os segundos membros e resolvamos o sistema assim obtido, determinando as incógnitas básicas em função das livres: { x x 4 = x 2 2x 3 x 5 x 4 = x 5 x = Note-se que esta solução se pode escrever na forma 2 x 2 + x 3 + x 5 2 x 2 2x 3 2x 5 x 2 x 3 x 5 x 5 ou seja, uma combinação linear das três colunas obtidas da solução geral dando a cada uma das incógnitas livres o valor e às duas restantes o valor, O raciocínio seguido neste exemplo é válido em geral, como vamos ver agora Pretendemos resolver um sistema homogéneo Ax =, com A m n Passando à matriz em escada U, o sistema Ux = é equivalente ao original, e é com ele que trabalhamos Supondo que a característica de A é r, teremos n r incógnitas livres, digamos x i,, x in r Cada uma das incógnitas básicas obter-se-á em função das incógnitas livres através de uma expressão do tipo α k,i x i + + α k,in r x in r, onde o índice k {,, r} identifica a incógnita básica e os α são números que vão aparecendo na resolução ascendente do sistema U x = Portanto, a solução geral do sistema terá a forma (i ) x i α l,i x i + +α l,in r x in r (i 2 ) x i2, α s,i x i + +α s,in r x in r (i n r ) x in r 36