Os Quatro Subespaços Fundamentais

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Texto de apoio Professor João Soares 7 páginas Universidade de Coimbra 26 de Novembro de 29 Os Quatro Subespaços Fundamentais Seja A uma matriz m n de elementos reais. Os quatro subespaços (vectoriais) fundamentais associados a esta matriz são: espaço nulo de A: o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogéneo Ax =. Em linguagem matemática, N(A) {x: Ax = R n. espaço das colunas de A: o conjunto de todas as combinações lineares de colunas da matriz A. Em linguagem matemática, C(A) {Ax: x R n R m. espaço das linhas de A: o conjunto de todas as combinações lineares de linhas da matriz A. Em linguagem matemática, L(A) {ya: x R n R n. espaço nulo à esquerda de A: o conjunto das soluções do sistema de equações lineares homogéneo ya =. Em linguagem matemática, N left (A) = {y : ya = R m. No texto de apoio de João Queiró e Ana Paula Santana, que temos vindo a acompanhar nas aulas teóricas, o espaço das linhas de A é denotado por C(A T ). Portanto, esses autores, e outros, optaram por definir espaço das linhas como sendo o espaço das colunas da matriz transposta. Ainda que ambos os conjuntos, C(A T ) e L(A), sejam essencialmente o mesmo conjunto, a distinção reside no facto de que os elementos de C(A T ) são vectores-coluna enquanto que os elementos de L(A) são vectores-linha. Essa distinção não é importante para o desenvolvimento que se segue.

2 2 Álgebra Linear e Geometria Analítica A explicação do parágrafo anterior aplica-se também, e quase sem mudar uma vírgula, ao espaço nulo à esquerda de A, que alguns autores optaram por denotar N(A T ) - o espaço nulo da matriz transposta. Vejamos uma justificação breve para o facto dos quatro conjuntos apresentados serem subespaços vectoriais, de R n ou R m consoante o espaço (vectorial) onde estão inseridos. Os conjuntos N(A) e N left (A) são núcleos de alguma matriz nomeadamente, A e A T, respectivamente. Provámos na aula teórica que o núcleo de uma matriz é (sempre) um subespaço vectorial. Também, os conjuntos C(A) e L(A) são espaço das colunas de alguma matriz nomeadamente, A e A T, respectivamente. Provámos na aula teórica que o espaço das colunas de uma matriz é (sempre) um subespaço vectorial. Como proceder para obter uma base e, portanto identificar a dimensão, de cada um destes subespaços vectoriais? A resposta decorre de uma cuidada interpretação do procedimento de eliminação de Gauss que explicámos durante a primeira parte do curso, momento em que se falava exclusivamente de matrizes e operações com matrizes. Começamos com o espaço das linhas de A. Não confundir espaço das linhas de A com as linhas de A propriamente ditas. Por exemplo, para a matriz A 2 3 () as linhas são os vectores-linha [ ], [ 2 3 ], [ ]. Estes três vectores de R 3 são, simplesmente, um conjunto gerador de L(A). O conjunto L(A) é muito maior pois contém todas as combinações lineares que é possível efectuar com eles. Por exemplo, [ ], [ ] L(A). Na verdade, o espaço das linhas de A é um conjunto com uma infinidade de elementos porque, como vimos antes, é um subespaço vectorial distinto do vector nulo. Portanto, conhecemos um conjunto gerador para L(A) e como sabemos, pois foi explicado nas aulas teóricas, todo o conjunto gerador contém uma base. Base essa que pode

3 Texto de apoio 3 ser obtida excluindo sequencialmente, um a um, os vectores do conjunto gerador que são combinação linear dos restantes. O que pode dar algum trabalho mas nós vamos fazê-lo através da eliminação de Gauss sobre a matriz A. Usaremos o seguinte resultado que será demonstrado nas aulas práticas: Dado um conjunto de vectores, se a um dos seus elementos adicionarmos um múltiplo escalar de um outro elemento então o subespaço gerado pelo conjunto de vectores permanece o mesmo, bem como a dependência ou independência linear dum e doutro. Deste resultado decorre imediatamente que as linhas da matriz U, obtida no final da eliminação de Gauss, geram o mesmo subespaço que as linhas da matriz A pois as linhas de U são obtidas por operações elementares desse tipo. Por outras palavras, L(U) = L(A). Mais, as linhas de U que forem não nulas definem uma base de L(U) e, portanto, de L(A). Isto é verdade porque a matriz U é uma matriz em escada de modo que se ignorarmos as linhas nulas o sistema de equações lineares homogéneo yu = tem solução única. Portanto, as linhas não nulas de U (em número igual à característica de A, denotada car(a)) não só constituem um conjunto gerador de L(U) como formam um conjunto linearmente independente. Formam uma base. Mas não é a única base de L(A) que ficamos a conhecer. Se conseguirmos identificar a submatriz da matriz A que após eliminação de Gauss origina apenas as linhas não nulas da U então essas linhas da matriz A também constituem uma base de L(A). (Porquê?) Vamos agora ilustrar com a matriz A definida em (). A matriz U que se obtém no final de aplicar a eliminação de Gauss à matriz A é a matriz 2 3 U 2 (2) Portanto, dim L(A) = 2 e B = {[ 2 3 ], [ 2 ]

4 4 Álgebra Linear e Geometria Analítica é uma base de L(A). E conseguimos identificar outra base, nomeadamente, B = {[ 2 3 ], [ ] porque se aplicarmos eliminação de Gauss à submatriz da matriz A constituída pelas duas últimas linhas, a matriz U que obterímos seria precisamente definida pelas linhas não nulas da matriz em (2). Agora, consideramos o espaço das colunas C(A). Em geral, C(A) C(U) pois basta ver no exemplo anterior que a última componente de qualquer elemento de C(U) é zero enquanto que o mesmo não é verdade com alguns elementos de C(A). O que se verifica em geral é uma igualdade entre as dimensões de C(A) e de C(U), conforme o Teorema 4.2 na página 87 do texto de apoio de Ana Paula Santana e João Queiró. Nomeadamente, Teorema 4.2 (...) dim C(A) = dim C(U) = car(a) e, uma base de C(A) é constituída pelas colunas de A correspondentes às colunas de U que contêm os pivots. Vamos agora ilustrar com a matriz A definida em () cuja matriz U está definida em (2). Portanto, dim C(A) = 2 e B =, 2 é uma base de C(A) uma vez que os pivots estão na primeira e segunda colunas de U. Portanto, acabámos de ver como identificar uma base para cada um dos subespaços L(A) e C(A). Em particular, vimos que dim L(A) = dim C(A) = car(a). Como L(A) é essencialmente C(A T ) assim como C(A) é essencialmente L(A T ) então concluímos que car(a) = car(a T ), um resultado sobre matrizes que ainda não tinha sido demonstrado antes.

5 Texto de apoio 5 Agora, explicamos como obter uma base para o espaço nulo N(A). Claramente, o espaço nulo de A coincide com o espaço nulo de U pois os sistemas de equações lineares Ax = e Ux = são equivalentes. Portanto, N(A) = N(U). Como U é uma matriz em escada, o conjunto solução do sistema de equações lineares U x = pode ser completamente caracterizado por substituição ascendente, eventualmente em função das varíáveis não básicas (ou livres) se as houver. Dessa caracterização (ou solução geral) imediatamente se destaca um conjunto gerador, conjunto esse que tem que ser linearmente independente uma vez que cada um dos seus elementos tem unicamente uma componente distinta não nula (em que posição?). Como há n car(a) variáveis não básicas então concluímos que dim N(A) = n car(a). Vamos agora ilustrar com a matriz A definida em () cuja matriz U está definida em (2). Claramente, N(U) = = x x 2 x 3 : x + x 2 = 3x 3, x 2 = 2x 3, x 3 R = x 3 2x 3 x 3 : x 3 R = L 2 de onde se conclui que dim N(A) = e é uma base de N(A). B = 2 Agora, explicamos como obter uma base do espaço nulo à esquerda N left (A). Após a eliminação de Gauss fica conhecida a decomposição P A = LU,

6 6 Álgebra Linear e Geometria Analítica Então, N left (A) = {y : ya = = { y : yp T (P A) = Vejamos qual é a solução geral do sistema = { y : y ( P T L ) U = = { y : vu =, y ( P T L ) = v vu =. Como U é uma matriz em escada, as primeiras linhas definem um conjunto de linhas linearmente independente (em número igual a car(a)) e as restantes são linhas de tudozeros. Por isso, para os seguintes conjuntos de índices B = {, 2,..., car(a), N = {car(a) +, car(a) + 2,... m, temos vu = [ ] UB [v B v N ] = v B U B =, v N q.q. v B = B, v N q.q. Quer isto dizer que a solução geral do sistema vu = é simplesmente v = [ B v N ] [... v car(a)+... v m ], vcar(a)+,..., v m R. Portanto, N left (A) = { y : y ( P T L ) = [ B v N ], v N R m car(a), ou, melhor ainda, N left (A) = { wp : wl = [ B v N ], v N R m car(a), cuja base pode ser encontrada de modo análogo ao que se fez para o subespaço N(A).

7 Texto de apoio 7 Vamos agora ilustrar com a matriz A definida em (). Para esta matriz a decomposição P A = LU é igual a {{ P 2 3 {{ A = {{ L {{ U Para caracterizar N left (A), precisamos, primeiro, resolver o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis w, onde v 3 denota um número real qualquer, [w w 2 w 3 ] = [ v 3 ] [w w 2 w 3 ] = [ v 3 ], {{ L Finalmente, N left (A) = [ v 3] = {v 3 [ ] : v 3 R : v 3 R = L ([ ]). de onde se conclui que dim N left (A) = e B = {[ ] é uma base de N left (A).