Teste 1 de Matemática I - Curso de Arquitectura

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1 Teste de Matemática I - Curso de Arquitectura de Outubro de 9 - Teste B Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções dos sistemas em R < x + y + z = (a) ( val) x + y z = x y + z = Res A matriz aumentada do sistema é! O sistema ca < A solução é o ponto (; ; ) x + y + z = (b) ( val) x + y z = Res A matriz aumentada do sistema é O sistema ca x + y + z = y + z = z = x + y + z = z = < x =, y = z =! < x = y, y = y livre z = A solução é a recta de equação vetorial (x; y; z) = ( ; ; ) ; R! ( val) Discuta, em função dos parâmetros reais e, o seguinte sistema < x + y + z = x + y + z = x + y + z = Res A matriz aumentada [Aj b] do sistema é! + + neste caso quando 6= a matriz do sistema A tem três pivots, ou seja, a sua característica é e o sistema é possível e determinado Se = então Car (A) = Vejamos como ca [Aj b] ; + como não é possível resolver = e + = simultaneamente, o sistema neste caso ca impossível, pois Car (A) = e Car ([Aj b]) = ou e a característica da matriz A e de [Aj b] serão sempre diferentes ;

2 ( val) Considere o sistema de equações lineares < x + y + z = b x y + z = b, x + y + z = b e calcule os vectores (b ; b ; b ) R para os quais o sistema é possível Qual é o signi cado geométrico? Res A matriz aumentada [Aj b] do sistema é b b! b b b b! b b b b b b b b ou seja, o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação, quando b b +b =, o que de ne um plano no espaço dos parâmetros ( val) Considere o plano s R que passa por (; ; ), (; ; ) e (; ; ), e a recta r R que passa por (; ; ) e ( ; ; ) Determine a intersecção de s com r Res Temos de obter as equações vectorias do plano e da recta para tal é necessário calcular os vectores directores para s, escolhemos v = = e v = = ; a equação vectorial do plano resulta x y z = + + ; R, ; ou seja < x = y = z = No caso da recta temos para o vector director a equação vectorial resulta em u = x y z = +, z = = ; ; R; ou seja < x = y = z = x = + y, z = A intersecção será dada por < z = x = + y Que é um sistema impossível a recta e o plano são paralelos z =

3 ( val) Pelo método de Gauss-Jordan calcule a inversa da matriz Res R A =!!!! 6 ( val) Utilizando o resultado da questão anterior resolva o sistema < x + y + z = x + y + z = x + y + z = Res Temos de resolver o sistema Av = b, o que é equivalente a v = A b, sendo v = (x; y; z), b = (; ; ) e A é a matriz do problema anterior O resultado é imediato x y = = z ( val) Calcule real de forma a que a seguinte matriz seja singular (não tenha inversa) 6 Res Basta constatar que somando a primeira linha com a segunda obtemos a linha que resultará igual à quarta linha se e só se = Neste caso o determinante da matriz será zero e esta será singular ( val) Calcule a matriz dos cofactores e a inversa da matriz seguinte

4 Res é um exercício muito simples e mecânico, começamos pela matriz dos cofactores = 6 O determinante da matriz original resulta de multiplicar os elementos de qualquer linha (ou coluna) desta pelos elementos homólogos da linha correspondente (ou coluna) da matriz dos cofactores e adicionar os produtos Assim por exemplo fazendo este cálculo para as primeiras linhas ( ) + ( ) ( ) + ( ) =, a inversa será obtida pela expressão ou seja A = A = det A (Cof A)T ; = 9 ( val) Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações lineares em R < x y + z = a) x + y = x + y z = Res Neste caso o cálculo é, de novo, directo e os determinantes muito simples de calcular, uma vez que já se sabem todos os cofactores da matriz do sistema (da questão ) ( ) ( ) + ( ) x = = = ( ) ( ) + ( ) y = = = ( ) ( ) + ( ) z = = = ( val ) Calcule o volume do paralelipípedo cujas arestas são dadas pelos vectores (; ; ), ( ; ; ) e (; ; )

5 Res Basta calcular o determinante da matriz formada pelos vectores coluna que formam as arestas, pela ordem que se quiser, o volume é o valor absoluto desse determinante det ; note-se que a matriz considerada é a transposta da matriz dos problemas anteriores a transposição não altera o determinante que vale, logo o volume é ( val) Considere a matriz B = 6 n n n n n n n n Obtenha a sua inversa pelo método que quiser Explique claramente todos os passos do seu raciocínio Res Existem diversas formas de resolver o problema, nas chas práticas vem um problema semelhante com uma matriz que poderia dar uma sugestão de resultado para os alunos mais interessados Recorda-se que o resultado da inversa nesse caso era 6 como tal vamos supor como hipótese que o resultado pretendido é B = ; 6 basta con rmar que B B = Id, vejamos 6 6 ; n n n n n n n n que é + + n (n ) + n n (n ) + n + n (n ) + n n (n ) + n n (n ) + n n (n ) + n n (n ) + n 6 n (n ) + n 6

6 ou seja 6 Existem muitas outras formas de resolver o problema