Expansão linear e geradores
|
|
- Thereza Soares Bergler
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Expansão linear e geradores Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u 1 ; u ; :::; u n e outros não. O conjunto de todas as combinações lineares de um determinado de conjunto de vectores forma um subespaço vectorial de V : Teorema: Se u 1 ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial real V; então: 1. O conjunto W de todas as possíveis combinações lineares de u 1 ; u ; :::; u n é um subespaço vectorial de V:. W é o "menor" subespaço de V que contém u 1 ; u ; :::; u n ; querendo isto dizer que, se W 0 é outro subespaço vectorial de V que contenha u 1 ; u ; :::; u n ; então W W 0 : De nição: Seja V um espaço vectorial real e u 1 ; u ; :::; u n vectores de V. O subespaço W de nido no teorema anterior, isto é, o subespaço W = f 1 u 1 + u + ::: + n u n : 1 ; ; :::; n Rg chama-se expansão linear dos vectores u 1 ; u ; :::; u n ou subespaço vectorial gerado pelos vectores u 1 ; u ; :::; u n e representa-se por hu 1 ; u ; :::; u n i. Os vectores u 1 ; u ; :::; u n dizem-se um sistema de geradores de W: 1. R = h(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)i, ou seja, os vectores (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) formam um sistema de geradores para o espaço vectorial R :. Mais geralmente, o sistema [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) ; (0; 0; 1; :::; 0) ; :::; (0; 0; 0; :::; 1)] de n vectores de R n é um sistema de geradores de R n.. O subespaço vectorial de R ; F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g é 1 gerado por ; 1; 1 ; isto é, F = 1 ; 1; 1 : Para calcular este gerador, basta encontrar ( x 1 x = 0 a solução geral do sistema de equações x 1 x = 0 : 4. Os polinómios 1; x; x ; : : : ; x n formam um sistema de geradores para R n [n] : 5. Para (0; 0; 1; 0) e (0; 0; 0; 1) em R ; veri ca-se que h(0; 0; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)i = (1) = f 1 (0; 0; 1; 0) + (0; 0; 0; 1) : 1 ; Rg = () = (x 1 ; x ; x ; x 4 ) R 4 : x 1 = x = 0 : ()
2 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 Observações: 1. As expressões (1), () e () do exemplo 5 mostram diferentes formas de representar um subespaço vectorial.. Um subespaço vectorial admite muitos sistemas de geradores diferentes. No exemplo veri ca-se que 1 F = ; 1 ; 1 = h(1; 1; )i = h(1; 1; ) ; (0; 0; 0)i = 1 ; 1 ; 1 ; (1; 1; ) ; (0; 0; 0) :. Um espaço vectorial que admita um número nito de geradores diz-se nitamente gerado. 4. Nem todos os espaços vectoriais são nitamente gerados. Dos espaços estudados até agora, nem R [x] ; nem F (R) são nitamente gerados. Bases e dimensão de um espaço vectorial Se V é um espaço vectorial real, F um subespaço de V e u 1 ; u ; :::; u k vectores de F, diz-se que o sistema de vectores [u 1 ; u ; :::; u k ] é uma base de F se: (i) F = hu 1 ; u ; :::; u k i ; (ii) o sistema [u 1 ; u ; :::; u k ] é linearmente independente. 1. Como o sistema de geradores de R n [(1; 0; 0; :::; 0) ; (0; 1; 0; :::; 0) (0; 0; 1; :::; 0) ; ::: (0; 0; 0; :::; 1)] é linearmente independente, é uma base de R n ; a que se chama base canónica de R n.. O sistema de vectores [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R é uma base de R : 1 ::: 0 0 ::: 1 0 ::: 0 0 ::: 0. O sistema ; :::; ; :::; ; :::; de 0 ::: 0 0 ::: 0 1 ::: 0 0 ::: 1 mn vectores de M mn (R) é uma base de M mn (R) ; a que se chama base canónica de M mn (R). 4. Como o sistema de geradores de R n [x] formado pelos polinómios 1; x; x ; : : : ; x n é linearmente independente, é uma base de R n [n] ; a que se chama base canónica de R n [x] : 5. O subespaço vectorial de R ; F = f(x 1; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g tem como base, por exemplo, o sistema 1 ; 1 ; 1.
3 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 8 Os seguintes dois teoremas são fundamentais quando se estudam espaços vectoriais que admitem um sistema nito de geradores. Teorema: Qualquer espaço vectorial nitamente gerado tem uma base. Observação: Tendo um sistema de geradores de um espaço vectorial nitamente gerado, para obter uma base basta retirar do sistema de geradores os vectores que "estragam" a independência linear. Isto faz-se identi cando no sistema os vectores que se podem escrever como combinação linear dos restantes e retirando-os até se obter um sistema de geradores linearmente independente. Teorema: Num espaço vectorial nitamente gerado todos as bases têm o mesmo número de vectores. A partir do teorema anterior de ne-se dimensão de um espaço vectorial nitamente gerado V como sendo o número de vectores de uma base e representa-se esse número por dim (V ). Considera-se que o espaço vectorial nulo tem dimensão Para n N; o espaço vectorial R n tem uma base com n vectores, logo dim (R n ) = n.. Para m; n N, o espaço vectorial M mn (R) tem uma base com mn vectores, logo dim (M mn (R)) = mn.. Para n N; o espaço vectorial R n [n] tem uma base com n + 1 vectores, logo dim (R n [n]) = n Se A e uma matriz de ordem n; um seu valor próprio e U o subespaço próprio associado ao valor próprio ; então dim (U ) é a multiplicidade geométrica de. 5. A dimensão do espaço nulo de uma matriz A mn é dada pelo grau de indeterminação do sistema AX = 0; que é n car (A) : Saber a dimensão de um espaço vectorial permite tirar conclusões práticas importantes: Proposição: Seja V um espaço vectorial real de dimensão n. Então: 1. Qualquer sistema de vectores de V com mais de n vectores é linearmente dependente.. Qualquer sistema linearmente independente com n vectores é uma base de V.. Qualquer sistema de geradores de V com n vectores é uma base de V.
4 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 9 Pode-se ainda relacionar a dimensão de um espaço vectorial com a dimensão dos seus subespaços vectoriais: Proposição: 1. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial, então F é também nitamente gerado e dim (F ) dim (V ).. Se V é um espaço vectorial de dimensão n e F é um seu subespaço vectorial tal que dim (F ) = dim (V ), então F = V. Coordenadas de um vector relativamente a uma base Se V é um espaço vectorial e B = [u 1 ; u ; : : : ; u n ] é uma base de V; cada vector de V escreve- -se de forma única como combinação linear dos vectores de B; isto é, cada vector de v V escreve-se de modo único na forma v = a 1 u 1 + a u + + a n u n ; com a 1 ; a ; : : : ; a n R. Aos coe cientes a 1 ; a ; : : : ; a n desta combinação linear chamam-se coordenadas do vector v relativamente à base B: Como estas coordenadas são únicas, xando uma base de um espaço vectorial, pode-se "identi car" cada vector do espaço com o n-uplo das suas coordenadas, isto é, com um vector de R n : Isso pode-se representar, por exemplo, na forma: v! (a 1 ; a ; : : : ; a n ) B 1. O vector (1; 1; ) tem coordenadas 1; 1; relativamente à base canónica de R.. O mesmo vector (1; 1; ) tem coordenadas (1; 0; 1) B relativamente à base B = [(1; 1; 1) ; (0; 1; 1) ; (0; 0; 1)] de R :. Ainda o mesmo vector (1; 1; ) ; considerado agora como elemento do subespaço F = f(x 1 ; x ; x ) R : x 1 x = 0 e x 1 x = 0g ; tem coordenadas () B relativamente à base B = 1 de F: 4. O 5 vector tem coordenadas (; 4 " # 5; 4; ) B relativamente à base B = ; ; ; de M (R). 5. O vector 5 x + x tem coordenadas (5; ; 0; ) B relativamente à base [1; x; x ; x ] de R [x] :
5 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 40 Utilização de matrizes no estudo de espaços vectoriais As linhas de uma matriz do tipo m n podem ser identi cadas com vectores de R n : Quando se efectua uma operação elementar de tipo II ou III sobre as linhas de uma matriz substitui- -se uma linha por uma combinação linear de linhas. Quando, no decorrer do método de eliminação de Gauss uma linha é anulada, signi ca que essa linha é combinação linear das restantes, ou seja, que o sistema de vectores formado pelas linhas da matriz é linearmente dependente. Sendo u 1 ; : : : ; u k um sistema de vectores de vectores de R n ; pode-se formar a matriz A do tipo k n cujas linhas são esses vectores. Calculando a característica dessa matriz pode-se concluir que: (i) Se car (A) < k; o sistema de vectores [u 1 ; : : : ; u k ] é linearmente dependente. (ii) Se car (A) = k; o sistema de vectores [u 1 ; : : : ; u k ] é linearmente independente. (iii) Se car (A) = t, t k; então t é a dimensão do subespaço vectorial gerado por u 1 ; : : : ; u k, isto é dim hu 1 ; : : : ; u k i = car (A) : (iv) Quando a matriz A está em forma de escada, as linhas que não foram anuladas correspondem a vectores de uma base de hu 1 ; : : : ; u k i : Exemplo: Considere-se o sistema [(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)] de R 4 : Forma-se a matriz de tipo 4; A = : Aplicando o método de eliminação de Gauss a A chega-se à forma de escada A 0 = concluir: : Pode-se então (i) O sistema [(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)] é linearmente dependente. (ii) dim h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i = (iii) Uma base para o subespaço h(1; 1; ; 1) ; (; 1; 1; ) ; ( 1; ; 1; 1)i é formada pelos vectores (1; 1; ; 1) e (; 1; 1; ) : Este método pode ser utilizado para vectores que não pertençam a R n ; desde que sejam vectores de um espaço nitamente gerado. Para isso xa-se uma base do espaço (sempre que possível uma base canónica, para facilitar os cálculos) e determinam-se as coordenadas, relativamente a essa base, dos vectores com os quais se está a trabalhar. Essas coordenadas correspondem a vectores de R n (sendo n a dimensão do espaço), com os quais se pode, então formar uma matriz e aplicar o procedimento descrito atrás.
6 Espaços Vectoriais - ALGA - 004/ Considere-se o sistema [1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x ] de R [x] : Estes vectores, relativamente à base canónica de R [x] ; B = [1; x; x ; x ] ; têm coordenadas: 1 + x + x + x! (1; 1; ; 1) B x + x + x! (; 1; 1; ) B 1 + x + x x! ( 1; ; 1; 1) B Identi cadas as coordenadas, forma-se a matriz A = ; que admite, como vimos atrás, a forma de escada A 0 = : Pode-se então concluir que: (i) O sistema [1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x ] é linearmente dependente. (ii) dim h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i = : (iii) Uma base para o subespaço h1 + x + x + x ; x + x + x ; 1 + x + x x i pode ser formada pelos vectores 1 + x + x + x e x + x + x : " # 1. Considere-se o sistema ; ; de M (R) : Estes vectores, relativamente à base canónica B de M (R) ; têm coordenadas: ! (1; 1; ; 1) B ;! (; 1; 1; ) B e! ( 1; ; 1; 1) B Seguindo o procedimento anterior pode-se concluir que: " # 1 (i) O sistema ; ; é linearmente dependente. 1 * + 1 (ii) dim ; ; = : 1 * + 1 (iii) Uma base para o subespaço ; ; pode ser formada pelos vectores e 1 1 1
Espaços vectoriais reais
ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das
Leia maisExpansão linear e geradores
Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;
Leia maisSistemas de equações lineares
Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a
Leia maisSistemas de equações lineares
ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b
Leia maisAulas Teóricas de Álgebra Linear
Aulas Teóricas de Álgebra Linear Instituto Superior Técnico - o Semestre 009/00 MEAmbi - MEBiol Matrizes De nição Uma matriz A, do tipo m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e
Leia maisMatemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes
Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)
Leia maisMultiplicidade geométrica
Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 Multiplicidade geométrica Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio ao grau de indeterminação do sistema (A I n ) X : O grau de indeterminação de corresponde
Leia maisApontamentos das Aulas Teóricas de Álgebra Linear. LEAN - LEMat - MEAer - MEAmbi - MEEC - MEMec. Nuno Martins. Departamento de Matemática
Apontamentos das Aulas Teóricas de Álgebra Linear para LEAN - LEMat - MEAer - MEAmbi - MEEC - MEMec Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Fevereiro de 0 Índice Sistemas de
Leia maisOs Quatro Subespaços Fundamentais
Álgebra Linear e Geometria Analítica Texto de apoio Professor João Soares 7 páginas Universidade de Coimbra 26 de Novembro de 29 Os Quatro Subespaços Fundamentais Seja A uma matriz m n de elementos reais.
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Base e Dimensão de um Espaço Vetorial. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Base e Dimensão de um Espaço Vetorial Prof. Susie C. Keller Base de um Espaço Vetorial Um conjunto B = {v 1,..., v n } V é uma base do espaço vetorial V se: I) B é LI II) B gera V Base de
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V!
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVIÃO DA PARTE IV Parte IV - Diagonalização Conceitos: valor próprio, vector
Leia maisProduto interno, externo e misto de vectores
MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto interno, externo e misto de vectores A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass.
Leia maisÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller
ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Prof. Susie C. Keller Combinação Linear Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer
Leia maisSistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos
Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram
Leia maisProduto interno no espaço vectorial R n
ALGA - 008/09 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se
Leia mais1 Espaços Vectoriais
Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Espaço Vectorial Conjunto de elementos que verifica as seguintes propriedades: Existência de elementos: Contém pelo menos um
Leia maisMINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT 17 1. Suponha que uma força de 1 newtons é aplicada em um objeto ao longo do
Leia mais(Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Resumo das Aulas Teóricas de 2 o Semestre 2004/2005 (Todos os cursos da Alameda) Paulo Pinto Álgebra Linear Conteúdo Sistemas
Leia maisCapítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos
Capítulo 1 Matrizes e Sistema de Equações Lineares Neste capítulo apresentaremos as principais de nições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento
Leia maisficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2
Leia maisÁlgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia
Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 200 - ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios
Leia maisÁlgebra Linear Exercícios Resolvidos
Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos
Leia maisMatrizes - ALGA /05 1. Matrizes
Matrizes - ALGA - 004/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) : i f1; ; :::; mg e j f1; ; :::; ngg e com valores
Leia maisFicha de Exercícios nº 1
Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 1 Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos.
Leia maisLista de exercícios 7 Independência Linear.
Universidade Federal do Paraná semestre 6. Algebra Linear Olivier Brahic Lista de exercícios 7 Independência Linear. Exercício : Determine se os seguintes vetores são linearmente independentes em R : (
Leia maisÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
ÁLGEBRA LINEAR SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 Sistemas de Equações Lineares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares 3 Forma
Leia maisSistemas Lineares. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2
Sistemas Lineares Juliana Pimentel juliana.pimentel@ufabc.edu.br http://hostel.ufabc.edu.br/ juliana.pimentel Sala 507-2 - Bloco A, Torre 2 O que é uma equação linear? O que é uma equação linear? Ex: 1)
Leia maisDisciplina: Introdução à Álgebra Linear
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa
Leia mais1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0
Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A
Leia maisUniversidade Federal Fluminense - GAN
Solimá Gomes Pimentel Universidade Federal Fluminense IM - GAN Solimá Gomes Pimentel, ****- Matemática para Economia III/Solimá Gomes Pimentel 2pt, ; 31cm Inclui Bibliografia. 1. Matemática para Economia
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 2 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método
Leia maisDiagonal mais curta. Como d = mx e l = nx, teríamos: l 1 = d l = mx nx = (m n)x = n 1 x. d 1 = a:d + b:l = amx + bnx = (am + bn)x = m 1 x
Diagonal mais curta Seja P um polígono regular de lados ( > 6), d a medida da sua diagonal mais curta e l a medida do seu lado. Supondo que d e l são comensuráveis, temos d mx e l nx, onde m e n são inteiros
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto
Leia maisResolução dos Exercícios 31/05-09/06.
Resolução dos Exercícios 31/05-09/06. 1. Seja A um domínio de integridade. Mostre que todo subgrupo finito de U(A) é cíclico. Seja K o corpo de frações de A. Então A é um subanel de K (identificado com
Leia maisMatrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis
Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas
Leia maisESPAÇOS VETORIAIS. Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga
ESPAÇOS VETORIAIS Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga INTRODUÇÃO Sabe-se que o conjunto 2 ( x, y) / x, y é interpretado geometricamente como o plano cartesiano. O par ordenado (x,y)
Leia maisÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMERIA ANALÍICA Resolução da Repetição do 1º este 04 de Fevereiro de 2015; 19:00 Ano Lectivo: 2014-2015 Semestre: Inverno Aceda aqui à página de ALGA ISEL è ADMat Secção de Álgebra ç
Leia maisDiagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.
Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo.
Leia maisDependência linear e bases
Dependência linear e bases Sadao Massago 2014 Sumário 1 Dependência linear 1 2 ases e coordenadas 3 3 Matriz mudança de base 5 Neste texto, introduziremos o que é uma base do plano ou do espaço 1 Dependência
Leia maisficha 3 espaços lineares
Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo
Leia maisP (A) n(a) AB tra. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
NOTAÇÕES N = f; ; 3; : : :g i : unidade imaginária: i = R : conjunto dos números reais jzj : módulo do número z C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z C [a; b] = fx R; a x bg
Leia maisEquação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma anxn + an 1 xn 1 + an 2 xn a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x
EQUAÇÃO POLINOMIAL Equação algébrica Equação polinomial ou algébrica é toda equação na forma a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0, sendo x C a incógnita e a n, a n 1,..., a
Leia maisResolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período
www.engenhariafacil.net Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período 2013.1 OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Para ter ao menos uma solução devemos escalonar para ver
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CAMPUS AVANÇADO DE NATAL CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROFESSOR: MARCELO SILVA 1. Introdução No ensino fundamental você estudou
Leia maisMatrizes - Matemática II /05 1. Matrizes
Matrizes - Matemática II - 00/0 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n a uma função A de nida no conjunto f(i; j) i f1; ; ; mg e j f1; ; ; ngg e com valores
Leia mais7 Formas Quadráticas
Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática
Leia maisExercícios de Álgebra Linear
Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de Índice
Leia maisTópicos de Matemática Elementar
Revisão Básica de Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior Universidade Federal de Alfenas 26 de novembro de 2014 Revisão de Definição 1 (Espaço Vetorial) Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em
Leia maisMAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro
MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II 2012.2 SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro 1. Subespaços Fundamentais de uma Matriz (1.1) Definição. Seja A uma matriz retangular m
Leia maisEsmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos
Mínimos quadrados Esmeralda Sousa Dias É frequente ser necessário determinar uma curva bem ajustada a um conjunto de dados obtidos experimentalmente. Por exemplo, suponha que como resultado de uma certa
Leia maisFicha de Exercícios nº 3
Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação
Leia maisw 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T =
Independência e dependência linear ) a) Sejam v, v e v vectores linearmente independentes de um espaço linear S. Prove que os vectores também são linearmente independentes. Resolução Seja V a expansão
Leia maisEquação Geral do Segundo Grau em R 2
8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................
Leia maisApontamentos das aulas teóricas de Álgebra Linear
Apontamentos das aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: MEAmbi e MEBio 1 o Semestre 2015/2016 Prof Paulo Pinto http://wwwmathtecnicoulisboapt/ ppinto Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra
Leia maisPROGRAMA ÁLGEBRA LINEAR, MEEC (AL-10) Aula teórica 32
ÁLGEBRA LINEAR, MEEC (AL-10) Aula teórica 32 PROGRAMA 1. Sistemas de equações lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espaços vectoriais (ou espaços lineares) 2.1 Espaços e subespaços
Leia maisMétodo de eliminação de Gauss
Matrizes - Matemática II - 00/0 Método de eliminação de Gauss Seja A = [a ij ] uma matriz de tipo m n. a FASE - ELIMINAÇÃO DESCENDENTE Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da
Leia maisNotas sobre primitivas
MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada
Leia maisÁlgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Álgebra Linear - 2 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Verifique que os conjuntos V abaixo com as operações dadas não são espaços vetoriais explicitando a falha em alguma das propriedades.
Leia maisCapítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes
6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações
Leia maisAutovetor e Autovalor de um Operador Linear
Autovetor e Autovalor de um Operador Linear Definição Seja T : V V um operador linear. Um vetor v V, v 0, é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que T (v) = λv. O número real λ acima é
Leia maisPLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO E APRENDIZAGEM I IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR (A) DA DISCIPLINA:
Leia maisCapítulo 3: Espaços Vetoriais
3 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 3: Espaços Vetoriais Sumário 1 Subespaços Vetoriais................. 58 1.1 Caracterização dos Subespaços
Leia maisProduto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru
1 Produto Interno - Mauri C. Nascimento - Depto. de Matemática - FC UNESP Bauru Neste capítulo vamos considerar espaços vetoriais sobre K, onde K = R ou K = C, ou seja, os espaços vetoriais podem ser reais
Leia mais(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ) a(x + iy) = ax + i(ay)
Espaços Vetoriais Definição. Um espaço vetorial sobre R é um conjunto V no qual se tem definida uma adição e uma multiplicação de seus elementos por escalares (isto é, por números reais), ou seja, dados
Leia maisem valores singulares ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 1 / 14
Capítulo 7 Decomposição em valores singulares ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Decomposição por valores singulares 1 / 14 Motivação A determinação da característica de uma
Leia maisProduto interno, externo e misto
Produto interno, externo e misto Definição: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmento de recta [OP ] e representa-se por u. Definição: Sejam a = OA e b = OB dois vectores não
Leia maisConjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados
Conteúdo Conteúdo 1 1 Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados 2 1.1 Conjuntos parcialmente ordenados................ 2 1.2 Diagramas de Hasse........................ 4 1.3
Leia mais0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.
Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador
Leia maisALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE /11 - Geometria Analítica 88. Geometria Analítica
ALGA - Eng. Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 010/ - Geometria Analítica Geometria Analítica A noção de recta em R e R ; tal como a noção de plano em R já foram abordados no ensino secundário. Neste capítulo
Leia maisSISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Álgebra Linear e Geometria Analítica Prof. Aline Paliga 8.1 DEFINIÇÕES Equação linear é uma equação na forma: a1x 1 a2x2 a3x3... anxn b x1, x2, x3,..., xn a1, a2, a3,...,
Leia maisn. 2 MATRIZ INVERSA (I = matriz unidade ou matriz identidade de ordem n / matriz canônica do R n ).
n. 2 MATRIZ INVERSA Modo : utilizando a matriz identidade Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que A. B = B. A = I. (I = matriz unidade ou
Leia maisÁlgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que:
21002 - Álgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que: Verifique se o ficheiro que recebeu está correcto. O
Leia maisn. 33 Núcleo de uma transformação linear
n. 33 Núcleo de uma transformação linear Chama-se núcleo de uma transformação linear f: V W ao conjunto de todos os vetores v V que são transformados em 0 W. Indica-se esse conjunto por N(f) ou Ker (f).
Leia maisÁlgebra Linear Teoria de Matrizes
Álgebra Linear Teoria de Matrizes 1. Sistemas Lineares 1.1. Coordenadas em espaços lineares: independência linear, base, dimensão, singularidade, combinação linear 1.2. Espaço imagem (colunas) - Espaço
Leia maisAula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)
ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado
Leia maisEXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR. Prefácio 3. Parte 1. Sistemas de equações lineares 4. Parte 2. Matrizes 10. Parte 3.
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR PEDRO MATIAS Conteúdo Prefácio 3 Parte 1. Sistemas de equações lineares 4 Parte 2. Matrizes 10 Parte 3. Determinantes 16 Parte 4. Geometria analítica 18 Parte 5. Espaços lineares
Leia maisPolinómios Simétricos e Polinómios W-harmónicos
Sob orientação do Prof. Samuel Lopes Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 28 de Maio de 2014 Terminologia Consideramos polinómios sobre C em n variáveis: c(j1,...,j n)x j 1 1 x n jn c (j) C O
Leia maisMétodos Numéricos. Turma CI-202-X. Josiney de Souza.
Métodos Numéricos Turma CI-202-X Josiney de Souza josineys@inf.ufpr.br Agenda do Dia Aula 15 (21/10/15) Sistemas Lineares Métodos Diretos: Regra de Cramer Método da Eliminação de Gauss (ou triangulação)
Leia maisRoteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0
Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará
Leia maisCapítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que
Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto
Leia maisII Lista de Álgebra Linear /02 Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple
. Verique se R com as operações denidas por: II Lista de Álgebra Linear - / Espaços Vetoriais Prof. Iva Zuchi Siple i. (x y) + (s t) (s y + t) onde u (x y) e v (s t) pertencem a R ii. α(x y) (αx y) onde
Leia maisUNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR PROF.: MARCELO SILVA Determinantes Introdução Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número
Leia maisEspaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15
Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se
Leia maisÁlgebra Linear. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia
Álgebra Linear Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 202 - ISA/UTL Álgebra Linear 202/3 2 Conteúdo Cálculo matricial 5. Sistemas de equações lineares......................... 5.2 Matrizes
Leia maisUm sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:
Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor
Leia maisCurso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense
Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de
Leia maisÁLGEBRA LINEAR AULA 4
ÁLGEBRA LINEAR AULA 4 Luís Felipe Kiesow de Macedo Universidade Federal de Pelotas - UFPel 1 / 14 1 Introdução 2 Desenvolvimento de Laplace 3 Matriz Adjunta 4 Matriz Inversa 5 Regra de Cramer 6 Posto da
Leia mais3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)
Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica
Leia maisTÓPICOS DE MATEMÁTICA II. O Curso está dividido em três unidades, temos que concluir todas.
TÓPICOS DE MATEMÁTICA II Roosevelt Imperiano da Silva Palavras iniciais Caros alunos, vamos iniciar o curso da disciplina Tópicos de Matemática II. Neste curso estudaremos os conjuntos numéricos e suas
Leia maisn. 35 AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS
n. 35 AUTOVALORES e AUTOVETORES ou VALORES e VETORES PRÓPRIOS ou VALORES CARACTERÍSTICOS e VETORES CARACTERÍSTICOS Aplicações: estudo de vibrações, dinâmica populacional, estudos referentes à Genética,
Leia maisNotações e revisão de álgebra linear
Notações e revisão de álgebra linear Marina Andretta ICMC-USP 17 de agosto de 2016 Baseado no livro Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0211
Leia maisMatemática Computacional - 2 o ano LEMat e MEQ
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Matemática Aplicada e Análise Numérica Matemática Computacional - o ano LEMat e MEQ Exame/Teste - 1 de Janeiro de 1 - Parte I (1h3m) 1. Considere
Leia maisEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES POLINOMIAIS Prof. Patricia Caldana Denominamos equações polinomiais ou algébricas, as equações da forma: P(x)=0, onde P(x) é um polinômio de grau n > 0. As raízes da equação algébrica, são as
Leia maisALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /
ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os
Leia maisÁlgebra Linear e Geometria Analítica
Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica
Leia maisFORMA CANÔNICA DE JORDAN
FORMA CANÔNICA DE JORDAN Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 4 de novembro de 2011 Roteiro Motivação 1 Motivação 2 3 4 5 6 Roteiro Motivação 1 Motivação 2 3 4 5 6 Matrizes Quase Diagonalizáveis
Leia maisAULA Exercícios. DEMONSTRAR QUE UMA TRANSFORMAÇÃO É LINEAR Se A é uma matriz real m n e. u R, a aplicação T : R R tal que
Note bem: a leitura destes apontamentos não dispensa de modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira Chama-se a atenção para a importância do trabalho pessoal a realizar pelo aluno
Leia maisALGA - Eng.Civil - ISE - 2009/2010 - Matrizes 1. Matrizes
ALGA - Eng.Civil - ISE - 00/010 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::; mg f1; ; :::; ng R:
Leia maisPARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx
Leia mais