Produto interno, externo e misto de vectores

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1 MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto interno, externo e misto de vectores A noção de produto interno (ou escalar) de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores com duas ou três coordenadass. Neste capítulo generaliza-se esta noção. Os espaços R n No ensino secundário foram estudados vectores no plano, da forma (x; y); e no espaço, da forma (x; y; z) : Denomina-se por espaço R o conjunto dos vectores no plano e por espaço R o conjunto dos vectores no espaço. Embora se perca a interpretação geométrica, é fácil generalizar estas de nições a dimensões maiores e de nir o espaço R n, para qualquer n N: R n = f(x 1 ; x ; :::; x n ) : x 1 ; x ; :::; x n Rg Os elementos de R n designam-se genericamente por vectores e as de nições de soma de vectores e de produto de um número real por um vector decorrem naturalmente das de nições análogas no plano e no espaço. Exemplos: 1. Espaço R 4 = f(x 1 ; x ; x ; x 4 ) : x 1 ; x ; x ; x 4 Rg. ( 1; 0; ; 1; ) é um vector do espaço R 5 :. Soma de vectores: (1; ; ; 4; 5; ) + (; 5; 4; ; ; 1) = (; ; ; ; ; ) 4. Produto de um numero real por um vector: Para R, ( 1; 0; ; 1; ) = ( ; 0; ; ; ) Produto interno euclidiano O produto interno ou escalar de dois vectores u e v em R ou R foi de nido pela expressão: u v = kuk kvk cos ] (u:v) : Esta expressão pressupõe que se pode medir o comprimento dos vectores e a amplitude do ângulo por eles formado. Quando a dimensão aumenta e se perde a interpretação geométrica dos vectores, essas medições não são possíveis. Para generalizar a de nição de produto interno aos outros espaços R n utiliza-se a expressão, também já conhecida, do produto escalar usando as coordenadas dos vectores. No caso do espaço R, por exemplo, sendo u = (u 1 ; u ) e v = (v 1 ; v ) dois vectores o produto interno é: (u 1 ; u ) (v 1 ; v ) = u 1 v 1 + u v Assim, se u = (u 1 ; u ; : : : ; u n ) e v = (v 1 ; v ; : : : ; v n ) são vectores de R n, o produto interno euclidiano (ou usual) u v 1 é de nido por u v = u 1 v 1 + u v + + u n v n 1 Para o produto interno de dois vectores u e v também se usam a notações ujv e hu; vi :

2 MTDI I - 00/08 - Produto Interno Exemplo: Em R 5 ; (1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1) = = 5: A partir da de nição obtêm-se sem di culdade as seguintes propriedades: Propriedades: Se u; v; w são vectores de R n e R, então: 1. u v = v u.. u (v + w) = u v + u w:. 8 R; (u) v = (u v) = u (v) : 4. u u 0 e u u = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0). Nota: Pode-se de nir produto interno de uma forma ainda mais geral, como sendo qualquer aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as quatro propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que se de ne, para vectores de R n ; u = (u 1 ; u ; : : : ; u n ) e v = (v 1 ; v ; : : : ; v n ), e sendo k 1; k ; : : : ; k n números reais positivos, pela fórmula: u v = k 1 u 1 v 1 + k u v + + k n u n v n : Norma euclidiana Usando a de nição de produto interno em R n podem também ser generalizadas as noções de norma de vectores e de distância entre dois vectores. Sejam u = (u 1 ; u : : : ; u n ) e v = (v 1 ; v ; : : : ; v n ) vectores de R n : De ne-se: 1. Norma euclidiana de u, kuk = p u u = p u 1 + u + + u n.. Distância entre os vectores u e v; d (u; v) = ku vk = k(u 1 v 1 ; u v ; : : : ; u n v n )k. Exemplo: Em R 5 : k(1; ; ; 4; 5)k = p (1; ; ; 4; 5) (1; ; ; 4; 5) = p = p 55 d ((1; ; ; 4; 5) ; (5; 4; ; ; 1)) = k(1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1)k = k( 4; ; 0; ; 4)k = p 40 Propriedades: Sejam u e v vectores de R n e R, então: 1. kuk 0 e kuk = 0 se e só se u = (0; 0; : : : ; 0) :. d (u; v) 0 e d (u; v) = 0 se e só se u = v:. kuk = jj kuk : 4. ku + vk kuk + kvk (desigualdade triangular). 5. ju vj kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz ). Augustin Louis Cauchy, matemático francês ( ). Hermann Amandus Schwarz, matemático alemão ( )

3 MTDI I - 00/08 - Produto Interno 8 Ângulo de dois vectores A noção de ângulo entre dois vectores pode também ser generalizada a vectores de R n, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Através desta desigualdade, tem-se, para u e v não nulos, ju vj kuk kvk,, ju vj kuk kvk 1,, 1 u v kuk kvk 1: (1) Como é sabido, se é um ângulo cuja medida varia entre 0 e, então cos percorre todos os valores entre 1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de nição: Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ] (u; v) ; é o ângulo ; 0 ; tal que cos = u v ; isto é, o ângulo tal que kuk kvk cos ] (u; v) = u v kuk kvk Esta era a de nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R ou de R. De () obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores: u v = kuk kvk cos ] (u; v) : () Exemplo: Em R 5 : cos ] (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p ; 0 = = = (1; 1; 1; 0; 1) 1; 1; 1; p ; 0 k(1; 1; 1; 0; 1)k 1; 1; 1; p ; 0 = p p = O ângulo cujo co-seno é e tal que 0 é = : Assim, ] (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p ; 0 = : Ortogonalidade O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de R n que são ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de : Da igualdade () veri ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos ] (u; v) = 0 se e só se u v = 0: Isto motiva a seguinte de nição: De nição: Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais se u v = 0:

4 MTDI I - 00/08 - Produto Interno 9 Nota: De acordo com a de nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois u (0; 0; : : : ; 0) = 0; 8u R n : Exemplos: Em R 4 os vectores u = (; 1; ; 4) e v = (; 1; 4; 1) são ortogonais pois (; 1; ; 4) (; 1; 4; 1) = 0: A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço R n : Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de R n ; então ku + vk = kuk + kvk : Demonstração: ku + vk = = (u + v) (u + v) = = (u u) + (u v) + (v u) + (v v) = {z } {z } =0 =0 = kuk + kvk Conjuntos ortogonais e ortonormados de vectores Um conjunto de vectores de R n diz-se ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do conjunto é 1. Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que, 8v R n n f(0; 0; : : : ; 0)g ; 1 kvk v = 1 kvk kvk = 1 kvk = 1; kvk A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do vector v: Exemplos: 1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g é ortogonal, pois (0; 1; 0) (1; 0; 1) = 0; (0; 1; 0) (1; 0; 1) = 0 e (1; 0; 1) (1; 0; 1) = 0:

5 MTDI I - 00/08 - Produto Interno 0. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta normalizar os vectores. Como k(0; 1; 0)k = 1; k(1; 0; 1)k = p e k(1; 0; 1)k = p 1 1 o conjunto (0; 1; 0) ; p (1; 0; 1) ; p (1; 0; 1) é ortonormado.. Um referencial ortonormado é um referencial no qual os vectores que o constituem formam um conjunto ortonormado. Determinantes de ordem e. O determinante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de determinados produtos de elementos da matriz. Descreve-se aqui apenas como se calculam determinantes de matrizes de ordem e. Ordem : a 11 a 1 Se A = a 1 a # ; então o seu determinante é Exemplo: det 1 4 a 1 a a # det A = a 11 a a 1 a 1 = 1 4 = Ordem : a 11 a 1 a 1 Se A = 4 a 1 a a 5 ; então o seu determinante é det A = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 11 a a a 1 a 1 a a 1 a a 1 : Nota: Como se pode observar, o determinante de ordem três é uma soma de seis parcelas, três afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Cada parcela é o produto de três entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de Sarrus : 1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: 4 a 11 a 1 a 1 a 1 a a 5 a 11 a 1 a 1 a a 1 a a a 1 a Pierre Frederic Sarrus ( ) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 18.

6 MTDI I - 00/08 - Produto Interno 1 - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a 11 a a ; a 1 a a 1 e a 1 a 1 a - Os produtos afectados com sinal obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a 1 a a 1, a 11 a a e a 1 a 1 a Exemplo: Cálculo do determinante da matriz Parcelas com sinal + : Parcelas com sinal : 1 5 9; e 4 8 det ; 1 8 e = = 0

7 MTDI I - 00/08 - Produto Interno Produto externo e produto misto O produto externo e o produto misto de vectores apenas se calculam em espaços a três dimensões. Ao longo desta secção todos os vectores considerados são vectores do espaço R : De nição de produto externo Se u = (u 1 ; u ; u ) e v = (v 1 ; v ; v ) são vectores de R então o produto externo de u e v é o vector: u v = (u v u v ; u 1 v + u v 1 ; u 1 v u v 1 ) ou, em linguagem de determinantes, # # #! u u u 1 u u 1 u u v = det ; det ; det v v v 1 v v 1 v Exemplo: Se u = (1; ; ) e v = (4; 5; ) u v = = det 5 = ( ; ; ) # ; det 1 4 # ; det 5 #! = Veri ca-se que ( ; ; ) (1; ; ) = 0 e ( ; ; ) (4; 5; ) = 0; ou seja, o vector u v é ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral e é uma das propriedades que se enunciam de seguida. Propriedades do produto externo Sejam u; v; w R e k R. 1. Se existe R tal que u = v ou v = u, u v = (0; 0; 0) :. Em particular, u u = (0; 0; 0) e u (0; 0; 0) = (0; 0; 0) u = (0; 0; 0) :. (u v) u = 0 (u v é ortogonal a u). 4. (u v) v = 0 (u v é ortogonal a v). 5. ku vk = kuk kvksen] (u; v) :. Se u = (u 1 ; u ; u ), v = (v 1 ; v ; v ) e u v = (z 1 ; z ; z ) então det 4 u 1 u u v 1 v v 5 > 0: z 1 z z. u v = (v u) : 8. u (v + w) = (u v) + (u w) : 9. (u + v) w = (u w) + (v w) : 10. k (u v) = (ku) v = u (kv) :

8 MTDI I - 00/08 - Produto Interno De nição de produto misto Se u; v; w R ; então o produto misto de u; v e w é u (v w) : O produto misto de três vectores é um número real que pode ser calculado, sendo u = (u 1 ; u ; u ) ; v = (v 1 ; v ; v ) e w = (w 1 ; w ; w ), por: Propriedades do produto misto Sendo u; v; w R ; então u 1 u u u (v w) = det 4 v 1 v v 5 w 1 w w 1. u (v w) = 0 se e só se um dos vectores u; v ou w é combinação dos outros. (por exemplo, se u = (1; ; ) ; v = (1; 0; 1) e w = (1; 4; 5) ; então u (v w) = 0; pois (1; 4; 5) = (1; ; ) (1; 0; 1) = u v). u(v w) = (u v)w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo a ordem dos vectores) Aplicações do produto externo e produto misto 1. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, em R, um vector que seja simultaneamente ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente independentes).. É sabido que equação de um plano com a direcção de dois vectores dados u; v e que passe pela origem é da forma ax + by + cz = 0 em que (a; b; c) é um vector ortogonal a u e a v: Para encontrar essa equação pode-se considerar para (a; b; c) o vector u v: Exemplo: De acordo com o exemplo da página, a equação do plano com a direcção dos vectores u = (1; ; ) e v = (4; 5; ) e que passa na origem pode ser x + y z = 0. A área do paralelogramo de nido por dois vectores u e v é dada por ku vk : 4. O volume do paralelipípedo de nido por três vectores u; v e w é dado por ju (v w)j :