Produto interno no espaço vectorial R n

Transcrição

1 ALGA - 00/0 - Produto interno 8 Produto interno no espaço vectorial R n A noção de produto interno de vectores foi introduzida no ensino secundário, para vectores de R e R : Neste capítulo generaliza-se esta noção ao espaço R n ; bem como algumas noções associadas. Produto interno euclidiano Se x (x 1 ; : : : ; x n ) e y (y 1 ; : : : ; y n ) são vectores de R n, então o produto interno euclidiano (ou usual) x y é de nido por x y x 1 y 1 + x y + + x n y n Como casos particulares desta de nição temos os produtos internos já conhecidos em R e R : Exemplo: Em R 5 ; (1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1) : Propriedades: Se u; v; w são vectores de R n e R, então: 1. u v v u.. u (v + w) u v + u w:. 8 R; (u) v (u v) u (v) : 4. u u 0 e u u 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0). Nota: Pode-se de nir produto interno de uma forma mais geral, como sendo qualquer aplicação que a um par de vectores faça corresponder um número real e satisfaça as quatro propriedades enunciadas. Um exemplo é o produto interno euclidiano com pesos que se de ne, para vectores de R n ; x (x 1 ; : : : ; x n ) e y (y 1 ; : : : ; y n ), e sendo k 1; k ; : : : ; k n números reais positivos, pela fórmula: x y k 1 x 1 y 1 + k x y + + k n x n y n : Norma euclidiana Sejam u e v vectores de R n : De ne-se: 1. Norma euclidiana de u, kuk p u u p u 1 + u + + u n.. Distância entre os vectores u e v; d (u; v) ku vk. Exemplo: Em R 5 : k(1; ; ; 4; 5)k p p 55 d ((1; ; ; 4; 5) ; (5; 4; ; ; 1)) k(1; ; ; 4; 5) (5; 4; ; ; 1)k k( 4; ; 0; ; 4)k p 40

2 ALGA - 00/0 - Produto interno 9 Propriedades: Sejam u e v vectores de R n e R, então: 1. kuk 0 e kuk 0 se e só se u (0; 0; : : : ; 0) :. d (u; v) 0 e d (u; v) 0 se e só se u v:. kuk jj kuk : 4. ku + vk kuk + kvk (desigualdade triangular). 5. ju vj kuk kvk (desigualdade de Cauchy-Schwarz). Ângulo de dois vectores A de nição de produto interno em R n permite generalizar a de nição de ângulo entre dois vectores v e u : Através da desigualdade de Cauchy-Schwarz, tem-se, para u e v não nulos, ju vj kuk kvk,, ju vj kuk kvk 1,, 1 u v kuk kvk 1: (1) Como é sabido, se é um ângulo cuja medida varia entre 0 e, então cos percorre todos os valores entre 1 e 1. Este facto e as desigualdades (1) permitem a seguinte de nição: Ângulo de dois vectores não nulos u e v; ^ (u; v) ; é o ângulo ; 0 ; tal que cos u v ; isto é, o ângulo tal que kuk kvk cos ^ (u; v) u v kuk kvk Esta era a de nição já conhecida anteriormente para ângulo entre vectores de R ou de R. De () obtém-se também a fórmula, já conhecida, para o produto interno de dois vectores: u v kuk kvk cos ^ (u; v) : () Exemplo: Em R 5 : ^ (1; 1; 1; 0; 1) ; 1; 1; 1; p ; 0 (1; 1; 1; 0; 1) 1; 1; 1; p ; 0 arccos k(1; 1; 1; 0; 1)k 1; 1; 1; p ; 0 1 arccos

3 ALGA - 00/0 - Produto interno 0 Ortogonalidade O cálculo do ângulo de dois vectores permite determinar quais os vectores de R n que são ortogonais, isto é, quais os vectores que formam entre si um ângulo de : Da igualdade () veri ca-se que se u e v são dois vectores não nulos então cos ^ (u; v) 0 se e só se u v 0: Isto motiva a seguinte de nição: De nição: Dois vectores u e v de R n dizem-se ortogonais se u v 0: Nota: De acordo com a de nição o vector nulo é ortogonal a qualquer vector pois u (0; 0; : : : ; 0) 0; 8u R n : Exemplos: Em R 4 os vectores u (; 1; ; 4) e v (; 1; 4; 1) são ortogonais pois (; 1; ; 4) (; 1; 4; 1) 0: A noção de ortogonalidade permite generalizar o teorema de Pitágoras ao espaço R n : Teorema (Pitágoras): Se u e v são vectores ortogonais de R n ; então ku + vk kuk + kvk : Demonstração: Bases ortonormadas ku + vk Um conjunto de vectores de R n (u + v) (u + v) (u u) + (u v) + (v u) + (v v) {z } {z } 0 0 kuk + kvk diz-se um ortogonal se os vectores do conjunto forem ortogonais dois a dois. Um conjunto ortogonal diz-se ortonormado se a norma de cada vector do conjunto é 1. Se nenhum dos vectores de um conjunto ortogonal é o vector nulo, pode-se obter um conjunto ortonormado efectuando o produto de cada vector pelo inverso da sua norma, dado que, 8v R n n f(0; 0; : : : ; 0)g ; 1 kvk v 1 kvk kvk 1 kvk 1; kvk A este processo de multiplicar um vector pelo inverso da norma chama-se normalização do vector v:

4 ALGA - 00/0 - Produto interno 1 Exemplos: 1. O conjunto de vectores f(0; 1; 0) ; (1; 0; 1) ; (1; 0; 1)g é ortogonal, pois (0; 1; 0) (1; 0; 1) 0; (0; 1; 0) (1; 0; 1) 0 e (1; 0; 1) (1; 0; 1) 0:. Para obter um conjunto ortonormado a partir do conjunto do exemplo 1, basta normalizar os vectores. Como k(0; 1; 0)k 1; k(1; 0; 1)k p e k(1; 0; 1)k p 1 1 o conjunto (0; 1; 0) ; p (1; 0; 1) ; p (1; 0; 1) é ortonormado. De nição: Uma base de R n é ortogonal se é um conjunto ortogonal de vectores e é ortonormada se é um conjunto ortonormado de vectores. Exemplos: 1. A base canónica de R n é ortonormada.. O conjunto ortonormado de nido no exemplo acima, como é um conjunto linearmente independente com vectores em R ; é uma base ortonormada de R : Método de ortonormalização de Gram-Schmidt É possível encontrar uma base ortonormada para qualquer subespaço vectorial de R n. Isso pode ser feito a partir de qualquer base desse subespaço, utilizando um processo que se chama método de ortonormalização de Gram-Schmidt: A partir de uma base fu 1 ; : : : ; u k g de um subespaço, constrói-se um novo conjunto de vectores fv 1 ; : : : ; v k g da seguinte forma: v 1 u 1 ; v u u v 1 kv 1 k v 1; v u u v 1 kv 1 k v 1 u v kv k v ;. Xk 1 v k u k j1 u k v j kv j k v j: Normalizando o conjunto obtido fv 1 ; : : : ; v k g ; que é ortogonal, obtém-se a base ortonormada de F v1 kv 1 k ; : : : ; v k : kv k k

5 ALGA - 00/0 - Produto interno Produto interno noutros espaços vectoriais O conceito de produto interno pode ser abordado de uma forma mais geral, como foi referido na nota da página 8, e essa de nição mais geral serve também para de nir produto interno noutros espaços vectoriais reais. Vamos ver aqui como é possível, a partir da de nição do produto interno euclidiano em R n ; de nir produtos internos noutros espaços vectoriais de dimensão nita. Se V é um espaço vectorial real de dimensão n e B é uma sua base, dois vectores x; y V podem ser, como foi visto no capítulo anterior, expressos como vectores de R n ; considerando as suas coordenadas relativamente à base B: x! (x 1 ; x ; : : : ; x n ) B e y! (y 1 ; y ; : : : ; y n ) B Para quaisquer vectores x e y em V; a expressão x y x 1 y 1 + x y + + x n y n : de ne um produto interno em V; ou seja, uma aplicação que a cada par de elementos de V faz corresponder um número real, satisfazendo as propriedades 1,, e 4) da página 8. A partir desta de nição, todas as outras noções estudadas (norma, distância, ângulo, ortogonalidade, etc.) são também de nidas e todas as propriedades atrás enunciadas são válidas. Exemplos: 1. Em R [x] ; relativamente à base canónica, + x x 1 p (; 1; ) (; 1; ) p p 14:. Em M (R) ; relativamente à base canónica, (1; ; ; 4) ( 1; 5; 0; ) 4 0 e ] ! 1 4 arccos 1 4 arccos p p

6 ALGA - 00/0 - Produto interno Produto externo e produto misto Ao contrário do produto interno, que pode ser de nido de forma muito geral em qualquer espaço vectorial de dimensão nita ou não nita, a de nição de produto externo de vectores é limitada a espaços de dimensão três. Vamos apresentar aqui a de nição de produto externo de vectores em R. Ao longo desta secção todos os vectores considerados são vectores do espaço R : De nição de produto externo Se u (u 1 ; u ; u ) e v (v 1 ; v ; v ) são vectores de R então o produto externo de u e v é o vector: u v (u v u v ; u 1 v + u v 1 ; u 1 v u v 1 ) ou, em linguagem de determinantes, u u u v det v v ; det u 1 u v 1 v ; det u 1 u v 1 v! Sendo e 1 (1; 0; 0) ; e (0; 1; 0) e e (0; 0; 1) os vectores da base canónica de R ; para facilitar a memorização desta de nição, podemos encontrar u v fazendo o desenvolvimento ao longo da primeira linha do determinante simbólico: u v \ det 4 e 1 e e u 1 u u 5 det v 1 v v u u e 1 det v v u 1 u v 1 v e + det u 1 u v 1 v e Exemplo: Se u (1; ; ) e v (4; 5; ) u v \ det 4 e 1 e e det (1; 0; 0) det (0; 1; 0) + det 5 4 (1; 0; 0) ( ) (0; 1; 0) + ( ) (0; 0; 1) ( ; ; ) (0; 0; 1) Veri ca-se que ( ; ; ) (1; ; ) 0 e ( ; ; ) (4; 5; ) 0; ou seja, o vector u v é ortogonal ao vector u e ao vector v: Esta propriedade é geral, como vamos ver de seguida.

7 ALGA - 00/0 - Produto interno 4 Propriedades do produto externo Sejam u; v; w R e k R. Se [u; v; w] é linearmente independente:. (u v) u 0 (u v é ortogonal a u). 4. (u v) v 0 (u v é ortogonal a v). 5. ku vk kuk kvksen] (u; v) :. Se u (u 1 ; u ; u ), v (v 1 ; v ; v ) e u v (z 1 ; z ; z ) então det 4 u 1 u u v 1 v v 5 > 0: z 1 z z. u v (v u) : 8. u (v + w) (u v) + (u w) : 9. (u + v) w (u w) + (v w) : 10. k (u v) (ku) v u (kv) : Se fu; vg é linearmente dependente, então 11. u v (0; 0; 0) : 1. Em particular, u u (0; 0; 0) e u (0; 0; 0) (0; 0; 0) u (0; 0; 0) : De nição de produto misto Se u; v; w R ; então o produto misto de u; v e w é u (v w) : O produto misto de três vectores é, portanto, um número real que pode ser calculado, sendo u (u 1 ; u ; u ) ; v (v 1 ; v ; v ) e w (w 1 ; w ; w ), por: Propriedades do produto misto Sendo u; v; w R ; então u 1 u u u (v w) det 4 v 1 v v 5 w 1 w w 1. u (v w) 0 se e só se o conjunto de vectores fu; v; wg é linearmente dependente.

8 ALGA - 00/0 - Produto interno 5. u(v w) (u v)w (no produto misto as operações podem ser trocadas, mantendo a ordem dos vectores) De facto, u (v w) det 4 u 1 u u v 1 v v 5 w 1 w w w 1 w w det 4 v 1 v v 5 det 4 u 1 u u w 1 w w u 1 u u 5 v 1 v v w (u v) (u v) w Analogamente se veri ca que:. u (v w) v (w u) 4. u (v w) (u (w v)) (v (u w)) (w (v u)) Aplicações do produto externo e produto misto 1. O produto externo pode ser utilizado sempre que se pretenda encontrar, em R, um vector que seja simultaneamante ortogonal a dois vectores dados (que sejam linearmente independentes).. É sabido que equação de um plano com a direcção de dois vectores dados u; v e que passe pela origem é da forma ax + by + cz 0 em que (a; b; c) é um vector ortogonal a u e a v: Para encontrar essa equação pode-se considerar para (a; b; c) o vector u v: De acordo com o exemplo da página, a equação do plano com a direcção dos vectores u (1; ; ) e v (4; 5; ) e que passa na origem pode ser x + y z 0. A área do paralelograma de nido por dois vectores u e v é dada por ku vk : 4. O volume do paralelipípedo de nido por três vectores u; v e w é dado por ju (v w)j :