PROGRAMA ÁLGEBRA LINEAR, MEEC (AL-10) Aula teórica 32

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1 ÁLGEBRA LINEAR, MEEC (AL-10) Aula teórica 32 PROGRAMA 1. Sistemas de equações lineares e matrizes 1.1 Sistemas 1.2 Matrizes 1.3 Determinantes 2. Espaços vectoriais (ou espaços lineares) 2.1 Espaços e subespaços 2.2 Subespaços associados a matrizes 2.3 Isomorfismos 2.4 Independência linear, bases e dimensão 2.5 Aplicações 3. Transformações lineares 3.1 Representação matricial 3.2 Equações lineares 3.3 Mudança de base 3.4 Vectores e valores próprios 4. Espaços Euclidianos 4.1 Produtos internos e métricas 4.2 Projecções e distâncias 4.3 Transformações lineares entre espaços Euclidianos

2 BIBLIOGRAFIA L. Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, 1992, Texto Editora. Secções 4.4, e O que se segue diz respeito tanto a espaços reais como complexos. DEFINIÇÃO Seja V um espaço Euclidiano e seja S V um subespaço qualquer. Diz-se que um vector x V é ortogonal a S se e só se é ortogonal a todos os vectores de S. O conjunto de todos os vectores ortogonais a S designa-se por complemento ortogonal de S e denota-se por S.

3 EXEMPLO Já vimos os seguintes exemplos, dada uma matriz A Mat m n (R), tomando para produto interno de R n o produto escalar: nuc(a) = (lin(a)) R n lin(a) = (nuc(a)) R n TEOREMA Se S for um subespaço de um espaço Euclidiano V de dimensão finita então V = S S. (Portanto cada vector x V escreve-se de forma única como x = x S + x S com x S S e x S S.) A função P : V S definida por P(x) = x S (designada por (operador de) projecção ortogonal de V sobre S) é uma transformação linear. Se {e 1,...,e k } for uma base ortonormal de S então Px = k i=1 x,e i e i.

4 TEOREMA (Continuação.) Tem-se: P(V) = S P 2 = P Px,y = x,py Denotando por P a projecção ortogonal de V sobre S tem-se: P + P = id x 2 = Px 2 + P x 2 (fórmula de Pitágoras). Demonstração. Ver demonstração no livro. TEOREMA (Teorema de aproximação.) Seja S um subespaço de dimensão finita de um espaço Euclidiano V e seja x V. Então existe um vector de S mais próximo de x do que todos os outros vectores de S, nomeadamente a projecção ortgonal de x sobre S. Por outras palavras, para qualquer y S tem-se x Px x y.

5 Demonstração. Da fórmula de Pitágoras temos x y 2 = P(x y) 2 + P (x y) 2. Logo, como Py = y para qualquer y S temos x y P (x y) = (id P)(x y) = x Px y + Py = x Px. COROLÁRIO Seja S um subespaço de dimensão finita de um espaço Euclidiano V e seja x V. A distância de x a S é igual a x Px = P x. Se a V então a distância de x ao plano-k a + S é P (x a). Se U S for um subespaço e b V (diz-se que os planos a + S e b + U são paralelos) a distância entre eles é P (b a).

6 APLICAÇÃO APROXIMAÇÕES DE QUADRADOS MÍNIMOS Suponha-se que o sistema seguinte com A Mat m n (R) é impossível (ou seja, b / col(a)): Ax = b Existem contudo soluções que minimizam a distância de b ao espaço col(a). Sendo P o operador de projecção ortogonal sobe col(a), o vector p = Pb é o vector de col(a) mais próximo de b (equivalentemente, p é tal que p b col(a) explique porquê). Definição: As soluções de quadrados mínimos de Ax = b são as soluções de Ax = p. TEOREMA Seja A Mat m n (R). As soluções de quadrados mínimos do sistema Ax = b são os vectores x R n que satisfazem A T Ax = A T b.

7 Demonstração. Os vectores de col(a) são da forma Ay para y R n. A condição p b (col(a)) é equivalente a impor, para qualquer y R n, Ay (p b) = 0, ou seja, (Ay) T (p b) = 0, e portanto para qualquer y R n. y T A T (p b) = 0 Isto é equivalente a ter-se A T (p b) = 0, ou seja, A T p = A T b. Portanto as soluções de quadrados mínimos são os vectores x tais que A T Ax = A T b. LEMA Seja A Mat m n (R). Então A e A T A têm a mesma característica. Demonstração. Vamos começar por provar que A e A T A têm o mesmo núcleo. Primeiro, nuc(a) nuc(a T A) pois evidentemente se Ax = 0 então A T Ax = 0. Por outro lado, se A T Ax = 0 então x T A T Ax = 0, ou seja, (Ax) (Ax) = (Ax) T Ax = 0, pelo que Ax = 0. Portanto nuc(a) = nuc(a T A). A T A tem n colunas, tal como A, e tem a mesma nulidade de A e portanto tem a mesma característica de A.

8 COROLÁRIO Seja A Mat m n (R). A matriz A T A é não-singular se e só se as colunas de A forem linearmente independentes. Nesse caso a solução de quadrados mínimos do sistema Ax = b é única e é dada pela fórmula x = (A T A) 1 A T b. REGRESSÃO LINEAR Problema: Como encontrar uma recta de equação y = Ct + D que melhor aproxime a colecção de dados experimentais da figura seguinte?

9 REGRESSÃO LINEAR Resposta: Sendo m o número de pontos do gráfico, com coordenadas (t i,y i ), queremos a solução de quadrados mínimos do sistema Ct 1 + D = y 1 ou seja, com. Ct m + D = y m. A = At = y t 1 1 t t m 1. Então as soluções de quadrados mínimos são as soluções do sistema [ ti 2 ][ ] [ ] t i C t = i y i. t i m D t i Nota: Se todos os pontos (t i,y i ) tiverem t i s distintos então as colunas de A são linearmente independentes e por isso ter-se-á uma e uma só recta, com C e D dados por pelo que [ C D ] [ t = i 2 t i t i m ] 1 [ t i y i t i C = m t i y i ( t i ) 2 m ti 2 ( t i ) 2 D = ( t i ) ( ti 2 ) t i y i m ti 2 ( t i ) 2. ],