Ficha de Exercícios nº 1

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1 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 1 Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos. b) A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial. c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços vectoriais. d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço vectorial. 2 Em, qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial? a) O conjunto de pontos da forma ( ). b) O conjunto de pontos da forma ( ). c) O conjunto de pontos da forma ( ). d) O conjunto de pontos da forma ( ). 3 Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial? a) ( * +). b). c) * +. d). 4 Em, o plano dado pela equação tem dimensão: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. 1

2 Ficha de Exercícios nº 1 5 Qual o espaço gerado pelos vectores ( ), ( ) e ( )? a) O plano dado por. b). c) O plano dado por. d) O plano dado por. 6 Sejam u e v dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre? a) É 0. b) É igual a.. c) É 1. d) Nada. 7 O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço vectorial de um espaço vectorial V, e, o complemento ortogonal de S? a) É igual a. b) É igual a * +. c) Tem a mesma dimensão que. d) Pode não ser um subespaço vectorial. 8 Quando é que um vector v, normal a um plano A, de, é ortogonal aos vectores de A? a) Sempre. b) Nunca. c) Apenas quando A contém a origem de. d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A. 2

3 Ficha de Exercícios nº 1 9 Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de, é um subespaço vectorial de? a) Sempre. b) Nunca. c) Apenas quando A contém a origem de. d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de. 10 Sejam A e B dois planos de que têm como vectores normais, respectivamente, ( ) e ( ). Qual das seguintes afirmações é garantidamente verdadeira? a). b) ( ). c). d) É possível que ( ) ( ). 3

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5 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Espaços Vectoriais 1 Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) Um espaço vectorial pode ter um número ímpar de elementos. A afirmação é verdadeira, porque um espaço vectorial pode ter apenas um elemento, ou um número infinito de elementos (se tiver pelo menos 1 elemento não nulo, sendo fechado para a multiplicação por números reais, tem que ter um número infinito de elementos). Este é um exemplo de um espaço vectorial constituído por 1 elemento: * + 1 é ímpar Não vazio: Fechado para a soma: Fechado para a multiplicação por números reais: A é um espaço vectorial. b) A soma directa de dois espaços vectoriais pode não ser um espaço vectorial. A afirmação é falsa, porque sendo A e B dois espaços vectoriais, são não vazios, fechados para a soma e fechados para a multiplicação por números reais. A soma directa de A e B,, é o conjunto de vectores que se obtém ao somar cada elemento de A com cada elemento de B. Esta é a prova que é também não vazio, fechado para a soma e fechado para a multiplicação por números reais: A espaço vectorial; B espaço vectorial; * + Não vazio: ( ) Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fechado para a multiplicação por números reais: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) é um espaço vectorial. 1

6 c) Cada espaço vectorial contém (no sentido estrito) pelo menos dois sub-espaços vectoriais. A afirmação é falsa, porque, por exemplo, o espaço vectorial próprio ) o subespaço vectorial * +. contém apenas (excluindo o d) A intersecção de dois conjuntos que não sejam espaços vectoriais não é espaço vectorial. A afirmação é falsa, porque o conjunto de elementos comuns a dois conjuntos que não são fechados para a soma, ou fechados para a multiplicação (ou ambos), pode ser fechado para a soma e fechado para a multiplicação. Por exemplo, * + e * + não são subespaços vectoriais por não serem, por exemplo, fechados para a soma, mas * + é um espaço vectorial. Resposta correcta: a) 2 Em, qual dos seguintes conjuntos é espaço vectorial? a) O conjunto de pontos da forma ( ). A resposta é correcta: *( ) + Não vazio: ( ) Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) Fechado para a multiplicação por números reais: ( ) ( ) ( ) é um espaço vectorial. b) O conjunto de pontos da forma ( ). A resposta é incorrecta: *( ) + Não vazio: ( ) Inclusão da origem: ( ) não é um espaço vectorial. c) O conjunto de pontos da forma ( ). A resposta é incorrecta: *( ) + 2

7 Não vazio: ( ) Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) não é um espaço vectorial. d) O conjunto de pontos da forma ( ). A resposta é incorrecta: *( ) + Não vazio: ( ) Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) não é um espaço vectorial. Resposta correcta: a) 3 Qual dos seguintes conjuntos não é um espaço vectorial? a) ( * +). A resposta é incorrecta: ( * +) Não vazio: Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fechado para a multiplicação por números reais: ( ) ( ) é um espaço vectorial. b). A resposta é incorrecta: Não vazio: Fechado para a soma: Fechado para a multiplicação por números reais: é um espaço vectorial. 3

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9 c) * +. A resposta é incorrecta: * + * + Não vazio: * + Fechado para a soma: * + Fechado para a multiplicação por números reais: * + * + é um espaço vectorial. d). A resposta é correcta: Fechado para a multiplicação por números reais: não é um espaço vectorial. Resposta correcta: d) 4 Em, o plano dado pela equação tem dimensão: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. Vamos encontrar uma base para o plano (que é um subespaço vectorial de sua cardinalidade (número de vectores que contém): ) e identificar a Sistema de geradores: *( ) + *( ) + * ( ) ( ) ( ) + *( ) ( ) ( )+ Independência linear: ( ) ( ) ( ) ( ) { *( ) ( ) ( )+ é linearmente independente 5

10 Base: *( ) ( ) ( )+ { *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( )+ é uma base de A Dimensão: ( ) *( ) ( ) ( )+ Alternativamente, podemos verificar que A contém todos os vectores de cuja 1ª coordenada (x) é 0, o que significa que os seus elementos têm 3 variáveis livres: y, z e w, cujo valor não tem qualquer restrição. A dimensão de A iguala o número de variáveis livres dos seus elementos sendo, por isso, 3. Resposta correcta: c) 5 Qual o espaço gerado pelos vectores ( ), ( ) e ( )? a) O plano dado por. b). c) O plano dado por. d) O plano dado por. Os vectores ( ), ( ) e ( ) são geradores de um subespaço vectorial de, constituído por todos os vectores que representam uma combinação linear dos 3. Chamemos a este subespaço vectorial A: *( ) ( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + Mas, ainda que gerem A, estes 3 vectores podem ser linearmente dependentes, no sentido em que algum deles pode ser gerado pelos restantes. Nesse caso, o vector que pode ser obtido a partir dos outros não contribui para a geração do espaço (também não a impede), podendo ser removido. Vamos verificar se os vectores são linearmente independentes: ( ) ( ) ( ) ( ) { { { *( ) ( ) ( )+ é linearmente dependente Sendo os vectores linearmente dependentes e nenhum deles o vector nulo, então qualquer 1 deles pode ser gerado a partir dos outros 2. Vamos verificar se os 2 primeiros são 6

11 linearmente independentes (em caso afirmativo, também geram A, mas desta vez à custa de um menor número de vectores): ( ) ( ) ( ) { { *( ) ( )+ é linearmente dependente Desta forma, podemos descrever A de forma mais concisa do que se tivessemos recorrido aos 3 vectores originais: *( ) ( )+ *( ) ( ) ( ) ( ) + *( ) ( ) ( ) + *( ) + *( ) + Resposta correcta: a) 6 Sejam u e v dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo sentido. O que pode garantidamente afirmar sobre? a) É 0. b) É igual a.. c) É 1. d) Nada. Se u e v são dois vectores de não nulos, com a mesma direcção e o mesmo sentido, são paralelos, formando por isso um ângulo de 0º entre si. Aplicando-lhes a fórmula que nos indica o coseno do ângulo formado entre dois vectores, obtemos: ( ) ( ) Resposta correcta: b) 7 O que pode garantidamente afirmar sobre a intersecção entre S, um subespaço vectorial de um espaço vectorial V, e, o complemento ortogonal de S? a) É igual a. A resposta é incorrecta. Se S é um subespaço vectorial, contém a origem de V,. E é ortogonal a todos os vectores de V, incluindo, pertencendo, por isso, a ( ). Logo: 7

12 b) É igual a * +. A resposta é correcta. Já sabemos que contém. Para além deste, não contém nenhum outro vector. De facto, qualquer vector que pertença a é ortogonal a si próprio. Contudo, nenhum vector não nulo preenche esta condição. Se u, um vector não nulo de V, fosse ortogonal a si próprio,. Mas e é sempre positiva, excepto quando u é o vector nulo. Por isso, sendo u diferente de, e não há nenhum vector, excepto, que pertença simultaneamente a e. c) Tem a mesma dimensão que. A resposta é incorrecta. isso dimensão. Por exemplo: *( ) + *( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *( ) + *( ) + Não vazio: ( ) ( ) pode não ser um subespaço vectorial de V, não tendo por Fechado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) não é um subespaço vectorial de V d) Pode não ser um subespaço vectorial. A resposta é incorrecta. * + e, por isso, é um subespaço vectorial de V. Resposta correcta: b) 8 Quando é que um vector v, normal a um plano A, de, é ortogonal aos vectores de A? a) Sempre. b) Nunca. c) Apenas quando A contém a origem de. d) Apenas quando v é paralelo à diferença de dois vectores de A. v, o vector normal a A, é ortogonal não aos vectores de A (no sentido em que todos os vectores de têm início na origem), mas aos vectores diferença de A (vectores que resultam da subtracção entre vectores de A). Assim, em geral, v não é ortogonal aos vectores de A. Contudo, se A contiver a origem de, então os vectores diferença de A são também vectores de A e, neste caso, v é ortogonal aos vectores de A. De facto, a equação normal de A é dada por ( ), sendo x um vector geral de A, a um vector 8

13 específico que pertença a A e v o vector normal a A. a pode ser qualquer vector de A, nomeadamente a origem de, se esta pertencer a A. Substituindo a por na equação normal, ficamos com: ( ) Se A não contiver a origem de, nenhum vector diferença de A vai coincidir com qualquer dos vectores de A e, por isso, v não vai ser ortogonal aos vectores de A. De facto, imagine-se que, mas que existe um vector de A, b, que é ortogonal a v. Escolhendo b como vector específico, na equação normal de A, ficamos com ( ). Mas sabemos que todos os vectores de que satisfazem esta equação pertencem a A e é um deles: ( ) A última igualdade é de facto verdadeira, porque b é ortogonal a v. Logo, se v for perpendicular a um vector de A, este plano contém necessariamente a origem de. Resposta correcta: c) 9 Quando é que o conjunto de vectores normais a um plano A, de, é um subespaço vectorial de? a) Sempre. b) Nunca. c) Apenas quando A contém a origem de. d) Apenas quando A é um subespaço vectorial de. Se um vector é ortogonal a um plano A, de, também o são todos os vectores com a sua direcção e apenas estes. Por isso, o conjunto de vectores normais a um plano de é sempre constituído por um vector e pelos seus múltiplos, sendo por isso um subespaço vectorial de, independentemente do plano A. Chamemos V ao conjunto de vectores normais a A: * ( ) + Não vazio: ( ) Fechado para a soma: ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fechado para a multiplicação por números reais: ( ) ( ) ( ) V é um subespaço vectorial de. 9

14 Resposta correcta: a) 10 Sejam A e B dois planos de que têm como vectores normais, respectivamente, ( ) e ( ). Qual das seguintes afirmações é garantidamente verdadeira? a). A resposta é incorrecta. Apenas sabemos que A e B têm dois vectores normais paralelos. Se um vector é normal a um plano, todos os seus múltiplos também o são, pelo que ( ) e ( ) são normais quer a A, quer a B. Sabemos então que A e B paralelos, mas não sabemos onde se encontram em. É por isso perfeitamente possível que A e B sejam o mesmo plano e, nesse caso,. b) ( ). A resposta é incorrecta. É possível que um vector normal a um plano pertença ao plano (tendo em conta que todos os vectores de têm início em ( )). Se A for o plano cuja equação cartesiana é, então ( ) é não só um vector normal a A (os coeficientes de x, y e z na equação cartesiana são, respectivamente, 1, 1 e 1), como também um vector de A ( ). c). A resposta é incorrecta. Sabemos que A e B são paralelos, mas não podemos garantir que sejam o mesmo plano. De facto, é possível que A e B tenham, por exemplo, como equações cartesianas, respectivamente, e, não sendo neste caso o mesmo plano (neste exemplo, o plano B resulta de uma translação do plano A, subindo 1 unidade no eixo dos zz). d) É possível que ( ) ( ). A resposta é correcta. A e B são planos paralelos, já que os vectores normais a ambos são todos os vectores com a direcção do vector ( ) (e do ( ) também). Desta forma, o facto de sabermos que A é ortogonal a ( ) e B a ( ) nada nos indica sobre a distância a que cada um se encontra da origem de. A norma do vector normal a um plano é irrelevante, interessando apenas a sua direcção. Assim, se A e B tiverem como equações cartesianas, respectivamente, e, ficamos com: Plano A: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Plano B: ( ) ( ) Comparação: ( ) ( ) 10

15 Resposta correcta: d) 11