Matemática A 11.º Ano Resumo de Equações de Planos

Transcrição

1 Matemática A 11.º Ano Resumo de Equações de Planos Equações dos Planos Coordenados: Equação do Plano xoy : z =0 Equação do Plano xoz : y=0 Equação do Plano yoz : x=0 Página 1 de 7

2 Equações de Planos Paralelos aos Planos Coordenados, ou seja, Equações de Planos Perpendiculares aos Eixos Coordenados Equação de um plano paralelo ao plano xoy, ou seja, perpendicular ao eixo Oz : z=k Equação de um plano paralelo ao plano xoz, ou seja, perpendicular ao eixo Oy :: y=k Equação de um plano paralelo ao plano yoz, ou seja, perpendicular ao eixo Ox : x=k Página 2 de 7

3 Equação Cartesiana de um Plano Encontrar a equação cartesiana do plano perpendicular ao vector u 2,3,4 e que contém o ponto Q 5,6,7 1.º Processo: Trata-se de encontrar uma relação entre as coordenadas (x, y, z) dos pontos P que pertencem ao plano, ou seja, tais que u QP=0. Como QP= P Q= x 5, y 6, z 7, tem-se sucessivamente, u QP=0 2 x 5 3 y 6 4 z 7 =0 2x 10 3y 18 4z 28=0 2x 3y 4z 56=0, em que (2, 3, 4) são as coordenadas de um vector normal ao plano. Assim, a equação Ax By Cz D=0 é a equação cartesiana de um plano, em que A, B, C são as coordenadas de um vector perpendicular ao plano. 2.º Processo: Trata-se de encontrar os valores de A, B, C e D da equação Ax By Cz D=0. Como nos é dado o vector u 2,3,4 que é normal ao plano, a equação do plano passa a ser 2x 3y 4z D=0 Para determinar o parâmetro D, basta usar o ponto Q 5,6,7, que pertencendo ao plano satisfaz à sua equação e então, substituindo x, y e z, pelas respectivas coordenadas vem: D=0 D= 56 E então a equação cartesiana do plano é 2x 3y 4z 56=0 Página 3 de 7

4 Representar geometricamente a parte do plano de equação 2x 3y 4z 56=0 que está no primeiro octante. Basta encontrar as coordenadas dos pontos de intersecção do plano com os eixos coordenados: Intersecção com o eixo Ox : fazer y=0e z=0 na equação do plano e obtém-se x=28, pelo que o ponto de intersecção com o eixo Ox é o ponto R 28, 0, 0 Intersecção com o eixo Oy : fazer x=0 e z=0 na equação do plano e obtém-se y= 56 3, 56 pelo que o ponto de intersecção com o eixo Oy é o ponto S 0, 3, 0 Intersecção com o eixo Oz : fazer x=0 e y=0 na equação do plano e obtém-se z=14, pelo que o ponto de intersecção com o eixo Oz é o ponto T 0, 0, 14 A representação gráfica será então Página 4 de 7

5 56 Encontrar a equação cartesiana do plano definido pelos pontos R 28, 0, 0, 0, S 3, T 0, 0, 14 0 e 1.º Processo: Trata-se de encontrar os valores de A, B, C e D da equação Ax By Cz D=0. Como é sabido, A, B e C, são as coordenadas de um vector normal ao plano. Tais coordenadas não são dadas pelo que temos de determiná-las. Comecemos por recordar que para que uma recta seja perpendicular a um plano ela terá de ser perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano. Assim, o vector n A, B, C é normal ao plano se for perpendicular, por exemplo, aos vectores RT e RS. Deste modo temos: RT =T R= 28, 0, 14 RS=S R= 28, 56 3, 0 n RS n RS=0 28A 56 3 B=0 84A 56B=0 B= 3 2 A Neste momento podemos dizer que n A, 3 2 A, C n RT n RT =0 28A 14C=0 C =2A Temos assim que um vector normal ao plano é do tipo n A, 3 2 A, 2A. Para obter um elemento desta família basta dar um qualquer valor, não nulo, a A, por exemplo A=2 e assim, n 2, 3, 4. A equação do plano tem a forma 2x 3y 4z D=0 Para determinar o parâmetro D, basta usar um ponto do plano, por exemplo o ponto T 0, 0, 14, que pertencendo ao plano satisfaz à sua equação e então, substituindo x, y e z, pelas respectivas coordenadas vem: D=0 D= 56 E então a equação cartesiana do plano é Página 5 de 7

6 2.º Processo: 2x 3y 4z 56=0 Trata-se de encontrar os valores de A, B, C e D da equação Ax By Cz D=0. Como é sabido, A, B e C, são as coordenadas de um vector normal ao plano. Tais coordenadas não são dadas, mas conhecemos três pontos do plano, pelo que satisfazem à sua equação. Assim: Comecemos com o ponto R : R 28, 0, 0 pertence ao plano logo A 28 D=0 D= 28A e então a equação cartesiana do plano passa a ser Ax By Cz 28A=0 Passemos agora ao ponto S 56 S 0, 3, 0 pertence ao plano logo A 0 B 56 3 e então a equação cartesiana do plano passa a ser C 0 28A=0 56B 84A=0 B=84 56 A B= 3 2 A Ax 3 2 Ay Cz 28A=0 Finalmente utilizemos o ponto T T 0, 0, 14 pertence ao plano logo A 0 3 A 0 C 14 28A=0 14C 28A=0 C=2A 2 e então a equação cartesiana do plano passa a ser Ax 3 2 Ay 2Az 28A=0 em que A é um número real não nulo. Para encontrar a equação mais simples do plano, basta fazer A=2 e assim, a equação final do plano é 2x 3y 4z 56=0 NOTA: Teria sido mais fácil se tivéssemos começado com o ponto T. Página 6 de 7

7 Observação: A equação de um plano que passa pela origem é do tipo Ax By Cz=0 De facto, se o ponto (0, 0, 0) pertence ao plano de equação Ax By Cz D=0, satisfaz à sua equação e então A 0 B 0 C 0 D=0 D = 0 e então a equação fica simplesmente Ax By Cz=0 Equações de Planos Paralelos a um Eixo Coordenados, ou seja, Equações de Planos Perpendiculares aos Planos Coordenados Equação de um plano paralelo ao eixo Ox, ou seja, perpendicular ao plano yoz : By Cz D=0 Equação de um plano paralelo ao eixo Oy, ou seja, perpendicular ao plano xoz : Ax Cz D=0 Equação de um plano paralelo ao eixo Oz, ou seja, perpendicular ao plano xoy : Ax By D=0 Página 7 de 7