3º. EM Prof a. Valéria Rojas Assunto: Determinante, Área do Triângulo, Equação da reta, Eq. Reduzida da Reta

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1 1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(x a, y a ), B(x b, x c ) e C(x c, y c ). A área S desse triângulo é dada por S = 1/2. D, onde D é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A, B e C. Temos portanto: A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área) Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus Condição de alinhamento de três pontos Três pontos estão alinhados se são colineares, isto é, se pertencem a uma mesma reta. É óbvio que se os pontos A, B e C estão alinhados, então o triângulo ABC não existe, e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ). Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1, concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo, ou seja : D = 0. Exercício resolvido: Se os pontos P(3, 5), Q(-3, 8) e C(4, y) são colineares, então o valor de y é : a) 4 b) 3 c) 3,5 d) 4,5 e) 2 Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter: Que o senhor seja eternamente Louvado Página 1

2 Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos: y y + 20 = 0 y = 9/2 = 4,5. Portanto a alternativa correta é a letra D. 2 - Equação geral da reta. Seja r a reta que passa pelos pontos A (x a, y a ) e B (x b, y b ). Seja P(x, y) um ponto qualquer desta reta. Pela condição de alinhamento de 3 pontos, podemos escrever: Desenvolvendo o determinante acima obtemos: (Ya - Yb). x + (Xa - Xb). y + (XaYb - XbYa) = 0. Fazendo Ya - Yb = a, Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c, decorre que todo ponto P(x,y) pertencente à reta, deve verificar a equação : ax + by + c = 0 que é chamada equação geral da reta r. Exemplos: 2x + 5y - 4 = 0 (a = 2, b = 5, c = -4) 3x - 4y = 10 (a = 3, b = -4, c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y - 10 = 0. 3y + 12 = 0 (a = 0, b = 3, c = 12) 7x + 14 = 0 (a = 7, b = 0, c = 14) equação do eixo Oy - eixo das y = 0 (a = 0, b = 1, c = 0) equação do eixo Ox - eixo das abscissas. Observações: a) a = 0, y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x ) b) b = 0, x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y) 3 - Posição relativa de duas retas Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser : Paralelas : r // s ( mr=ms) Concorrentes : r I s = { P }, onde P é o ponto de interseção (mr ) Coincidentes : r = s. Que o senhor seja eternamente Louvado Página 2

3 Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a x + b y + c = 0, temos os seguintes casos : as retas são coincidentes. as retas são paralelas. Exercícios resolvidos as retas são concorrentes. 1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0? Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas são paralelas. 2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0, podemos afirmar: a) elas são paralelas b) elas são concorrentes c) r t s = R d) r s t = R 2 e) as três equações representam uma mesma reta. Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro caso acima) e portanto as retas r e s são coincidentes. Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t, teremos: 3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima); Portanto as retas r, s e t são coincidentes, ou seja, representam a mesma reta. Logo a alternativa correta é a letra E. 3) Para se determinar o ponto de interseção de duas retas, basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições, pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0. Da equação da reta r tiramos: x = (18-5y) / 2 (eq. 1); substituindo na equação da reta s vem: Que o senhor seja eternamente Louvado Página 3

4 6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 => 54-15y - 7y - 10 = 0 => 44-22y = 0 => 44 = 22y =>y = 2; substituindo o valor de y na eq. 1 fica:.x = (18-5.2) / 2 = 4. Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2). Agora resolva esta: Qual a área do triângulo ABC de vértices A (2,5), B(0,3) e C(1,1)? Resposta: S = 3 u.a. (3 unidades de área) Determine a equação da reta que passa nos pontos P(2,5) e Q(1,4). Sendo G ( x,y ) um ponto qualquer da reta cuja equação é procurada, podemos escrever: Aplicando a regra de Sarrus para desenvolver o determinante de 3ª ordem acima, vem: - 4x - 2y y + 5x = 0 Þ x - y + 3 = 0 que é a equação geral procurada. Observe que a equação da reta também poderá ser escrita como y = x + 3. Esta última forma, é conhecida como equação reduzida da reta, como veremos a seguir. 1 - Outras formas de equação da reta Vimos na seção anterior a equação geral da reta ou seja ax + by + c = 0. Vamos apresentar em seqüência, outras formas de expressar equações de retas no plano cartesiano: Equação reduzida da reta Seja a reta r de equação geral ax + by + c = 0. Para achar a equação reduzida da reta, basta tirar o valor de y ou seja : y = (- a/b)x - c/b. Chamando - a/b = m e - c/b = n obtemos y = mx + n que é a equação reduzida da reta de equação geral ax + by + c = 0. O valor de m é o coeficiente angular e o valor de n é o coeficiente linear da reta. Observe que na equação reduzida da reta, fazendo x = 0, obtemos y = n, ou seja, a reta r intercepta o eixo dos y no ponto (0, n) de ordenada n. Quanto ao coeficiente angular m, considere a reta r passando nos pontos A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ). Sendo y = mx + n a sua equação reduzida,podemos escrever: y 1 = mx 1 + n e y 2 = mx 2 + n. Subtraindo estas equações membro a membro, obtemos y 1 - y 2 = m (x 1 - x 2 ). Que o senhor seja eternamente Louvado Página 4

5 Logo, a fórmula para o cálculo do coeficiente angular da reta que passa pelos dois pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) é : Se considerarmos que as medidas Y 2 - Y 1 e X 2 - X 1 são os catetos de um triângulo retângulo, conforme figura abaixo podemos concluir que o valor de m é numericamente igual à tangente trigonométrica do ângulo a. Podemos então escrever m = tg a, onde o ângulo a é denominado inclinação da reta. É o ângulo que a reta faz com o eixo dos x. A tg a, como vimos é igual a m, e é chamada coeficiente angular da reta. Fica, portanto bastante justificada a terminologia coeficiente angular para o coeficiente m. Observe que se duas retas são paralelas, então elas possuem a mesma inclinação ; logo, concluímos que os seus coeficientes angulares são iguais. Agora resolva este: Analise as afirmativas abaixo: (01) toda reta tem coeficiente angular. (02) uma reta perpendicular ao eixo dos y tem coeficiente angular nulo. (04) se a inclinação de uma reta é um ângulo obtuso o seu coeficiente angular é positivo (08) se o coeficiente angular de uma reta é positivo, a sua inclinação será um ângulo agudo. (16) se o coeficiente angular de uma reta é nulo, ela é obrigatoriamente coincidente com o eixo das abscissas. (32) uma reta perpendicular ao eixo das abscissas não tem coeficiente angular. Determine a soma dos números associados às sentenças verdadeiras. Resposta: = 42 Que o senhor seja eternamente Louvado Página 5

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