Coordenadas Cartesianas

Transcrição

1 GEOMETRIA ANALÍTICA

2 Coordenadas Cartesianas

3 EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X

4 EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y ORIGEM EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X

5 COORDENADAS DE UM PONTO: (X,Y) A. (4,3) B. (7, -2) C. (-3, -1) D. (-6, 4) EIXO DAS ORDENADAS OU EIXO DOS Y ORIGEM EIXO DAS ABSCISSAS OU EIXO DOS X

6 SEGUNDO QUADRANTE (-,+) PRIMEIRO QUADRANTE (+,+) TERCEIRO QUADRANTE (-,-) QUARTO QUADRANTE (+,-)

7 PARA AQUECER, VAMOS PLOTAR OS PONTOS: A. (2, 4) B. (4, 3) C. (4, 1) D. (2, -2) E. (0, -4) F. (-2,-2) G. (-4, 1) H. (-4, 3) I. (-2, 4) J. (0, 2)

8 Distância de dois pontos

9 d B Yb - Ya A Xb - Xa

10 1. Determine o perímetro do triângulo de vértices A (1, -1), B (5, 2) e C (-7, -3). 2. Verifique a natureza do triângulo (equilátero, isósceles ou escaleno) de vértices A (9, 8), B (1, 4) e C (5, -4). d B Yb - Ya A Xb - Xa

11 PARA PRATICAR: 1. Determine o perímetro do triângulo de vértices A (1, -1), B (5, 2) e C (-7, -3). 2. Verifique a natureza do triângulo (equilátero, isósceles ou escaleno) de vértices A (9, 8), B (1, 4) e C (5, -4). A d Xb - Xa B Yb - Ya PARA CASA: 1. Determine a natureza do quadrilátero ABCD, sendo A (-2, 6), B (0, 2), C (4, 0) e D (2, 4).

12 Ponto médio

13 M B A

14 PARA PRATICAR: 1. As raízes da equação x 2 3x 10 = 0 são as extremidades do seguimento orientado AB, sendo Xa > Xb. Determine a abscissa do ponto C, que divide o seguimento dado no meio. A M B

15 PARA PRATICAR: 1. As raízes da equação x 2 3x 10 = 0 são as extremidades do seguimento orientado AB, sendo Xa > Xb. Determine a abscissa do ponto C, que divide o seguimento dado no meio. A M B PARA CASA: 1. Até que ponto o seguimento orientado AB, com A (3,5) e B (2, 3), deve ser prolongado para ter seu comprimento duplicado? 2. Determine as coordenadas dos extremos M e N do seguimento MN, dividido em três partes iguais pelos pontos P (6, 1) e Q ( 1, 2).

16 Coeficiente angular da reta

17 Mas... O que seria o coeficiente angular de uma reta? α Vamos considerar uma reta r de inclinação α em relação ao eixo x. m = tg α O coeficiente angular dessa reta é o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α.

18 Quais os diferentes casos para o coeficiente angular? Caso 1 0 α < 180 r Se α=0, então m=0

19 Caso 2 r 0 < α < 90 α tg α > 0 m > 0 Ex.: α= 30

20 r Caso 3 90 < α < 180 Caso 4 r α = 90 α tg α < 0 m < 0 Ex.: α = 120

21 Exercícios Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: A(3,2) e B(-3,-1) Para casa Faça o mesmo para os pontos a) A(2,-3) e B(-4,3) b) P(200,100) e Q(300,80) c) M(-1,4) e N(3,2) d) P(5,2) e Q(-2,-3)

22 PARALELISMO Quando é que duas retas são paralelas?

23 PARALELISMO Quando é que duas retas são paralelas? α1 α2 α1= α2 m1 = m2 Mesma inclinação

24 PARALELISMO Quando é que duas retas são paralelas? Quando é que duas retas são perpendiculares? α1 α2 α1= α2 m1 = m2 Mesma inclinação

25 PARALELISMO Quando é que duas retas são paralelas? Quando é que duas retas são perpendiculares? α1 α2 α1= α2 m1 = m2 Mesma inclinação m2 = 1 m1 m1, m2 0

26 Equação fundamental da reta

27 (Xo, Yo) (X, Y)

28 (Xo, Yo) (X, Y)

29 PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao seguimento de reta BC. (X, Y) (Xo, Yo)

30 PARA PRATICAR: 1. Considere o triângulo ABC, cujos vértices são A (3, 4), B (1, 1) e C (2, 4). Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A e é paralela ao seguimento de reta BC. (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Determine a equação fundamental da reta que passa pelo ponto M (2, 1) e é perpendicular à reta r, de equação (y 2) = 3* (x 1) 2. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto A (2, -1) e é paralela à reta determinada pelos pontos P (3, 1) e Q (5, 3).

31 Equação geral da reta

32 (Xo, Yo) (X, Y)

33 PARA PRATICAR: 1. Escreva a equação geral da mediatriz do seguimento AB, sendo A (3, 4) e B (1, 1). (X, Y) (Xo, Yo)

34 PARA PRATICAR: 1. Escreva a equação geral da mediatriz do seguimento AB, sendo A (3, 4) e B (1, 1). (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Dados os pontos P (3, 2) e Q (1, 2), determine a equação geral da reta que eles definem. 2. Determine a equação geral que a intersecção da reta r: 2x + 3y 1 = 0 com o eixo x e a intersecção da reta s: 2x + 4y +5 = 0 com o eixo y formam.

35 Equação reduzida da reta

36 (0, n) (X, Y)

37 PARA PRATICAR: 1. Ache a equação reduzida da reta determinada pelo ponto P (3, -1) que tem coeficiente angular m = 4. (X, Y) (0, n)

38 PARA PRATICAR: 1. Ache a equação reduzida da reta determinada pelo ponto P (3, -1) que tem coeficiente angular m = 4. (X, Y) (0, n) PARA CASA: 1. Verifique se a reta r: y = 2x 8 é paralela à reta s: x + 2y 4 = Verifique se as retas r: y = 3x 5 e s: 4x 2y 20 = 0 possuem intersecção.

39 Equação segmentária da reta

40 (p, 0) (q, 0)

41 PARA PRATICAR: 1. Determine a equação segmentária da reta formada pelo ponto P (2, 3) e de coeficiente angular m = Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto P (3, 1) e é paralela à reta s: x 4 + y 2 = 1. (q, 0) (p, 0)

42 PARA PRATICAR: 1. Determine a equação segmentária da reta formada pelo ponto P (2, 3) e de coeficiente angular m = Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto P (3, 1) e é paralela à reta s: x 4 + y 2 = 1. (q, 0) (p, 0) PARA CASA: 1. Determine a forma segmentária da reta com equação geral 5x + 3y 7 = 0.

43 Equação paramétrica da reta

44 (Xo, Yo) (X, Y)

45 PARA PRATICAR: 1. Determine a equação paramétrica da reta determinada pelo ponto P (2, -3) e pelo vetor V(1, 2). 2. Dadas as equações paramétricas da reta r: x = 3 + t e y = -2-2t, determine o ponto cuja abscissa vale 4 e o ponto cuja abscissa é igual à ordenada. (X, Y) (Xo, Yo)

46 PARA PRATICAR: 1. Determine a equação paramétrica da reta determinada pelo ponto P (2, -3) e pelo vetor V(1, 2). 2. Dadas as equações paramétricas da reta r: x = 3 + t e y = -2-2t, determine o ponto cuja abscissa vale 4 e o ponto cuja abscissa é igual à ordenada. (X, Y) (Xo, Yo) PARA CASA: 1. Sabendo que tem com equações paramétricas x = 2 e y = -1 + t, e que A (-2, 3) é um ponto de uma reta paralela, escreva as equações paramétricas desta reta.

47 Atividade Encontrar dois pontos da reta fornecida, usando a malha quadriculada; Encontrar o coeficiente angular da reta; Encontrar a equação da reta.