r : Exemplo: Considere a reta r :

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1 4.7. Equação paramétrica da reta. Também podemos representar uma reta no plano com equação paramétrica, mas no plano temos apenas duas coordenadas. A forma paramétrica de uma reta no plano é: x a r : y b Em que: a, b, c e d são números reais, não todos simultaneamente nulos. Para determinar a equação paramétrica de uma reta serão conhecidos os coeficientes a, b, c e d. ct dt,t lr Exemplo: Considere a reta r : x y 1 3 t t,t lr (a) Para esboçar o gráfico, já que é uma reta, basta conhecermos dois pontos. Para isso basta escolher dois valores distintos de t. Os mais fáceis de calcular são t = 0 e t =1. t = 0 A t = 1 B (b) Determine as coordenadas do vetor AB e o represente no gráfico junto com a reta. (c) O vetor AB tem a mesma direção da reta? (d) Observe os pontos, A, B e o vetor AB e os coeficientes a, b, c e d da equação paramétrica da reta. Alguma coincidência?

2 Significado dos coeficientes da equação paramétrica Considerando a equação paramétrica da reta na forma: Resumo do exemplo anterior: x a r : y b ct dt,t lr Consequência do significado da equação paramétrica da reta. A equação paramétrica da reta, cria um sistema de referência para uma reta. Sabemos que a reta, geometricamente, não tem início, nem fim. Por vezes é interessante criar uma origem e um sentido de deslocamento. Como se a reta passasse a representar uma estrada em que foi determinado um Km 0, pode ser percorrida nos dois sentidos, mas um é considerado o sentido positivo e outro o sentido negativo (similar aos eixos coordenados, que são retas orientadas, com origem). x 1 2t Exemplo. Considere a reta r, cuja equação paramétrica é: r : y 2 t,t lr (a) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F pertencentes a reta r, tomando t= 0, t = 1, t = 2, t = 3, t = 1 e t = 2 respectivamente. t=0 A t=1 B t=2 C t=3 D t=-1 E t=-2 F (b) Faça o gráfico da reta r, destacando os pontos mencionados. Observação: Note que se percorrermos a reta no sentido do vetor teremos t > 0 e no sentido contrário teremos t < Equação Segmentária da Reta. Vamos definir aqui um tipo de equação que informará, pela sua equação, as intersecções com os eixos coordenados. As intersecções com os eixos coordenados facilitam o esboço do gráfico da reta.

3 Aqui as intersecções estão rotuladas por p, intersecção com o eixo oy, e q, intersecção com o eixo ox. Sabemos as coordenadas de dois pontos que pertencem à reta. A(0,p) e B(q,0). Sabemos pelas aplicações de determinantes que x y 1 0 q 1 = 0 fornece a equação da reta que passa p 0 1 por A e B. Equação segmentária da reta: Exemplo: Determinar as intersecções com os eixos coordenados da reta, cuja equação geral é s: x 3y + 6 = 0. Esboce seu gráfico. Pense: Nem todas as retas podem ser expressas na forma segmentária, pelo significado dos coeficientes p e q, quem são elas? 4.9. Equação fundamental da reta Essa equação surge pela definição de declividade da reta. P representa um ponto qualquer da reta de coordenadas (x,y) e Q um ponto conhecido da reta de coordenadas (x 0, y 0). Sabemos que a declividade a ou coeficiente angular é definido pela tangente do ângulo α da reta r com o eixo ox +. a = tanα y y0 a = x x Equivalente a isso é a equação fundamental da reta. Surge simplesmente rearranjando a fórmula acima: 0

4 Equação fundamental da reta: Para o uso dessa equação devemos conhecer simplesmente um ponto A(x 0, y 0) e a declividade a da reta. Exemplo: Determine a equação fundamental da reta r indicada abaixo:. Sobre as cinco formas de equações da reta: As cinco formas de equações de reta representadas aqui têm significados muito diferentes. Por exemplo, cuidado ao afirmar que o coeficiente de x é o coeficiente angular. Podemos afirmar isso, se e somente se a equação estiver na forma reduzida. Cada tipo de equação tem uma aplicação diferente, por exemplo, a equação geral da reta se são conhecidos dois pontos, a segmentária para esboço do gráfico, a reduzida para determinar se as retas são paralelas ou perpendiculares. Cada uma tem o seu contexto a ser aplicado. Sobre diversidade de exercícios: Como a geometria analítica algebriza os conhecimentos no campo da geometria, a gama de exercícios é infinita, tornando impossível fazer uma lista que abranja todos os tipos possíveis. Portanto, torna-se muito mais importante o estudo da teoria e o uso da capacidade lógico-dedutiva que TODO ser humano possui. Sobre o desenvolvimento dos exercícios: Muitas vezes somos levados a tirar conclusões a partir de esboços (desenho, gráficos) dos dados de um problema. Um dos objetivos da geometria analítica é acabar com esse "achômetro", pois muitas vezes o que parece não é e não serve para provar o que estamos afirmando. Por exemplo, "Verifique que as retas r e s são perpendiculares". Não basta esboçar os gráficos e afirmar, "fazem 90º." A teoria de geometria analítica não se baseia em desenhos e sim em manipulações algébricas, a partir de fatos que comprovam sua validade incontestavelmente.

5 1. Determine a equação indicada das retas abaixo: (a) a: segmentária, a partir de seu gráfico, abaixo: (d) t: segmentária a partir da equação geral de t: 3x 4y = 12. (e) r: segmentária, a partir do gráfico ao lado. (f) t:paramétrica, conforme o gráfico abaixo: (b) r: fundamental: sabendo que P (2, 5) pertence a r e a declividade de r é dobro que teria se o ângulo da reta com eixo ox fosse 45º. (c) s paramétrica: sabendo que A (2,1) pertence a s e o vetor que dá sua direção é tal que a abscissa é um terço da ordenada. x 5 2t 2. Dada a reta r : y 3 4t,t lr (a) Verifique se os pontos P (6, 5) e Q(7, 6) pertencem a reta r. (b) Determine as intersecções de r com os eixos coordenados. (c) Esboce o gráfico de r. (d) Considerando A a origem da reta com o sistema referencial determinado pelo parâmetro t, e u o vetor que dá direção a reta, determine o ponto T no sentido contrário do vetor u, que diste de A o triplo do módulo do vetor u. 3. Determine a equação paramétrica da reta s que contém os pontos A(2, 1) e B(1, 3). x 1 3t 4. Considere a reta r, cuja equação paramétrica é: r : y 2 5,t lr (a) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E e F pertencentes a reta r, tomando t= 0, t = 1, t = 2, t = 3, t = 1 e t = 2 respectivamente. (b) Faça o gráfico da reta r, destacando os pontos mencionados. (c) Calcule o módulo do vetor u que dá direção a reta r. (d) Calcule a distância entre os pares de pontos: A e B, B e C, C e D. (e) Qual a relação entre os resultados do item (c) e (d)? (f) Com base na resposta do item (e), determine sem usar a fórmula da distância entre dois pontos, a distância dos pares de pontos: E e D, F e C, F e D.

6 (g) Sabendo a distância entre A e B, determine a distância entre os pontos P e Q, considerando para P, t = 7 e para Q, t = 9, SEM calcular as coordenadas de P e Q. 5. Determine se os segmentos AB e CD se interseccionam. Tome A(3,4), B(2, 1), C(1,1) e D(3,2). 6. Verifique se as retas abaixo possuem intersecção. Caso exista, determine as coordenadas desse ponto. x 5 t x 3 7t (a) r : e s : y 7 2t,t lr y 2 8t,t lr x 3 2t x 1 6t (b) r : e t : y 7 t,t lr y 2 3t, t lr 7. Verifique que o vetor u (m, n) é ortogonal a reta r: mx+ny+k=0. Dica: Coloque a origem do vetor na intersecção da reta com o eixo ox. x a ct 8. Verifique que o gráfico de r : é uma reta, ou seja, a y b dt, t lr taxa de variação de y em relação a x é independente dos pontos usados. 9. Determine a área do triângulo definido pela origem e pelas intersecções da reta s: 2x + 3y 6 = 0 com os eixos coordenados. 10. Determine a equação segmentária de duas retas que formam um triângulo de área 8 com os eixos coordenados e contém o ponto A(0,-2). 11. Demonstre que as medianas do triângulo ABC, cujos vértices são A(-1,3), B(3,7) e C(9,-1) se interseccionam num único ponto Respostas dos exercícios (a) 41 (b) 5 2 (c) 2 (d) (a) 12 (b) (c) Reto em A 4. x (a) (0,3) (b), 2 2 (c) 3, 8 2 (d) (4, 3b) B(7,4) 8. (5,4), (9,2), (1,6) 9. y = x x y = 0 ou x + y = 2 11 (a) 3x + 5y 11 = 0 (b) 6x - 5y 1 = 0