01. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A( 2, 3, 2) e tem a. = 2x. v são: b c

Transcrição

1 01. Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(, 3, ) e tem a direção do vetor v = 3 i + k. a = 3 As componentes do vetor v são: b = 0. c = Tendo em vista que b = 0, a reta se acha num plano paralelo ao plano xoz e suas equações simétricas são: y x = 3 + = 3 z Calcular o valor de m para que as retas ortogonais. y = mx 3 r : e z = x x = 1+ t s : y = 3 t sejam z = 5t Os vetores u = ( 1, m, ) e v = (, 1,5) são vetores diretores de r e s, respectivamente. A condição de ortogonalidade permite escrever: u. v = 0 ou (1, m, ).(, 1, 5) = 0 m 10 = 0 m = 10

2 m = Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(, 1, ) e é perpendicular à reta x = 4 + 3t r : y = 1+ t. z = t Um vetor normal a este plano é o próprio vetor diretor (3,, 1) desta reta. Então, a equação do plano π, de acordo com a fórmula: a.(x x 1 ) + b.(y y 1 ) + c.(z z 1 ) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0, temos: 3.(x ) +.(y 1) + 1.(z + ) = 0 3x + y + z 6 = 0. Observação: Para obter pontos de um plano, basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular a outra na equação dada. Assim, por exemplo, se na equação anterior fizermos x = 1 e y =, teremos: 3.(1) +.( ) + z 6 = z 6 = 0 z = 7 e, portanto, o ponto A(1,, 7) pertence a este plano. Se nesta mesma equação 3x + y + z 6 = 0 fizermos: x = 0 e y = 0, vem z = 6 x = 0 e z = 0, vem y = 3 y = 0 e z = 0, vem x =. Obtemos, assim, os pontos A 1 (0, 0, 6) e A (0, 3, 0) e A 3 (, 0, 0) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados. 04. Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A(, 1, 1), B(0, 1, 1) e C(1,, 1).

3 Os vetores-base do plano são AB = (,,) e AC = ( 1,1, ) e, portanto, um vetor normal do plano é: n = ABxAC = i j k = ( 6,, 4) 1 1 Então, a equação geral do plano, de acordo com a fórmula: a.(x x 1 ) + b.(y y 1 ) + c.(z z 1 ) = 0 6.(x ) +.(y 1) 4.(z + 1) = 0 6x + y 4z = 0 6x + y 4z + 6 = 0 ou, multiplicando ambos os membros da equação por 3x y + z 3 = 0. Observação: 1 : Na determinação da equação deste plano foi utilizado o ponto A. A equação seria a mesma se usasse o ponto B ou o ponto C. 05. O ponto P(m,1,n), pertence à reta que passa por A(3, 1,4) e B(4, 3, 1). Determine P. uuur uuur Tomando o vetor AB, temos AB = B A = (1,, 5); uuur uuur Com o vetor AB escrevemos uma reta t. AB = t.(1,, 5), onde t varia em R ; uuur Como P(m, 1, n) pertence à reta, então o vetor AP = P A = (m 3, 1 + 1, n 4); uuur uuur uuur uuur Como AP // AB, então AP = t. AB, então teremos : m 3 = 1. t =. t.t = t = 1 n 4 = 5. t m 3 = 1.( 1) m = n 4 = 5.( 1) n = 9. Logo P(, 1, 9)

4 06. Determine o valor de m para que seja 30 o o ângulo entre os planos: Π 1 : x + my + z 7 = 0 e Π : 4x + 5y + 3z + = 0. Sendo v ur 1 = (1, m, ) e v uur = (4, 5, 3) os vetores normais aos planos Π 1 e Π, ur uur v1, v π respectivamente, e seja cos θ = uur uur, com 0 θ < (Definição 6.5, aula 6), v v então: cos 30 o = (1,m,),(4,5,3) (1,m,) (4,5,3) m+6 = 5+m m = 50+50m m² = m ( m²) = ( m) m² = m + 100m² 50m² 400m = 0 ( 10) 5m² 40m + 35 = 0. Usaremos Báskhara para encontrar o valor de m: = (40)² = = 900 = 30 m = m = b ± 40 ± 30 =. a.5 m = 1 e m = Sabendo que o ponto pertence à reta que passa pelos pontos e, calcular e.

5 Sabendo que os pontos A, B e P pertencem à reta, podemos dessa formar encontrar um vetor diretor dessa reta usando os pontos A e B. Assim. Nosso objetivo é encontrar os valores do ponto P. que: Lembrando das equações simétricas da reta (Aula 5 do livro texto (5.1)), temos o desejado., assim substituindo os valores na equação encontraremos e pegando os pontos e, teremos: e pegando os pontos e, teremos: Daí temos os valores de e. 08. Escrever uma equação do plano que contém o ponto (1,1,1) e é perpendicular ao vetor (,-1,8). Dada uma equação do plano qualquer, como o ponto (1, 1, 1) pertence ao plano e o vetor (,-1,8) é perpendicular ao plano, daí podemos substituir os valores na equação e encontrar o valor de :

6 , prosseguindo vem que. Dessa forma a equação do plano é. 09. Determine uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos e verifique se os pontos pertencem à r. Seja pontos, temos: e utilizando a definição de equação da reta definida por dois Assim, Para Logo, C pertence à reta r. Para, vem

7 Logo, D não pertence à reta r. 10. Determine o valor de n para que seja de o ângulo entre as retas. 1º nós iremos encontrar os vetores que são:. Assim, utilizando a definição 5.1, temos: Assim, vem elevando ambos os membros ao quadrado, vem

8 11. Sejam. Mostre que as retas AB e CD são concorrentes e encontre uma equação para o plano que as contém. Reta AB Sejam, e tomando o ponto Reta CD Sejam, e tomando o ponto C Igualando as retas r e s para encontrar os valores de t e h, vem De (II), temos

9 Assim, substituindo (III) em (I), vem Portanto, o ponto de interseção é. e Logo,. Então, Isto é, 1. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A = (1,- 1,) e B = (,1,0). Inicialmente, escolhemos um dos pontos. Escolhendo o ponto A = (1,-1,) e formando o vetor AB = B A = (1,,-) = u. As equações paramétricas são: (x, y, z) = (1, 1, ) + t.(1,, ) (x, y, z) = (1, 1, ) + (t, t, t) (x, y, z) = (t +1, t 1, t + ) x = t + 1 y = t 1 z = t +

10 13. Determine o valor de m para que seja de 30 0 o ângulo entre os planos π 1: x + my + z 7 = 0 e π : 4x + 5y + 3z + = 0. Sendo os vetores n 1 = (1, m, ) e n = (4, 5, 3) ortogonais, então θ é o ângulo formado por estes vetores. θ = arc cos n1n n1 n θ = arc cos 4 + 5m m θ = arc cos 5m + 10 m = arc cos 5m m m m + 50 = m = 150m m + 100m = 150m m 400m = 0 m 8m + 7 = 0 m = 7 ou m =1 14. Ache as equações vetoriais e paramétricas da reta que satisfaz as condições dadas: a) Passa pelos pontos e. b) Passa pelo ponto cujo vetor diretor seja c) Que passa pela origem e é perpendicular à reta que passa pelos pontos e

11 Por definição ( ver pág 76 do livro texto) a reta que passa pelo ponto e tem direção do vetor tem equação vetorial descrita por e equações paramétricas descritas por: a) Equação vetorial: O vetor diretor Equações paramétricas: b) Mamão com açúcar Equação vetorial: Equações paramétricas: c) Se reta é perpendicular à reta então seus respectivos vetores direcionais e são ortogonais. O vetor direcional da reta é cujo um vetor ortogonal pode ser o vetor Equação vetorial: Equações paramétricas: