UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:

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1 5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u v. a) Prove que um quadrilátero inscrito em um círculo tal que uma de suas diagonais coincide com o diâmetro do círculo possui, pelo menos, dois ângulos retos. b) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.. Sejam u, v R tais que u = v = e u, v = 0. Sendo w = a u + b v z = c u + d v, calcule em termos de a, b, c e d: (a) w e z. (b) w, z. (c) O ângulo entre w e z.. Considere r : x y = 0 e s : x + y = 0. (a) Se R θ (r) = s, sendo R θ a rotação de ângulo θ no sentido anti-horário, quando vale o ângulo θ? (b) Qual o ângulo entre r e s? 5. Sejam as retas r : y x = 0 e s : 6x y + 9 = 0. (a) Descreva o lugar geométrico dos pontos P R que satisfazem d(p, r) = d(p, s). (b) Encontre uma translação de tal forma que o lugar geométrico descrito no item anterior passe pela origem.

2 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justifique todas as suas respostas.. (Valor:,5 pontos) Encontre a equação cartesiana da circunferência que contém os pontos (, ) e (, 5) e é tangente à reta y = 5.. (Valor:,5 pontos) Encontre a equação da elipse com focos F = (, ) e F = (, ), tal que a medida do semi-eixo maior a é igual à medida da distância do centro da elipse ao ponto P = (, ). Faça um esboço de tal cônica.. (i) (Valor:,5 pontos) Encontre a equação da hipérbole centrada na origem sabendo que um de seus focos tem coordenadas (, 0) e que a razão entre os eixos imaginários e reais é de. (ii) (Valor: ponto) Dada a equação da hipérbole abaixo encontre seus focos e seus vértices reais e imaginários: 9x 6y + = 0.. (Valor,5 pontos) Um túnel será construído na forma de uma parábola e terá altura máxima de seis metros. Qual a equação desta cônica para que se possa construir duas faixas de trânsito de três metros cada de forma que veículos de até quatro metros altura possam passar pelo túnel?

3 Geometria Analítica - a Avaliação - 7 de setembro de 0 Justifique todas as suas respostas.. (Valor:,5 pontos) Encontre a equação paramétrica da circunferência cujo centro está sobre a reta y = x e é tangente ao eixo dos x no ponto (, 0). Lembre-se que uma circunferência tem equação paramétrica na forma { x = x0 + rcos(t) y = y 0 + rsen(t). (Valor:,5 pontos) Encontre a equação da elipse cujos focos são F = (, ) e F = (, ) e que passa pelo ponto (0, 0). Faça um esboço de tal cônica.. (i) (Valor: ponto) Encontre os vértices reais e imaginários e os focos da hipérbole cuja equação é x y x + 0 = 0. (ii) (Valor:,5 pontos) Encontre uma equação da hipérbole cujos focos são (, ) e (, ) e a distância entre seus vértices reais é.. (Valor:,5 pontos) A figura abaixo representa uma parábola. Calcule a distância de seu vértice à sua reta diretriz. Sugestão: Encontre o melhor sistema de coordenadas para calcular a equação da parábola.

4 Geometria Analítica - a Avaliação - 08//0 Justique todas as suas respostas.. Sejam as retas x = + t r : y = + 5t z = mt e s : { y = x + z = x (a) (,0 ponto) Calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes. (b) (0,5 ponto) Determinar, para o valor de m encontrado acima, o ponto de interseção de r e s. (c) (,0 ponto) Estude a posição relativa de r e s se m é diferente do valor obtido do item (a).. (a) (,5 pontos) Calcule o volume do tetraedro de vértices A = (7, 9, ), B = (7, 8, ), C = (6, 8, ) e D = (9, 8, ). (DICA: Todo paralelepípedo pode ser decomposto em 6 tetraedros de mesmo volume.) (b) (,5 pontos) Sabendo que o ângulo entre u e v w é de π e que o ângulo entre v e w é de π 6. Calcule u ( v w) sabendo ainda que u = 5, v = 0 e w = 6.. (a) (0,5 ponto) Verique que ABCD é um paralelogramo onde A = (0,, ), B = (,, ), C = (,, ) e D = (,, ). (b) (,0 ponto) Encontre as equações simétricas das retas que contêm as diagonais do paralelogramo ABCD. (c) (,0 ponto) Calcule o ângulo entre as retas do item anterior.. Considere o plano π : x y + z =. (a) (0,75 ponto) Calcule a distância do ponto A = (,, ) ao plano π; (b) (,0 ponto) Encontre a equação cartesiana do plano que é perpendicular a π e ao plano xz passando pelo ponto A; (c) (0,75 ponto) Calcule o ângulo entre o plano obtido no item anterior e o plano yz.

5 Geometria Analítica - a Avaliação - 9 de novembro de 0 Justique todas as suas respostas. { z = y. Considere a curva C : x = 0 (a) (,5 pontos) Esboce e determine uma equação da superfície de revolução gerada pela rotação de C em torno do eixo z. (b) ( ponto) Encontre uma reta r tal que sua intersecção com superfíce determinada no item (a) contenha pelo menos (três) pontos distintos.. (,5 pontos) Verique que a intersecção do plano z = com o elipsóide x 6 + y 9 + z = é uma elipse e encontre seus focos e seus vértices.. Faça os seguintes itens (a) (,5 pontos)descreva ou faça um esboço da superfície S : z = x + y (b) (,5 pontos) Encontre a cônica resultante da interseção de S com x =, encontre ainda seu eixo-focal.. (,5 pontos) Deduza a equação do parabolóide eliptico com vértice (0, 0, 0) sabendo que a intersecção com o plano π : z = é uma elipse com centro (0, 0, ), um dos focos é (0,, ) e semi-eixo menor medindo.

6 Geometria Analítica - Reavaliação da AB - Manhã - 05// Justique todas suas respostas. i) (,5 pontos) Determine a projeção ortogonal do ponto P = (, ) sobre a reta: x = + t, y = + t. ii) (,0 ponto) Sejam u e v vetores não nulos do plano. Seja P v u a projeção do vetor v sobre o vetor u. Mostre que v P v u é ortogonal u. Esboce seu resultado.. (,5 pontos) Sejam u, v e w vetores do R, tais que u = 5, v = 6, w = 7 e u + v + w = 0. Calcule: u, v, u, w e v, w.. i) (,5 pontos) Dada as equações das circunferências C : x + y x 8y 5 = 0 e D : x + y x 6y + = 0, determine a intersecção entre elas. ii) (,5 pontos) Determine a equação da hipérbole que tem como focos ( 7, ) e (, ) sendo o valor da distância entre os vértices reais.. (,5 pontos) A excentricidade de uma elipse de semieixo maior a e distância focal c é denida por e = c a. Admita que a órbita da terra é uma elipse tendo o sol como um dos focos. Se a excentricidade desta elipse é 6 e seu semieixo maior mede, 5 08 Km, determine as distâncias máxima e mínima da terra ao sol.

7 Geometria Analítica - Reavaliação da AB - Tarde - 05// Justique todas suas respostas. (,5 pontos)calcule o ângulo entre os vetores v e w sabendo que: u = w = 5; v = ; u v + w = u + v + w e o ângulo entre u e v é π/. i) (,5 pontos) Dado A = (, ), ache AP, onde P é pé da perpendicular baixada de A à reta r : y = 5x +. ii) (,5 pontos) Encontre os pontos da reta x + y = 0 cuja distância à origem seja.. i) (,5 pontos) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta x 0 + y 0 = com a circunferência x + y = 00? ii) (,5 pontos) Uma hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo real coincide com o eixo x. Sabendo que sua excentricidade é 6/ e que passa pelo ponto (, ), determine sua equação.. (,5 pontos) A função y = ax + bx + c, onde a 0, b e c são constantes, é conhecida como função quadrática. A mesma representa uma parábola. Encontre seu foco e seu vértice em função de a, b e c.

8 Geometria Analítica - Reavaliação da AB - Manhã 05//0 Justifique todas suas respostas. (a) ( ponto) Encontre o centro e o raio da esfera dada pela equação x + y + z + x 6(y + z) = 0. (b) ( ponto) Ache a equação do plano tangente à esfera acima no ponto (, 0, 7).. ( pontos) Prove que o lugar geométrico dos pontos de R que são equidistantes de A = (a, a, a ) e B = (b, b, b ) é um plano.. (a) (,5 pontos) Considere o tetraedro formado pelo pontos A = (, 0, ), B = (0,, ), C = (,, ) e D = (0, 0, ). Calcule a altura relativa ao vértice A. Calcule o volume deste tetraedro. (b) (,5 pontos) Dados os plano π : x y + z + = 0 e π : x + y = Encontre o reta obtida pela interseção destes plano. Calcule a distância desta reta a origem.. (a) (,5 pontos) Dado o elipsóide E : x + y + z =. Encontre os focos da elipse 6 obtida pela interseção deste elipsóide com o plano y =. (b) (,5 pontos) Considere o parabolóide hiperbólico y = z x. Obtenha a equação das cônicas obtidas pela interseção desta quadrica com os planos x =, y = e e z =.

9 Geometria Analítica - Reavaliação da AB - Tarde 05//0 Justifique todas suas respostas. (a) ( ponto) Calcule o raio da circuferência obtida pela interseção do plano π : x + y + z + = 0 com a esfera x + y + z + x 6y z = 0. (b) ( ponto) Dados A = (5, 8, ) e B = (6, 9, 0). Encontre a equação da esfera que tem A como centro e raio AB. Apresente uma equação do plano tangente a esta esfera no ponto B. (a) ( ponto) Dada a parábola contida no plano-yz de foco F = (0,, 0) e reta diretriz y =, x = 0. Encontre uma equação da quádrica obtida pela revolução desta parábola em torno ao eixo y. (b) ( ponto) Encontre os pontos de interseção da reta r : x = t, y = t +, z = t com o cilindro C : x + z =, y R.. (a) (,5 pontos) Calcule o volume do paralelepípado formado pelos vetores u, v e w sabendo que u = (, k, ), v = (0,, ) e w = (k, 5, ) e que u w =. (b) (,5 pontos) Encontre a equação do plano que contém os pontos A = (0,, ) e B = (, 0, ) e é paralelo a reta r : x = y = z 5. (a) (,5 pontos) Dado o hiperbolóide H : x + y 5 z =. Demonstre que o plano π : y + 5z 5 = 0 é tangente a este hiperbolóide e entre o ponto de interseção. (b) (,5 pontos) Encontre o valor de d para que o plano π : x y z + d = 0 seja tangente ao parabolóide eliptico P : x 9 + z = y.