Primeiro Teste de CVGA

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1 Primeiro Teste de CVGA 31 de Março de 2005 Questão 1 [1 ponto] O triângulo com vértices em P 1 ( 2, 4, 0), P 2 (1, 2, 1) e P 3 ( 1, 1, 2) é equilátero? Questão 2 [1 ponto] O triângulo com vértices em P 1 (3, 4, 1), P 2 (5, 3, 0) e P 3 (6, 7, 4) é retângulo? Questão 3 [1 ponto] Encontre um vetor unitário ortogonal a (1, 1, 2) e (1, 3, 1). Questão 4 [2 pontos] Determine u v e u w onde u, v e w são mostrados nas figuras abaixo. u u v w v w w (a) u = v = w = 1 u (b) u = w = 1 e u w Questão 5 [2 pontos] Mostre que se u e v são ortogonais, então u + v 2 = u 2 + v 2. Reciprocamente, mostre que se vale a relação acima, então u e v são ortogonais. Interprete geometricamente este resultado. Questão 6 [2 pontos] Seja v 0. Mostre que P v u e u P v u são ortogonais. (Observação: P v u denota o vetor projeção ortogonal de u na direção de v). Questão 7 [1 ponto] Use a desigualdade de Cauchy-Schwartz ( u v u v ) para mostrar que u + v u + v. Sugestão: u + v 2 = (u + v) (u + v).

2 Segundo Teste de CVGA 26 de Abril de 2005 Questão 1 [2 pontos] Considere duas partículas em Movimento Retilíneo e Uniforme dados, respectivamente, pelas equações paramétricas { { x = 1 + t, x = 3 t, e y = 1 + t, y = t, sendo que t representa o tempo. Os caminhos destas partículas se encontram? Se sim, determine o ponto de encontro. As partículas se chocam? Se sim, determine o instante do choque. Questão 2 [2 pontos] Sejam u = (u x, u y ) e v = (v x, v y ) 0. Determine uma equação cartesiana para reta {P R 2 OP = u + tv, t R}. Questão 3 [1 ponto] Determine os pontos de interseção do círculo de raio 2 centrado na origem com a elipse de equação x 2 + y2 9 = 1. Questão 4 [3 pontos] Sejam a b > 0. Considere a interseção do círculo de raio 1 centrado na origem com a elipse de equação a 2 + y2 b 2 = 1. Mostre, algebricamente, que esta interseção x 2 a) é vazia se a < 1; b) tem dois pontos se a = 1 e b < 1; c ) tem infinitos pontos se a = 1 e b = 1; d) tem 4 pontos se a > 1 e b < 1; e ) tem 2 pontos se a > 1 e b = 1; f ) é vazia se b > 1. Questão 5 [2 pontos] Dados a > b > 0, considere a elipse dada pelas equações paramétricas { x = a cos t, t [0, 2π]. y = b sen t, Esboce um desenho que dê a interpretação geométrica do ângulo t.

3 Primeira Prova de CVGA 28 de Abril de 2005 Questão 1 [2 pontos] Mostre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. Sugestão: Demonstre que os vetores P A e P B são ortogonais. P A B Questão 2 [2 pontos] Escreva a equação da elipse de focos F 1 (0, a) e F 2 (0, b) sabendo que um de seus vértices é a origem e que b > a > 0. Questão 3 [4 pontos] Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas abaixo. Caso seja verdadeira, demonstre. Caso seja falsa, dê um contra exemplo. a) Se as equações ax + by = c e Ax + By = C representam a mesma reta, então a = A, b = B e c = C; b) Se r > 0 e os círculos dados por x 2 + y 2 = 1 e (x 2) 2 + y 2 = r 2 têm exatamente 1 ponto em comum, então r = 1; c ) Dado qualquer vetor bidimensional u, podemos encontrar P e Q tais que P está sobre o eixo x, Q está sobre o eixo y e u = P Q. d) Dado qualquer vetor bidimensional u, podemos encontrar P e Q tais que P está sobre a reta x + y = 0, Q está sobre a reta x + y = 1 e u = P Q. Questão 4 [2 pontos] Suponhamos que o círculo x 2 + y 2 = 1 e a reta ax+by = c têm exatamente 1 ponto (x 0, y 0 ) em comum. Mostre, via argumentos geométricos, que a) c 0; b) existe λ R tal que (a, b) = λ(x 0, y 0 ). Agora, determine (x 0, y 0 ), via argumentos algébricos, e confirme as afirmativas acima.

4 Terceiro Teste de CVGA 24 de Maio de 2005 Questão 1 [4 pontos] Para cada um dos itens abaixo, determine uma equação do 2 grau nas variáveis x e y cujo conjunto solução seja o conjunto dado. a) A parábola de foco (1, 0) e diretriz y = 1; b) a hipérbole de focos ( 1, 0) e (1, 0) e assíntotas y = ±3x/4; c ) a reta 2x y + 5 = 0; d) o par de retas x + y 1 = 0 e x y + 2 = 0; Questão 2 [2 pontos] Verifique algebricamente que, qualquer que seja θ, a equação que representa um círculo centrado na origem é invariante (isto é, mantem a mesma forma e os mesmos coeficientes) pela mudança de variáveis { x = x1 cos θ y 1 sen θ, y = x 1 sen θ + y 1 cos θ. Questão 3 [2 pontos] Determine os eixos e as coordenadas (no sistema xy) dos focos da elipse 3x 2 2xy + 3y x 6 2y + 2 = 0. Questão 4 [2 pontos] Determine uma equação de 4 grau nas variáveis x e y cujo conjunto solução seja a união dos círculos x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4.

5 Segunda Prova de CVGA 23 de Junho de 2005 Questão 1 [2 pontos] Encontre equações paramétricas para a interseção dos planos x + y + z = 1 e 2x + 2y + z = 0. Questão 2 [2 pontos] Determine uma equação que representa o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao plano x + y + z = 0 é 3/3. Identifique geometricamente este conjunto. Questão 3 [2 pontos] Encontre o(s) plano(s) paralelo(s) ao plano xz cuja interseção com a quádrica 2x 2 y 2 + 4z 2 = 1 seja uma elipse de focos distantes 6 um do outro. Questão 4 [2 pontos] Determine um cilindro elíptico paralelo ao eixo z cuja interseção com o plano z = x seja um círculo de raio 2. Questão 5 [2 pontos] Geometricamente, o que representa a equação abaixo no plano xy? 10x xy + 3y 2 25 = 0.

6 Prova Final de CVGA 30 de Junho de 2005 Questão 1 [2 pontos] Encontre a equação da reta r mostrada na figura abaixo. 1 r Questão 2 [2 pontos] Determine a equação do plano que contem a interseção das esferas x 2 + y 2 + z 2 = 4 e (x 1) 2 + (y 1) 2 + z 2 = 1. Questão 3 [2 pontos] Identifique o subconjunto do plano xy dado pela equação x 2 + 4y 2 4x 12y + 14 = 0. Questão 4 [2 pontos] Considere o parabolóide de equação z = x 2 + y 2. Determine dois planos paralelos, cuja distância entre eles seja 1 e tais que suas interseções com o parabolóide sejam dois círculos, um com o dobro do raio do outro. Questão 5 [2 pontos] Duas bolas de raio 1 se movem no espaço começando o movimento no instante t = 0. Considerando que as posições dos centros das bolas, em cada instante t 0, sejam dada pelas equações abaixo, diga se haverá choque entre as bolas e, em caso afirmativo, determine o instante em que ele ocorre. x = 1 t, y = t, z = 1 + 2t, x = 5, y = 3 2t, z = 1 + 2t.

7 Segunda Chamada de CVGA 07 de Julho de 2005 Questão 1 [2 pontos] Sejam u, v e w três vetores em R 3 ortogonais dois a dois. Mostre que (u v) w = 0. Questão 2 [4 pontos] Considere a situação num jogo de bilhar dada pela figura abaixo. Um jogador deve fazer a bola Branca bater na Preta antes da Azul e, acreditando que não haja trajetória retilínea que cumpra esta tarefa, ele decide usar a borda da mesa. A tacada é feita de modo o centro da bola Branca segue em linha reta na direção do ponto (12,0). As trajetórias do centro da bola Branca antes e depois do choque são retilíneas e fazem ângulos iguais com a direção vertical. Desconsiderando as forças envolvidas e supondo que as bolas têm raio 1, reponda: a) Ele está certo em não tentar uma trajetória direta? b) Ele tem sucesso na sua tacada? 10 9 Azul Preta Branca /5 26 Questão 3 [2 pontos] Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição de um de seus focos. Calcule o periélio e o afélio (que são, respectivamente, a menor e a maior distância da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distância focal da trajetória da Terra, 0, Km; medida do eixo maior, Km. Questão 4 [2 pontos] Prove que a interseção de z 2 = x 2 /a 2 + y 2 /b 2 com qualquer plano que contém o eixo z é reunião de duas retas concorrentes na origem.