Geometria Analítica II - Aula

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1 Geometria Analítica II - Aula 0 94

2 Aula Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano introduzimos anteriormente as coordenadas polares. No espaço existem dois sistemas de coordenadas que nos fornecem uma maneira mais conveniente de descrever algumas superfícies e sólidos. Seja P = (x y z) um ponto do espaço onde x y z são suas coordenadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXYZ. Seja P = (x y 0) a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano XY e sejam ρ e θ as coordenadas polares de (x y). Fig. : Ponto P representado pelas coordenadas cilíndricas (ρ θ z) Dizemos então que (ρ θ z) são as coordenadas cilíndricas do ponto P. Sabemos que x = ρ cos θ y = ρ sen θ e ρ = ± x + y cos θ = x ± x + y sen θ = y ± x + y tg θ = y x

3 Geometria Analítica II - Aula 96 Nas coordenadas cilíndricas o cilindro circular de eixo OZ é dado por: ou seja S = {(a θ z θ z R }. S : x + y = a S : ρ = a S : ρ = a A simplicidade da equação do cilindro ρ = a justifica o nome coordenadas cilíndricas. Considere agora r = d(o P) ϕ o ângulo que o vetor OP faz com o semi-eixo positivo OZ ϕ [0 π] e θ o ângulo que o vetor OP faz como o semi-eixo positivo OX. Fig. : Ponto P representado pelas coordenadas esféricas (θ ϕ r) Dizemos que (r θ ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P. Como r = d(o P) temos: z = r cos ϕ e ρ = d(o P ) = r sen ϕ. Logo x = ρ cos θ = r sen ϕ cos θ e y = ρ sen θ = r sen ϕ sen θ. Ou seja se (r θ ϕ) são as coordenadas esféricas do ponto P então as suas coordenadas cartesianas (x y z) são dadas por: x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ z = r cos ϕ Observação Se r < 0 (r θ ϕ) corresponde ao ponto ( r π + θ π ϕ) que é o simétrico de ( r θ ϕ) com respeito à origem. Como ρ = r sen ϕ e ϕ [0 π] ρ e r têm sempre o mesmo sinal.

4 97 Geometria Analítica II - Aula Fig. 3: Ponto P de coordenadas (r θ ϕ) r < 0 Sendo r = x + y + z e x + y = r sen ϕ = ρ obtemos que: r = ± x + y + z sen ϕ = ρ r = x + y x + y + z cos ϕ = z r = ± z x + y + z cos θ = x ρ = ± x y sen θ = ± x + y x + y. A esfera S : x + y + z = a de centro na origem e raio a é dada em coordenadas esféricas da seguinte maneira: S : (r sen ϕ cos θ) + (r sen ϕ sen θ) + (r cos ϕ) = a S : r sen ϕ + r cos ϕ = a S : r = a S : r = a Ou seja S = {(a θ ϕ) θ R e ϕ [0 π] }. Esta maneira simples r = a de representar uma esfera centrada na origem é a razão para o nome coordenadas esféricas. Fig. 4: Esfera S : r = a Exemplo Determine as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos abaixo dados em coordenadas cartesianas. (a) P = ( ). Temos ρ = ± cos θ = ± = ± e sen θ = ± = ±.

5 Geometria Analítica II - Aula 98 Assim P = ( π 4 + πk ) ou P = ( π + π 4 + πk ) k Z é o ponto P em coordenadas cilíndricas. Sendo r = ± 3 e ρ = ± temos sen ϕ = ρ r = 3 cos ϕ = z r = ± 3 cos θ = x ρ = ± e sen θ = y ρ = ±. Logo P = ( 3 ) π 4 + πk ϕ 0 ou P = ( 3 π + π ) 4 + πk π ϕ 0 k Z é o ponto P em coordenadas esféricas onde cos ϕ 0 = 3 e sen ϕ 0 = 3 ϕ 0 (0 π). (b) P = (0 ). Temos ρ = ± cos θ = 0 e sen θ = ±. Logo P = ( π ) + πk ou P = ( 3π + kπ ) k Z é o ponto dado em coordenadas cilíndricas. Por outro lado sendo r = ± 5 e ρ = ± temos sen ϕ = ρ r = 5 cos ϕ = z r = ± 5 cos θ = x ρ = 0 e sen θ = y ρ = ±. Então P = ( 5 ) π + πk ϕ 0 ou P = ( 5 3π ) + πk π ϕ 0 k Z é o ponto dado em coordenadas esféricas onde cos ϕ 0 = 5 e sen ϕ 0 = 5 ϕ 0 (0 π). Exemplo Determine as coordenadas cartesianas e esféricas dos pontos abaixo dados em coordenadas cilíndricas. (a) P = ( 0 ). Como ρ = θ = 0 e z = temos que x = ρ cos θ = y = ρ sen θ = 0 e z = são as coordenadas cartesianas de P. Assim como r = ± 5 ρ = ± sen ϕ = ρ r = 5 cos ϕ = z r = ± 5 cos θ = x ρ = ± e

6 99 Geometria Analítica II - Aula sen θ = y ρ = 0 temos que: P = ( 5 πk ϕ 0 ) ou P = ( 5 π + πk π ϕ 0 ) k Z é o ponto dado em coordenadas esféricas onde cos ϕ 0 = 5 e sen ϕ 0 = 5 ϕ 0 (0 π). (b) P = ( π 4 3 ). Sendo ρ = θ = π 4 e z = 3 temos que x = ρ cos θ = = y = ρ sen θ = e z = 3 são as coordenadas cartesianas de P. Assim como r = ± = ± 3 e ρ = ± obtemos que: sen ϕ = ρ r = 3 cos ϕ = z r = ± 3 3 cos θ = x ρ = ± Ou seja P = ( 3 ) π 4 + πk ϕ 0 ou P = e sen θ = y ρ = ±. ( 3 5π ) 4 + πk π ϕ 0 k Z é o ponto dado em coordenadas esféricas onde cos ϕ 0 = 3 3 e sen ϕ 0 = 3 ϕ 0 (0 π). Exemplo 3 Determine as coordenadas cartesianas e as coordenadas cilíndricas dos pontos abaixo dados em coordenadas esféricas. (a) P = ( 0 π 4 π ). 3 Sendo r = 0 θ = π 4 e ϕ = π 3 temos que x = r sen ϕ cos θ = = y = r sen ϕ sen θ = = e z = r cos ϕ = são as coordenadas cartesianas de P = ± obtemos que Assim como ρ = ± x + y = ± ( 30 P = π ) πk é o ponto em coordenadas cilíndricas. (b) P = ( π 6 π ). 4 ou P = ( 30 π + π 4 + πk 0 ) k Z

7 Geometria Analítica II - Aula 300 Como r = θ = π 6 e ϕ = π temos que x = r sen ϕ cos θ = = y = r sen ϕ sen θ = = z = r cos ϕ = = são as coordenadas cartesianas de P. Logo como ρ = ± x + y 8 = ± 4 = ± obtemos que ( π P = 6 + πk ) ( ou P = 7π 6 + πk ) k Z é o ponto em coordenadas cilíndricas. Exemplo 4 Determine a equação em coordenadas cartesianas e em coordenadas esféricas das superfícies abaixo dadas em coordenadas cilíndricas. (a) S : ρ = a cos θ a > 0. Sendo ρ = ± x + y x e cos θ = ± temos que x + y ± x + y x = a ± x + y x + y = ax (x a) + y = a é a equação cartesiana de S. Portanto S é um cilindro circular de eixo r = {(a 0 0) + t(0 0 ) t R } paralelo ao eixo OZ. Fig. 5: Superfície S : ρ = a A equação de S em coordenadas esféricas é dada por: S : (r sen ϕ cos θ) + (r sen ϕ sen θ) = ar sen ϕ cos θ S : r sen ϕ = ar sen ϕ cos θ S : r sen ϕ = a cos θ.

8 30 Geometria Analítica II - Aula (b) S : z = ρ. Como ρ = x + y temos que S : z = x + y é a equação cartesiana de S. Logo S é a parte do cone circular z = x + y situada no semi-espaço z 0. A equação de S em coordenadas esféricas é: Fig. 6: Superfície S : z = ρ S : r cos ϕ = r sen ϕ cos θ + r sen ϕ sen θ S : r cos ϕ = r sen ϕ r 0 S : sen ϕ cos ϕ = tg ϕ = r 0 S : ϕ = π 4 r 0. (c) S : z = ρ. Como ρ = ± x + y temos que S : z = ± x + y S : z = x + y é a equação cartesiana de S que representa um cone circular de eixo OZ. Fig. 7: Superfície S : z = ρ Pelo feito no item (b) S : ϕ = π 4 é a equação da superfície em coordenadas esféricas.

9 Geometria Analítica II - Aula 30 (d) S : z = ρ. Como ρ = x + y S : z = x + y é a equação cartesiana de S que representa um parabolóide circular de eixo OZ. Fig. 8: Superfície S : z = ρ Assim S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = cos ϕ sen ϕ = cotg ϕ cossec ϕ é a equação da superfície em coordenadas esféricas. (e) S : ρ cos θ + ρ sen θ + z =. Como x = ρ cos θ y = ρ sen θ temos que: S : x + y + z = é um plano. Fig. 9: Superfície S : ρ cos θ + ρ sen θ + z = Então S : r sen ϕ cos θ + r sen ϕ sen θ + r cos ϕ = é a equação de S em coordenadas esféricas.

10 303 Geometria Analítica II - Aula (f) S : ρ + z = a a > 0. Sendo ρ = x + y temos que S : x + y + z = a é a equação cartesiana de S a esfera de centro na origem e raio a. Como já vimos anteriormente S : ρ = a é a equação da esfera em coordenadas esféricas. (g) S : z = ρ + ρ cos θ ρ sen θ +. Sendo ρ cos θ = x ρ sen θ = y e ρ = x + y obtemos que: S : z = x + y + x y + S : z = (x + ) + (y ) é a equação cartesiana de S um parabolóide circular de eixo r = {( 0) + (0 0 t) t R } A equação de S em coordenadas esféricas é dada por: Fig. 0: Superfície S : z = ρ + ρ cos θ ρ sen θ + S : r cos ϕ = r sen ϕ + r sen ϕ(cos θ sen θ) +. Exemplo 5 Faça um esboço e dê uma parametrização em coordenadas cartesianas das superfícies dadas em coordenadas cilíndricas pelas equações abaixo. (a) S : ρ = e θ Como x = ρ cos θ = e θ cos θ e y = ρ sen θ = e θ sen θ temos que: x(θ z) = e θ cos θ S : y(θ z) = e θ sen θ θ z R z(θ z) = z é uma parametrização de S um cilindro de geratrizes paralelas ao vetor v = (0 0 ) que possui a espiral x(θ) = e θ cos θ γ : y(θ) = e θ sen θ θ R z(θ) = 0 Fig. : Diretriz γ da superfície S como uma de suas diretrizes.

11 Geometria Analítica II - Aula 304 Fig. : Superfície S : ρ = e θ (b) S : z = θ. Sendo z = θ temos que x(θ ρ) = ρ cos θ S : y(θ ρ) = ρ sen θ z(θ ρ) = θ ρ R θ R é uma parametrização de S helicóide gerado pelas retas paralelas ao plano XY que intersectam o eixo OZ e a hélice x(θ) = cos θ γ : y(θ) = sen θ θ R. z(θ) = θ Fig. 3: Helicóide S : z = θ e hélice γ

12 305 Geometria Analítica II - Aula Exemplo 6 Determine as equações cartesianas e paramétricas das superfícies abaixo dadas em coordenadas esféricas e identifique-as. (a) S : r = sen θ sen ϕ. Como r = ± x + y + z sen ϕ = x + y x + y + z e sen θ = ± y temos que: x + y S : ± x + y + z y x = ± + y S : x + y + z = y x + y x + y + z S : x + (y ) + z = 4 é a equação cartesiana da esfera de centro (0 ) 0 e raio igual a e x(θ ϕ) = sen ϕ sen θ cos θ S : y(θ ϕ) = sen ϕ sen θ sen θ ϕ [0 π] θ [0 π) z(θ ϕ) = sen ϕ cos ϕ sen θ é uma parametrização de S em coordenadas cartesianas. Fig. 4: Esfera S : r = sen θ sen ϕ (b) S : r = sen ϕ. Sendo r = x + y + z pois r 0 e sen ϕ = x + y obtemos que x + y + z S : x + y + z = é a equação cartesiana da superfície S. x + y x + y + z S : x + y + z = x + y

13 Geometria Analítica II - Aula 306 Além disso como x(θ ρ) = sen ϕ cos θ S : y(θ ρ) = sen ϕ sen θ z(θ ρ) = sen ϕ cos ϕ ϕ [0 π] θ R é uma parametrização de S em coordenadas cartesianas vemos que S é uma superfície de revolução de eixo OZ sendo a curva { γ = S θ = π } : uma de suas geratrizes. x(ϕ) = 0 y(ϕ) = sen ϕ z(ϕ) = sen ϕ cos ϕ ϕ [0 π] Mas y(ϕ) + z(ϕ) y(ϕ) = sen 4 ϕ + sen ϕ cos ϕ sen ϕ = sen ϕ ( sen ϕ + cos ϕ ) sen ϕ = 0. Ou seja a curva γ é o círculo ( y + z y = 0 y ) + z = γ : γ : 4 x = 0 x = 0 de centro (0 ) 0 e raio igual a no plano x = 0 Fig. 5: Superfície S : r = sen ϕ e sua geratriz γ Observação Seja S uma superfície dada pela equação f(ρ z) = 0 em coordenadas cilíndricas. Como a equação independe da variável θ intersectando a superfície S com os semi-planos θ =const. obtemos sempre a mesma curva. Assim S é uma superfície de revolução obtida girando a curva

14 307 Geometria Analítica II - Aula { f(y z) = 0 x = 0 y 0 em torno do eixo OZ pois ρ = x + y. De modo análogo se S é uma superfície dada pela equação f(r ϕ) = 0 em coordenadas esféricas então S é uma superfície de revolução de eixo OZ sendo a curva ( ) y f + z y arcsen = 0 y + z y 0 x = 0 uma de suas geratrizes pois r = x + y + z e sen ϕ = Para fixar as idéias reveja os exemplos 4 5 e 6. x + y x + y + z. Exemplo 7 Use sistemas de inequações: z (x y) z z (x y) y (x) y y (x) ; x x x z (ρ θ) z z (ρ θ) ρ (θ) ρ ρ (θ) θ θ θ ; r (θ ϕ) r r (θ ϕ) ϕ (θ) ϕ ϕ (θ) θ θ θ para descrever em coordenadas cartesianas cilíndricas e esféricas respectivamente os sólidos delimitados pelas superfícies abaixo. (a) S : z = x + y S : x + y = e S 3 : z = 0. A superfície S é um parabolóide circular de eixo OZ e S é um cilindro circular de eixo OZ cuja interseção { { z = x + y x + y = x + y = z = é o círculo de centro (0 0 ) e raio igual a contido no plano z =. Assim o esboço do sólido R delimitado pelas superfícies S S e S 3 é: Fig. 6: Região R delimitada pelas superfícies S S e S 3

15 Geometria Analítica II - Aula 308 Sendo o disco D de centro na origem e raio igual a a projeção do sólido sobre o plano XY temos que x y x D : x ou 0 ρ D : 0 θ π. Logo o sólido R é dado por: 0 z x + y R : x y x x Fig. 7: Disco D: projeção da região R sobre o plano XY em coordenadas cartesianas; R : 0 z ρ 0 ρ 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : cos ϕ sen ϕ r sen ϕ π 4 ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ S : ρ = e S 3 : z = 0 são equações das superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = cos ϕ sen ϕ ; S : r sen ϕ = S : r = sen ϕ ; S 3 : r cos ϕ = 0 S 3 : ϕ = π ; são as equações das superfícies em coordenadas esféricas. (b) S : z = x + y e S : z =. A superfície S é um parabolóide circular de eixo OZ cuja interseção com o plano z = é o círculo

16 309 Geometria Analítica II - Aula { x + y = z =. O esboço do sólido R delimitado por S e S é dado por: x + y sendo o disco D : z = 0 Fig. 8: Região R delimitada pelas superfícies S e S a projeção do sólido sobre o plano XY. Assim o sólido R é dado por: x + y z R : x y x x em coordenadas cartesianas; ρ z R : 0 ρ 0 θ π Fig. 9: Disco D: projeção da região R sobre o plano XY em coordenadas cilíndricas; 0 r sec ϕ R : 0 ϕ π 4 0 θ π 0 r cotg ϕ cossec ϕ π 4 ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ e S : z = são as equações das superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = cotg ϕ cossec ϕ e S : r cos ϕ = S : r = sec ϕ são as equações das superfícies em coordenadas esféricas.

17 Geometria Analítica II - Aula 30 (c) S : z = x y e S : z = x + y. A superfície S é a parte da esfera x + y + z = contida no semi-plano z 0 e S é a parte do cone circular z = x + y contida no semi-plano z 0. Como z = x y γ = S S : z = z = x + y γ : x + y z = z z = x + y γ : z = x + y = γ : z = é o círculo no plano z = ( ) de centro 0 0 e raio temos que: Fig. 0: Região R delimitada pelas superfícies S e S é o esboço do sólido R delimitado pelas superfícies S e S. e o disco x + y D : z = 0 é a projeção de R sobre o plano XY. Logo o sólido R é dado por: x + y z x y R : x y x x em coordenadas cartesianas; Fig. : Disco D: projeção da região R sobre o plano XY

18 3 Geometria Analítica II - Aula R : ρ z ρ 0 ρ 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : 0 r 0 ϕ π 4 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ e S : z = ρ são as equações das superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = ϕ [ 0 π ] e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : ϕ = π 4 r > 0 são as superfícies em coordenadas esféricas. (d) S : z = 4 x y e S : z = x y + 4. A superfície S é a parte da esfera x + y + z = 4 de centro na origem e raio igual a contida no semi-plano z 0 e a superfície S : x + y = (z 4) é um parabolóide circular de eixo OZ e vértice (0 0 4) com concavidade voltada para baixo. A interseção das superfícies é z = 4 x y x + y = 4 z S S : S S : z = x y + 4 z = 4 (4 z) = S S = γ 0 γ z onde x + y = 4 γ 0 : z = 0 é o círculo contido no plano z = 0 de centro na origem e raio igual a e x + y = 3 γ : z = é o círculo contido no plano z = de centro (0 0 ) e raio igual a 3.

19 Geometria Analítica II - Aula 3 Assim o esboço do sólido R delimitado pelas superfícies S e S é dado por: Fig. : Região R delimitada pelas superfícies S e S (tg ϕ 0 = 3 ϕ 0 = π 3 ) sendo o disco x + y 3 D : z = 0 a projeção da parte do sólido situada no semi-plano z sobre o plano XY e o anel 3 x + y 4 A : z = 0 a projeção da parte do sólido situada na faixa 0 z sobre o plano XY. Fig. 3: Disco D: projeção da região R {z } sobre o plano XY Fig. 4: Anel A: projeção da região R {0 z } sobre o plano XY

20 33 Geometria Analítica II - Aula Portanto o sôlido R pode ser dado nas seguintes formas: 4 x y z 4 x y R : 4 x y 4 x y z 4 x y 4 x x 4 x y 4 x 3 3 x 4 x y z 4 x y 4 x y 4 x y z 4 x y 3 x 3 x 3 x y 4 x 3 3 x 3 4 x y z 4 x y 3 x y 3 x 3 x 3 em coordenadas cartesianas; R : 4 ρ z 4 ρ 3 ρ 0 θ π 4 ρ z 4 ρ 0 ρ 3 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : r cos ϕ sen ϕ sen ϕ 0 ϕ π 3 0 θ π cos ϕ sen ϕ r sen ϕ π 3 ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = 4 ρ e S : z = 4 ρ são as equações das [ superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r = ϕ 0 π ] e S : r cos ϕ = 4 r sen ϕ S : r sen ϕ + r cos ϕ 4 = 0 S : S : r = cos ϕ + cos ϕ + 6 sen ϕ sen ϕ r = cos ϕ sen ϕ sen ϕ são as equações das superfícies em coordenadas esféricas.

21 Geometria Analítica II - Aula 34 (e) S : z = x + y e S : z =. A superfície S é um parabolóide elíptico de eixo OZ e sua interseção com o plano z = x + y = γ = S S : z = é uma elipse de centro (0 0 ). Assim o esboço do sólido R delimitado pelas superfícies S e S é: e sua projeção D sobre o plano XY é a região: Fig. 5: Sólido R delimitado pelas superfícies S e S x + y D : z = 0 limitada pela elipse x + y = β : z = 0. A elipse x + y = em coordenadas polares é dada por: ρ + ρ sen θ = ρ(θ) = + sen θ e o ângulo ϕ que o vetor OP faz com o semi-eixo positivo OZ onde P pertence à elipse γ é tal que: tg ϕ (θ) = ρ(θ) = + sen θ Logo o sólido R pode ser descrito nas seguintes maneiras: Fig. 6: Região plana D

22 35 Geometria Analítica II - Aula R : x + y z x x y x em coordenadas cartesianas; R : ρ ( + sen θ) z 0 ρ 0 θ π + sen θ em coordenadas cilíndricas; 0 r sec ϕ R : 0 ϕ ϕ (θ) 0 θ π 0 r ϕ (θ) ϕ π 0 θ π cotg ϕ cossec ϕ + sen θ em coordenadas esféricas pois S : z = ρ ( + sen θ) e S : z = são as superfícies dadas em coordenadas cilíndricas e e S : r cos ϕ = r sen ϕ(cos θ + sen θ) S : r = cos ϕ sen ϕ S : r = cos ϕ = sec ϕ são as equações das superfícies em coordenadas esféricas. + sen θ (f) S : z = x + y e S : z = x y. A superfície S é a parte do cone circular de eixo OZ e vértice ( 0 0) (z ) = x + y situada no semi-espaço z e a superfície S é a parte da esfera x + y + z = situada no semi-espaço z 0. A interseção das superfícies é: z = x + y x + y = ( z) γ = S S : z = γ = S S : z = ( z) x y z 0 x + y = γ = S S : z = 0 um círculo de centro na origem e raio igual a no plano XY.

23 Geometria Analítica II - Aula 36 Portanto o esboço do sólido S delimitado pelas superfícies S e S é: e sua projeção D sobre o plano XY é o disco x + y D : z = 0 Fig. 7: Sólido R delimitado pelas superfícies S e S Assim o sólido R pode ser descrito nas seguintes formas: x y z x + y R : x y x x em coordenadas cartesianas; ρ z ρ R : 0 ρ 0 θ π Fig. 8: Região plana D em coordenadas cilíndricas; 0 r R : 0 ϕ π 0 θ π cos ϕ + sen ϕ 0 r π ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ e S : z = ρ são as superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = [0 cos ϕ + sen ϕ ϕ π ] [ π ] e S : r = ϕ π são as superfícies em coordenadas esféricas.

24 37 Geometria Analítica II - Aula (g) S : z = x + y e S : x + y + z =. A superfície S é um parabolóide de eixo OZ e S é um plano. A interseção das superfícies é a curva γ = S S : cuja projeção sobre o plano XY é o círculo { x + y = z x + y + z = C : x + y = x y C : x + x + y + y = ( C : x + ) ( + y + de centro ( ) 0 e raio 3. O esboço do sólido delimitado pelas superfícies S e S é: ) = = 3 Fig. 9: Sólido delimitado pelas superfícies S e S e sua projeção D sobre o plano XY é o disco: ( x + ) ( + y + ) 3 D : z = 0. x + y = x y O círculo C : em coordenadas polares é dado por: z = 0 ρ = ρ(cos θ + sen θ) ρ + ρ(cos θ + sen θ) = 0 ρ(θ) = [ (cos θ + sen θ) + ] (cos θ + sen θ) + 4.

25 Geometria Analítica II - Aula 38 Fig. 30: Disco D x + y = z Seja P um ponto pertencente à curva γ : x + y + z = e seja P = (ρ(θ) cos θ ρ(θ) sen θ 0) a projeção de P sobre o plano XY. Então o ângulo ϕ(θ) que o vetor OP faz com o semi-eixo OZ positivo é tal que tg ϕ(θ) = ρ(θ) = z ρ(θ) ρ(θ)(cos θ + sen θ) pois z = x y = ρ(θ)(cos θ + sen θ). Logo o sólido R pode ser dado nas seguintes formas: R : x + y z x y 3 (x + ) y 3 x (x + ) em coordenadas cartesianas; ρ z ρ(cos θ + sen θ) R : 0 ρ ρ(θ) 0 θ π em coordenadas cilíndricas; 0 r cos ϕ + sen ϕ(cos θ + sen θ) R : 0 ϕ ϕ(θ) 0 θ π Fig. 3: Elementos θ ρ(θ) e ϕ(θ) de um ponto da curva γ 0 r cotg ϕ cossec ϕ ϕ(θ) ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ e S : z = ρ(cos θ + sen θ) são as superfícies dadas em coordenadas cilíndricas e

26 39 Geometria Analítica II - Aula e S : r cos ϕ = r sen ϕ S : r = cos ϕ sen ϕ S : r cos ϕ + r sen ϕ(cos θ + sen θ) = S : r = = cotg ϕ cossec ϕ cos ϕ + sen ϕ(cos θ + sen θ) são as superfícies dadas em coordenadas esféricas. (h) S : x + y = 4 S : z = 3 e S 3 : z =. A superfície S é um cilindro circular reto de eixo OZ e o esboço do sólido delimitado pelas superfícies é Fig. 3: Sólido R delimitado pelas superfícies S S e S 3 A projeção D do sólido sobre o plano XY é o disco { x + y 4 D : z = 0 Então o sólido R pode ser descrito nas seguintes formas: z 3 R : 4 x y 4 x x em coordenadas cartesianas; z 3 R : 0 ρ 0 θ π em coordenadas cilíndricas; Fig. 33: Disco D

27 Geometria Analítica II - Aula 30 R : 0 r 3 cos ϕ 0 ϕ π 6 0 θ π 0 r sen ϕ π 6 ϕ 3π 4 0 θ π 0 r cos ϕ 3π 4 ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : r = superfícies dadas em coordenadas esféricas. sen ϕ S : r = 3 cos ϕ e S 3 : r = cos ϕ são as Exemplo 8 Repita o exercício anterior para as regiões do espaço definidas pelas desigualdades: (a) R : z x + y. A superfície S : z = x + y que delimita a região R é um parabolóide circular de eixo OZ Fig. 34: Região R delimitada pelo parabolóide circular S e a região consiste de todos os pontos dentro ou sobre o parabolóide circular S. Assim a região R pode ser dada nas seguintes formas: x + y z < + R : < y < + < x < + em coordenadas cartesianas; em coordenadas cilíndricas; ρ z < + R : 0 ρ < + 0 θ π

28 3 Geometria Analítica II - Aula 0 r cotg ϕ cossec ϕ R : 0 ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ e S : r = cotg ϕ cossec ϕ é a superfície dada em coordenadas cilíndricas e esféricas respectivamente. x + y + z (b) R : x + y. A região R é delimitada pela esfera S : x + y + z = e pelo cilindro circular de eixo OZ S : x + y =. A interseção dessas superfícies é: x + y + z = x + y = S S : S S : S S = γ γ x + y = z = onde γ e γ são os círculos: x + y = γ : z = O esboço da região R é x + y = e γ : z =. Fig. 35: Região R delimitada pela esfera S e pelo cilindro S e sua projeção A sobre o plano XY é o anel: x + y A : z = 0

29 Geometria Analítica II - Aula 3 Fig. 36: Anel A Logo a região R pode ser descrita nas seguintes formas: x y z x y R x y x y z x y x x y x x x x y z x y x y x y z x y x x y x x x em coordenadas cartesianas; R : ρ z ρ ρ 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : cossec ϕ r π 4 ϕ 3π 4 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ S : ρ = são as equações das superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r = S : r = sen ϕ = cossec ϕ são as equações das superfícies em coordenadas esféricas.

30 33 Geometria Analítica II - Aula x + y + z (c) R : z x + y. A região é delimitada pela esfera S : x + y + z = e pelo cone circular de eixo OZ S : z = x + y. A interseção das superfícies são os círculos: x + y = x + y = γ : z = e γ : z = e o esboço da região R é: Fig. 37: Região R delimitada pela esfera S e pelo cone S sendo o disco: { x D : + y z = 0 Fig. 38: Disco D a sua projeção sobre o plano XY.

31 Geometria Analítica II - Aula 34 Assim a região R pode ser descrita das seguintes maneiras: R : x y z x y x y x x x y z x y x y x x x y z x y x y x x x y z x y x y x x x + y z x + y x y x x em coordenadas cartesianas; ρ z ρ R : 0 ρ ρ z ρ ρ 0 θ π 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : 0 r π 4 ρ 3π 4 0 θ π em coordenadas esféricas pois S : z = ρ S : z = ρ são as superfícies em coordenadas cilíndricas e S : r = S : ϕ = π 4 são as superfícies em coordenadas esféricas. 0 z x + y (d) R : x + (y ). As superfícies que delimitam a região R são: o plano XY S : z = 0 o parabolóide circular de eixo OZ S : z = x + y e o cilindro circular de eixo paralelo ao eixo OZ S 3 : x + (y ) =. O esboço da região é

32 35 Geometria Analítica II - Aula Fig. 39: Região R delimitada pelas superfícies S S e S 3 e sua projeção sobre o plano XY é o disco x + (y ) D : z = 0 O círculo em coordenadas polares é dado por: Fig. 40: Disco D C : x + (y ) = C : x + y = y C : ρ(θ) = sen θ θ [0 π] e o ângulo ϕ(θ) que o vetor OP P S S 3 faz com o semi-eixo positivo OZ sendo

33 Geometria Analítica II - Aula 36 P = (ρ(θ) cos θ ρ(θ) sen θ 0) a projeção do ponto P sobre o plano XY é tal que: tg ϕ(θ) = ρ(θ) ρ (θ) = ρ(θ) = sen θ Fig. 4: Região R pois se x(θ) = ρ(θ) cos θ y(θ) = ρ(θ) sen θ então z(θ) = x + y = ρ (θ). Assim a região R pode ser dada nas seguintes formas: 0 z x + y R : x y + x x em coordenadas cartesianas; 0 z ρ R : 0 ρ sen θ 0 θ π em coordenadas cilíndricas; R : cotg ϕ cossec ϕ r sen θ sen ϕ sen θ ϕ π 0 θ π em coordenadas esféricas pois z = ρ é a superfície S em coordenadas cilíndricas e r = cos ϕ = cotg ϕ cossec ϕ sen ϕ r sen ϕ = r sen ϕ sen θ r = sen θ sen ϕ são as superfícies S e S 3 respectivamente em coordenadas esféricas.

34 37 Geometria Analítica II - Aula Exemplo 9 Esboce os sólidos definidos pelos sistemas de inequações abaixo e identifique as superfícies que os delimitam. ρ z (a) R : 0 ρ 0 θ π onde (ρ θ z) são as coordenadas cilíndricas de um ponto da região. 0 ρ A região do plano R 0 : 0 θ π é dada em coordenadas cartesianas por x + y R 0 : y 0 Fig. 4: Região R 0 no plano Assim o esboço de R é: Fig. 43: Sólido R pois a superfície z = ρ = x + y é a parte superior do cone circular de eixo OZ z = x + y. Logo as superfícies que delimitam a região são o plano y = 0 o plano z = e a parte superior do cone z = x + y.

35 Geometria Analítica II - Aula 38 r cos ϕ (b) R : 0 ϕ π 4 0 θ π onde (r θ ϕ) são as coordenadas esféricas de um ponto da região. Observe que: ϕ = π 4 tg ϕ = r sen ϕ = r cos ϕ r sen ϕ = r cos ϕ x + y = z é a equação de um cone circular de eixo OZ. Por outro lado r = x + y + z = é a equação da esfera de centro na origem e raio. Além disso r = cos ϕ é a equação de um plano paralelo ao plano XY. Assim o esboço do sólido R é dado por r cos ϕ = z = Fig. 44: Sólido R sendo a esfera x + y + z = o cone z = x + y e o plano z = as superfícies que o delimitam. 3 r sen ϕ (c) R : π 3 ϕ π π 3 0 θ π onde (r θ ϕ) são as coordenadas esféricas de um ponto da região.

36 39 Geometria Analítica II - Aula As superfícies que delimitam o sólido são : r = x + y + z = a esfera de centro na origem e raio igual a ; 3 r = sen ϕ r sen ϕ = 3 r sen ϕ = 3 x + y = 3 um cilindro circular reto de eixo OZ; ϕ = π ou ϕ = π π 3 3 tg ϕ = ± 3 sen ϕ cos ϕ = ± 3 r sen ϕ = ± 3 r cos ϕ r sen ϕ = 3r cos ϕ 3z = x + y um cone circular de eixo OZ; θ = 0 y = r sen ϕ sen θ = 0 o plano XZ; θ = π x = r sen ϕ cos θ = 0 o plano YZ. Assim o esboço do sólido é: Fig. 45: Sólido R fora da esfera entre o cone e o cilindro delimitado pelos planos x = 0 e y = 0 0 z ρ (d) R : 0 ρ 0 θ π 4 onde (ρ θ z) são as coordenadas cilíndricas de um ponto de R. As superfícies que delimitam o sólido R são: z = 0 o plano XY; z = ρ z = x + y parte do cone circular (z ) = x + y situada no semi-espaço z ; θ = 0 y = 0 o plano XZ; θ = π 4 x y = 0 um plano vertical.

37 Geometria Analítica II - Aula 330 Assim o esboço do sólido R é: Fig. 46: Sólido R delimitado pelos planos θ = 0 e θ = π 4 e pelo cone (z ) = x + y