21 e 22. Superfícies Quádricas. Sumário

Transcrição

1 21 e 22 Superfícies uádricas Sumário 21.1 Introdução Elipsoide Hiperboloide de uma Folha Hiperboloide de duas folhas Cone Elíptico Cilindro Elíptico Cilindro Hiperbólico Paraboloide Elíptico Paraboloide Hiperbólico Cilindro Parabólico Exemplos Exercícios

2 Unidades 21 e 22 Introdução 21.1 Introdução Em capítulos anteriores, estudamos as cônicas, curvas dadas por uma equação de segundo grau nas variáveis x e y. Uma quádrica é uma superfície dada por uma equação de segundo grau nas variáveis x, y e z, isto é, uma equação da forma: Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0, (21.1) onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são números reais, sendo não nulo pelo menos um dos coecientes A, B, C, D, E e F. Além das nove superfícies quádricas, que apresentaremos a seguir, a equação acima também pode representar: o conjunto vazio, uma reta, um par de planos paralelos, um ponto, um plano, um par de planos concorrentes. Estes conjuntos são denominados quádricas degeneradas. O estudo geral das superfícies dadas pela equação (21.1) será feito no próximo capítulo. Estudaremos neste capítulo apenas as quádricas na forma canônica. Para isso, determinaremos as seções planas π destas superfícies, onde π é um plano paralelo a um dos planos coordenados. Além disso, analisaremos as simetrias das quádricas em relação aos planos coordenados e em relação à origem. Sabemos que um conjunto é simétrico em relação: ao plano quando: (x, y, z) (x, y, z) ; ao plano quando: (x, y, z) (x, y, z) ; ao plano quando: (x, y, z) ( x, y, z) ; à origem quando: (x, y, z) ( x, y, z) ; É fácil vericar que se o conjunto é simétrico em relação aos planos, e, então é simétrico em relação à origem. 2

3 Superfícies uádricas Unidades 21 e Elipsoide Um elipsoide na forma canônica é uma superfície dada por uma equação de segundo grau do tipo: onde a, b e c são números reais positivos. : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1, (21.2) É fácil vericar que o elipsoide é uma superfície simétrica em relação aos três planos coordenados e em relação à origem. A esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 é um elipsoide com a = b = c = R. Observação 1 A interseção do elipsoide com o plano z =, R, paralelo ao plano, x 2 {z = }: a 2 + y2 2 =1 b2 c 2, z = é: uma elipse de centro (0, 0, ), se ( c, c); o ponto (0, 0, c), se = c; o ponto (0, 0, c), se = c; o conjunto vazio, se > c. Por outro lado, a interseção do elipsoide com os planos paralelos ao plano, x 2 {y = }: a 2 + z2 2 =1 c2 b 2, y = é: uma elipse de centro (0,, 0), se ( b, b); o ponto (0, b, 0), se = b; o ponto (0, b, 0), se = b; o conjunto vazio, se > b. c a c {z =} z = b Figura 21.1: Interseção do plano {z = } com o elipsoide y = {y =} b a b Figura 21.2: Interseção do plano {y = } com o elipsoide 3

4 Unidades 21 e 22 Hiperboloide de uma Folha Finalmente, a interseção do elipsoide com os planos paralelos ao plano, { y 2 {x = }: b + z2 2 c x = é: 2 =1 2 a 2 uma elipse de centro (, 0, 0), se ( a, a); o ponto (a, 0, 0), se = a; o ponto ( a,0,0), se = a; o conjunto vazio, se > a., c x= {y =} a b Figura 21.3: Interseção do plano {x=} com o elipsoide Os pontos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0) e (0, 0, ±c) são chamados vértices do elipsoide dado pela equação Hiperboloide de uma Folha Os hiperboloides de uma folha na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as superfícies dadas, respectivamente, pelas equações de segundo grau abaixo: x2 a + y2 2 b + z2 = 1, 2 c 2 x 2 a y2 2 b + z2 = 1, 2 c 2 x 2 a + y2 2 b z2 = 1, 2 c 2 onde a, b e c são números reais positivos. É fácil ver que os hiperboloides de uma folha na forma canônica são simétricos em relação aos três planos coordenados e à origem. z = {z =} Figura 21.4: {z =} é uma elipse de centro (0, 0, ) no plano z = Vamos analisar o hiperboloide de uma folha na forma canônica de eixo O: : x2 a + y2 2 b z2 2 c = 1. 2 A interseção de com o plano z =, paralelo ao plano, 4

5 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 x 2 {z = } : a + y2 2 b = 2 2 c z = é uma elipse de centro (0, 0, ) para todo R. Por outro lado, a seção plana, y 2 {x = } : b z2 2 c = a = a2 2 2 a 2 x = representa, para: ( a, a), a hipérbole de centro no ponto (, 0, 0) e reta focal, paralela ao eixo O, y 2 ( a 2 {x = } : b 2 2 ) a 2 x = { z = ± c cujas assíntotas são as retas b y x = z 2 c 2 ( a 2 2 a 2,, ) = 1, pois a2 2 a 2 > 0;, { x = z = 0, {x=} {x=a} z = x=a a z = {x=a} x=a {x=} Figura 21.5: {x = }: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O, se < a Figura 21.6: {x = a}: duas retas concorrentes no ponto (a, 0, 0) { z = ± c = a, duas retas b y concorrentes no ponto (a, 0, 0); x = a { z = ± c = a, duas retas b y concorrentes no ponto ( a, 0, 0); x = a 5

6 Unidades 21 e 22 Hiperboloide de uma Folha {x= a} {x=} a x= a z = a {x= a} {x=} Figura 21.7: {x = a}: duas retas concorrentes no ponto ( a, 0, 0) Figura 21.8: {x = }: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O, se > a > a, a hipérbole de centro (, 0, 0) e reta focal, eixo O, {x = } : x = z 2 c 2 ( 2 a 2 a 2 { y = ± b c z ) y 2 b 2 ( 2 a 2 a 2 { x = y = 0 ) = 1, paralela ao cujas assíntotas são as retas, pois, neste caso, 2 a 2 > x = a 2 0. Finalmente, a interseção de com os planos y =, paralelos ao plano, x 2 {y = } : a z2 2 c = b = b2 2 2 b 2, y = nos dá, para: ( b, b), a hipérbole de centro (0,, 0) e reta focal, eixo O, x 2 ( b 2 {y = } : a 2 2 ) b 2 y = { cujas assíntotas são as retas z 2 c 2 ( b 2 2 b 2 { y = z = 0 ) = 1 z = ± c a x, uma vez que b2 2 > y = b 2 0;,,, paralela ao 6

7 Superfícies uádricas ( = b, duas retas Unidades 21 e 22 c z=± x a que se cortam no ponto (0, b, 0); y=b {y = b} {y = } y =b {y = } y = b {y = b} {y = }: hipérbole O, se < b Figura 21.9: de reta focal {y = b}: (0, b, 0) Figura 21.10: paralela ao eixo no ponto duas retas que se cortam y = b {y = } = {y } b y = b {y = b } {y = } {y = b}: (0, b, 0) Figura 21.11: no ponto duas retas que se cortam Figura 21.12: {y = }: hipérbole O, se > b de reta focal paralela ao eixo z = ± c x a que se cortam no ponto (0, b, 0); = b, duas retas y = b x = 0 > b, a hipérbole de centro (0,, 0) e reta focal,, paralela ao y = eixo O, 7

8 Unidades 21 e 22 Hiperboloide de duas folhas ( 2 {y = } : c 2 b 2 ) b 2 y = x = ± a cujas assíntotas são as retas c z y = z 2 x 2 a 2 ( 2 b 2 b 2 ) = 1, pois, neste caso, 2 b 2 b 2 > Hiperboloide de duas folhas Os hiperboloides de duas folhas na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as quádricas denidas, respectivamente, pelas seguintes equações de segundo grau: x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1, x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1, x2 a y2 2 b + z2 = 1, 2 c 2 onde a, b e c são números reais positivos. Estas equações são simétricas em relação aos três planos coordenados e à origem. Vamos estudar o hiperboloide de duas folhas de eixo O: x2 a y2 2 b + z2 2 c = 1. 2 A interseção de com o plano z =, R, paralelo ao plano c c {z =} {z = }, z = z = Figura 21.13: {z = ±}: elipse contida no plano z = ±, é dada pelo sistema: x 2 {z = } : a + y2 2 b = 2 2 c 1 = 2 c 2 2 c 2 z =. Então, {z = } é o conjunto vazio, se ( c, c); o ponto (0, 0, c), se = c; o ponto (0, 0, c), se = c; a elipse de centro (0, 0, ), 8

9 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 x 2 ( 2 {z = } : a 2 c 2 ) + c 2 z = y 2 b 2 ( 2 c 2 c 2 ) = 1, se (, c) (c, + ). Por outro lado, as seções planas contidas em planos paralelos ao plano, x2 {y = } : a + z2 2 c = b 2 y = ( ) ( ) = 1 {y = } : c b 2 a b 2, y = x = 0 são hipérboles de centro (0,, 0) e reta focal,, paralela ao eixo O, y = x = ± a cujas assíntotas são as retas c z, pois > 0, para todo R. y = b2 z 2 x 2 {y =} c y = {x=} c x= c c {y =} {x=} Figura 21.14: {y = }: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O Figura 21.15: {x = }: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O Finalmente, a interseção de com o plano x =, R, paralelo ao plano (gura 21.15), 9

10 Unidades 21 e 22 Cone Elíptico z 2 {x = } : c y2 2 b = a 2 x = ( ) ( ) = 1 {x = } : c a 2 b a 2, x = x = é a hipérbole de centro (, 0, 0) e reta focal,, paralela ao eixo O, y = 0 y = ± b cujas assíntotas são as retas a z, para todo R. x = z 2 y Cone Elíptico Os cones elípticos na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as superfícies dadas, respectivamente, pelas equações de segundo grau: x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 0, x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 0, x 2 a + y2 2 b z2 = 0, 2 c 2 onde a, b, c são números reais positivos. É fácil mostrar que os cones elípticos na forma canônica são simétricos em relação aos três planos coordenados e à origem. Vamos analisar as seções planas do cone elíptico de eixo O: {z =} {z = } z = z = Figura 21.16: {z = ±}: elipse contida no plano z = ± : x2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2. As seções planas de em planos paralelos ao plano, 10

11 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 { x 2 {z = } : a + y2 2 b = 2 2 c 2 z =, são elipses de centro (0, 0, ) se 0, e é a origem (0, 0, 0) se = 0. A interseção de com o plano y =, R, paralelo ao plano, x2 {y = } : a + z2 2 c = 2 2 b 2, y = é a hipérbole { de centro (0,, 0) e reta focal, paralela ao eixo O, cujas x = 0 y =, assíntotas são { as retas x = ± c a z y =, se 0, e um par de retas, { x = ± c a z y = 0, que se cortam na origem, quando = 0. {y =} y = {y =} Figura 21.17: {y = }, > 0: hipérbole com reta focal paralela ao eixo O y =0 {y =} {y =} {y =} y = {y =} Figura 21.18: {y = 0} : duas retas que se cortam na origem Figura 21.19: {y = }, < 0: hipérbole com reta focal paralela ao eixo O 11

12 Unidades 21 e 22 Cone Elíptico Além disso, a seção plana de em um plano paralelo ao plano, z 2 {x = } : c y2 2 b = 2 2 a 2 x =, é uma hipérbole de centro (, 0, 0), {x=} x= reta focal paralela ao eixo O e assíntotas { y = ± b c z x =, quando 0, e um par de retas concorrentes, {y = ± c b z x = 0, {x=} que passam pela origem, se = 0. Figura 21.20: {x = }, > 0: hipérbole com reta focal paralela ao eixo O {x=0} x=0 {x=} x= {x=0} {x=} Figura 21.21: {x = 0}: duas retas que se cortam na origem Figura 21.22: {x=}, < 0: hipérbole com reta focal paralela ao eixo O Observação 2 uando a = b, dizemos que : x2 a + y2 2 b = z2 2 c 2 é um cone circular de eixo O, pois, neste caso, a seção plana {z = } é um círculo, para todo 0. 12

13 Superfícies uádricas Unidades 21 e Cilindro Elíptico Os cilindros elípticos de eixo O, eixo O e eixo O na forma canônica são as superfícies dadas, respectivamente, pelas seguintes equações de segundo grau nas variáveis x, y z: y 2 b 2 + z2 c 2 = 1, x 2 a 2 + z2 c 2 = 1, x 2 a + y2 = 1, 2 b 2 onde a, b, c são números reais positivos. Estas superfícies são simétricas em relação aos três eixos coordenados e à origem. Estudaremos as seções planas do cilindro elíptico de eixo O: {z =} Figura 21.23: {z = }: elipse de centro (0, 0, ) : x2 a + y2 2 b = 1. 2 As seções planas contidas em planos paralelos ao plano, x 2 {z = } : a + y2 2 b = 1 2, z = são elipses de centro (0, 0, ) sobre o eixo O, para todo R. A seção plana de no plano y =, R, paralelo ao plano, x 2 {y = } : a = b 2, y = x = ± a b2 2 são duas retas paralelas ao eixo O, b, se ( b, b); y = { x = 0 é uma reta paralela ao eixo O,, se = b; y = b { x = 0 é uma reta paralela ao eixo O,, se = b; y = b é o conjunto vazio, se > b. z = 13

14 Unidades 21 e 22 Cilindro Hiperbólico {y = b} {y =} {y =} {y =b} {x=} {x=a} {x = a} {x=} x= b b a y = Figura 21.24: Seções planas de em planos paralelos ao plano Figura 21.25: Seções planas de em planos paralelos ao plano De modo análogo, a seção plana y 2 {x = } : b = a 2 x = { y = ± b a2 2 são duas retas paralelas ao eixo O, a x = { x = a é uma reta paralela ao eixo O,, se = a; y = 0 { x = a é uma reta paralela ao eixo O,, se = a; y = 0 é o conjunto vazio, se (, a) (a, )., se ( a, a); Observação 3 Se a = b, dizemos que : x2 a + y2 = 1 2 é um cilindro circular de eixo O. b Cilindro Hiperbólico Os cilindros hiperbólicos de eixo O, eixo O e eixo O na forma canônica são as superfícies denidas, respectivamente, pelas equações de segundo grau abaixo: 14

15 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 y 2 b z2 = 1 2 c 2 ou x 2 a z2 2 c 2 = 1 ou x 2 a y2 2 b 2 = 1 ou z 2 c y2 = 1, 2 b 2 z 2 c x2 2 a 2 = 1, y 2 b x2 2 a 2 = 1, onde a, b, c são números reais positivos. Estas superfícies são simétricas em relação aos três planos coordenados e à origem. Vamos estudar o seguinte cilindro hiperbólico de eixo O: : x2 a y2 2 b = 1. 2 Todas as seções planas contidas em planos paralelos ao plano, x 2 {z = } : a y2 2 b = 1 2, z = são hipérboles de{ centro (0, 0, ) sobre o eixo O, reta focal paralela ao eixo y = ± b O e assíntotas a x z =. {z =} z = {z =} Figura 21.26: {z = }: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O A interseção de com o plano x =, paralelo ao plano, 15

16 Unidades 21 e 22 Cilindro Hiperbólico y 2 {x = } : b = 2 2 a 1 2, x = { y = ± b 2 a 2 são duas retas, a, paralelas ao eixo O, se > a; x = { x = a é a reta paralela ao eixo O, se = a; y = 0 { x = a é a reta paralela ao eixo O, se = a; y = 0 é o conjunto vazio, se < a, pois, neste caso, 2 a 2 1 < 0. {x = } {x=} {x=a} {x= a} {x = l} {x=l} a a l x= x=l Figura 21.27: Seções planas do cilindro hiperbólico em planos paralelos ao plano Por outro lado, a seção plana x 2 {y = } : a = b 2 y = x = ± a b2 + 2 {y = } : b y = consiste de duas retas paralelas ao eixo O, para todo R. 16

17 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 {y =} y = {y =} Figura 21.28: Seções planas do cilindro hiperbólico em planos paralelos ao plano As seis quádricas apresentadas até agora são chamadas quádricas cêntricas, porque todas são simétricas em relação à origem. Na forma canônica, ainda restam três quádricas que não são simétricas em relação à origem. Essas quádricas são denominadas quádricas não cêntricas. Observação Paraboloide Elíptico Os paraboloides elípticos na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as superfícies dadas, respectivamente, pelas equações de segundo grau: y 2 b + z2 = ax, 2 c 2 x 2 a + z2 = by, 2 c 2 x 2 a + y2 = cz, 2 b 2 onde a, b, c são números reais não nulos. Vamos analisar o paraboloide elíptico de eixo O 17

18 Unidades 21 e 22 Paraboloide Elíptico : x2 a + y2 = cz 2, com c > 0. b2 É fácil vericar que é simétrica em relação aos planos e, mas não é simétrica em relação ao plano e à origem. A interseção de com o plano z =, paralelo ao plano, x 2 {z = } : a + y2 2 b = c 2, z = é uma elipse de centro (0, 0, ), se > 0; é a origem (0, 0, 0), se = 0; é o conjunto vazio, se < 0. {z =} z = Figura 21.29: {z = }, > 0: elipse As seções planas contidas nos planos paralelos ao plano, x 2 2 = cz {y = } : a2 b 2 y = ( ) x 2 = a 2 c z 2 {y = } : cb 2, y = ( ) são parábolas de vértice V = 0,, 2 b 2 e reta focal paralela ao eixo O, c com concavidade voltada para cima, pois a 2 c > 0. E as seções planas 18

19 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 y 2 x2 = cz {x = } : b2 a 2 x = ( ) y 2 = b 2 c z 2 {y = } : ca 2 x = ( ) também são parábolas de vértice V =, 0, 2 a 2 e reta focal paralela ao eixo c O, com concavidade voltada para cima. {z =} z = {z =} z = Figura 21.30: {y = }: parábola de reta focal paralela ao eixo O Figura 21.31: {x = }: parábola de reta focal paralela ao eixo O uando a = b, dizemos que : x2 a + y2 2 b 2 de eixo O. = cz é um paraboloide circular Observação Paraboloide Hiperbólico Os paraboloides hiperbólicos na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as quádricas dadas, respectivamente, pelas equações: y 2 b z2 = ax, 2 c 2 x 2 a z2 2 c 2 = by, x 2 a y2 2 b 2 = cz, 19

20 Unidades 21 e 22 Paraboloide Hiperbólico onde a, b, c são números reais não nulos. Vamos estudar o paraboloide hiperbólico de eixo O: : x2 a y2 = 2 cz, com c < 0. b2 Esta quádrica é simétrica em relação ao plano e ao plano, mas não é simétrica em relação ao plano e à origem. A interseção de com o plano z =, R, paralelo ao plano, x 2 {z = } : a y2 2 b = c 2 z =, z = {z = } {z = } z =0 {z = 0} {z = 0} Figura 21.32: {z = }, > 0: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O Figura 21.33: {z = 0}: duas retas que se cortam na origem é uma hipérbole de reta focal paralela ao eixo O, { centro no ponto x = ± a (0, 0, ) e assíntotas b y se z =, > 0, pois, neste { caso, c < 0; y = ± b são duas retas a x que se z = 0, intersectam na origem, se = 0; z = {z = } {z = } é uma hipérbole de reta focal paralela ao eixo O, centro { C = (0, 0, ) y = ± b e assíntotas a x, se < 0, pois, neste caso, c > 0. z = As seções planas contidas em planos paralelos ao plano, ( ) ( ) x {y = } : 2 = a 2 cz + 2 = a 2 c z + 2 b 2 b 2 c, y = Figura 21.34: {z = }, < 0: hipérbole de reta focal paralela ao eixo O 20

21 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 ( são parábolas ) de reta focal paralela ao eixo O e vértice no ponto 0,, 2 cb 2, com concavidade voltada para baixo, para todo R, uma vez que a 2 c < 0. y = {y = } Figura 21.35: {y = }: parábola de reta focal paralela ao eixo O e concavidade voltada para baixo De modo análogo, para todo ( R, as seções ) planas ( ) y 2 = b 2 2 {x = } : a cz = b 2 c z 2 2 a 2 c, x = são ( parábolas ) de reta focal paralela ao eixo O e vértice no ponto V =, 0, 2 a 2, com concavidade voltada para cima, pois, neste caso, b 2 c > 0. c x= {x = } Figura 21.36: {x = }: parábola de reta focal paralela ao eixo O e concavidade voltada para cima 21

22 Unidades 21 e 22 Cilindro Parabólico Cilindro Parabólico Os cilindros parabólicos na forma canônica de eixo O, eixo O e eixo O são as superfícies dadas, respectivamente, pelas seguintes equações de segundo grau: y 2 b 2 = cz ou x 2 z 2 c 2 = by, = cz a 2 ou = ax, c 2 x 2 y = by 2 a 2 ou = ax, b 2 onde a, b, c são números reais não nulos. Estudaremos o cilindro parabólico de eixo O : : x2 = cz, com c > 0. a2 É fácil mostrar que é simétrico em relação ao plano e ao plano, mas não é simétrico em relação ao plano e à origem. z 2 Como estamos supondo c > 0, a interseção de com o plano y =, paralelo ao plano, é a parábola: { x 2 = ca 2 z {y = } :, y = de vértice V = (0,, 0) e reta focal paralela ao eixo O com concavidade voltada para cima, para todo R. A seção plana contida em um y = Figura 21.37: {y = }: parábola de reta focal paralela ao eixo O plano paralelo ao plano, { x 2 = ca 2 {z = } :, z = representa: { x = ± ca2 duas retas paralelas ao eixo O, se > 0; z = { x = 0 a reta, ou seja, o eixo O, se = 0; z = 0 o conjunto vazio, se < 0. {y = } 22

23 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 z = {z = } {z = } Figura 21.38: {z = }, > 0: duas retas paralelas ao eixo O Finalmente, a seção plana z = 2 {x = } : a 2 c x = é uma reta paralela ao eixo O. z =0 {z = 0} Figura 21.39: {z = 0} = eixo O : uma reta {x=} x= Figura 21.40: {x = } : uma reta paralela ao eixo O Dizemos que uma superfície S é regrada se, para todo ponto P pertencente a S, existe uma reta que passa por P inteiramente contida em S. É possível mostrar que o hiperboloide de uma folha, o cone elíptico, o cilindro elíptico, o cilindro hiperbólico, o paraboloide hiperbólico e o cilindro parabólico são as superfícies quádricas regradas. Para Saber Mais No próximo capítulo vamos provar que, após uma mudança do sistema de eixos ortogonais, podemos transformar qualquer equação de segundo grau em R 3 em uma equação de um dos tipos abaixo: 23

24 Unidades 21 e 22 Cilindro Parabólico Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R (uádrica Cêntrica), Ax 2 + By 2 = Sz (uádrica não Cêntrica). Podemos supor, sem perda de generalidade, que R 0 e S 0. Analisando o sinal dos coecientes A, B, C e R na equação Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R, obtemos que: (I) se R > 0 e os coecientes A, B, C são: todos positivos = é um elipsoide; todos negativos = é o conjunto vazio; dois positivos e um negativo = é um hiperboloide de uma folha; um positivo e dois negativos = é um hiperboloide de duas folhas; um zero e dois positivos = é um cilindro elíptico; um zero e dois negativos = é o conjunto vazio; um zero, um positivo e um negativo = é um cilindro hiperbólico; dois zero e um positivo = é a união de dois planos paralelos; dois zero e um negativo = é o conjunto vazio; (II) se R = 0 e os coecientes A, B, C são: todos de mesmo sinal = é um ponto; dois de mesmo sinal e o outro de sinal contrário = é um cone elíptico; um zero e os outros dois de mesmo sinal = é uma reta; um zero, um positivo e um negativo = é união de dois planos concorrentes; dois zeros e o outro diferente de zero = é um plano; Analisando agora os sinais dos coecientes A, B e S na equação: Ax 2 + By 2 = Sz, obtemos que: (I) se S > 0 e os coecientes A e B são: de mesmo sinal = é um paraboloide elíptico; de sinais opostos = é um paraboloide hiperbólico; um zero e o outro diferente de zero = é um cilindro parabólico. (II) se S = 0 e os coecientes A e B são: de mesmo sinal = é uma reta; de sinais opostos = é a união de dois planos concorrentes; um zero e o outro diferente de zero = é um plano. 24

25 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 Dizemos que o conjunto vazio, um ponto, uma reta, um plano, um par de planos paralelos ou um par de planos concorrentes são quádricas degeneradas Exemplos Classique, para cada λ R, a quádrica dada pela equação de segundo grau nas variáveis x, y e z: Solução. da equação: (λ 3 λ)x 2 + λ 2 y 2 + (λ + 1)z 2 = λ Na tabela abaixo, analisamos a variação do sinal dos coecientes < λ < 1 λ = 1 1 < λ < 0 λ = 0 0 < λ < 1 λ = 1 1 < λ < λ 3 λ λ λ λ Exemplo 1 Então, a equação representa: um hiperboloide de duas folhas de eixo O, se λ (, 1); dois planos paralelos, y = ± 2, se λ = 1; um elipsoide, se λ ( 1, 0); dois planos paralelos, z = ±1, se λ = 0; um hiperboloide de uma folha de eixo O, se λ (0, 1); o cilindro elíptico y 2 + 2z 2 = 2 de eixo O, se λ = 1; um elipsoide, se λ (1, + ). Se uma equação do segundo grau nas variáveis x, y, z possui apenas um termo misto (xy, xz ou yz), podemos reduzí-la a sua forma canônica fazendo uma rotação dos eixos coordenados (O e O, O e O, O e O, respectivamente) de modo análogo ao que faríamos para uma equação do segundo grau em duas variáveis (x e y, x e z, y e z, respectivamente). Veja o exemplo a seguir. Observação 6 25

26 Unidades 21 e 22 Exemplos Exemplo 2 Considere a quádrica : x 2 + 9y z 2 + 6xy 12 10x y = 0. (21.3) Reduza à sua forma canônica, classique-a e mostre que a interseção de com o plano π : x + 3y = ( ) 10 é uma parábola cujo vértice é o ponto 7 V = 4 10, , 0. Solução. Seja a função quadrática f(x, y) = x 2 + 6xy + 9y x y nas variáveis ( x e y. Como ) A = 1, B = 6 e C = 9, λ 1 3 p(λ) = det = (λ 1)(λ 9) 9 = λ 2 10λ 3 λ 9 é o seu polinômio característico, cujas raízes são λ 1 = 10 e λ 2 = 0, ou seja, λ 1 e λ 2 são os autovalores da função quadrática f. Os autovetores u = (x, y, 0) correspondentes ao autovalor λ 1 = 10 são as soluções do sistema (λ 1 1)x 3y = 0 9x 3y = 0 y = 3x. 3x + (λ 1 9)y = 0 3x + y = 0 Logo, ( ) 1 3 u 1 =,, 0 é um autovetor unitário relativo ao autovalor λ 1 = Então, ( u 2 = 3 ) 1,, 0 é um autovetor unitário correspondente ao autovalor λ 2 = 0. Seja O o sistema de eixos ortogonais tal que O, O e O têm a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores ( 1 u 1 = e u 2 =, ( 10 3, 10 u 3 = (0, 0, 1), ) 3, 0, , 0 ) O θ 1 3 Figura 21.41: Sistemas O e O respectivamente. Ou seja, ( o sistema O é obtido girando os eixos O e O de um ângulo θ 0, π ) tal que cos θ = 1/ 10 e sen θ = 3/ 10 ( 2 tan 2θ = B ) A C = 2, e mantendo o eixo O xo, ou seja, eixo 3 O = eixo O. 26

27 π Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 Se (x, y, z) e (x, y, z) são as coordenadas de um ponto nos sistemas O e O, respectivamente, então x = 1 (x 3y) 10 y = 1 (3x + y) 10 z = z. (21.4) Logo, nas coordenadas ( x e y, a função quadrática f ) assume a forma 1 f(x, y) = 10x (x 3y), (3x + y), ( 12 10, 4 10) f(x, y) = 10x y, e, portanto, nas coordenadas x, y e z, a equação da quádrica é dada por: : 10x z y = 0 : x 2 + z 2 = 4y. Assim, é um paraboloide circular de eixo O, ou seja, o eixo é a reta que passa pela origem e é paralela ao vetor ( u 2 = 3 ) 1,, Por 21.4, o plano π : x + 3y = 10 nas coordenadas x, y e z é 1 π : (x 3y) + 3 (3x + y) = 10 π : x = Portanto, { ( {x = 1} : z 2 = 4y 1 = 4 y + 1 ) 4 x = 1 π V Figura 21.42: : x 2 + z 2 = 4y é uma parábola ( de vértice V = (1, 1/4, 0) que, nas coordenadas x, y e z, é o 1 ( ponto V = ) ( 1, 3 1 ) ) ( ) 7, 0 = , , 0. 27

28 Unidades 21 e 22 Exemplos Exemplo 3 Considere as quádricas e os planos π dados abaixo. Determine a seção plana π. Caso seja uma cônica, determine seus principais elementos. (a) : x2 4 y2 + z2 16 = 1 e π : y = 3. Solução. A quádrica é um hiperboloide de uma folha de eixo O e a seção plana x 2 π : 4 + z2 16 = y = 3 x 2 π : 16 + z2 64 = 1 y = 3 π π 3 Figura 21.43: π é uma elipse é uma elipse de centro C = (0, 3, 0), contida no plano y = 3, reta focal l = { (0, 3, t) ; t R } paralela ao eixo O, reta não focal l = { (t, 3, 0) ; t R } paralela ao eixo O, vértices A 1 = (0, 3, 8) e A 2 = (0, 3, 8) sobre a reta focal, vértices B 1 = ( 4, 3, 0) e B 2 = (4, 3, 0) sobre a reta não focal e focos F 1 = (0, 3, 2 12) e F 2 = (0, 3, 2 12), pois c = = 48 = (b) : x2 4 + y2 = 4z e π : y = 2. Solução. A quádrica é um paraboloide hiperbólico de eixo O e a seção plana 28

29 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 x2 π : = 4z y = 2 x 2 = 16 4(z 1) π : y = 2 π π 2 Figura 21.44: π é uma parábola é uma parábola de vértice V = (0, 2, 1), contida no plano y = 2, reta focal l = { (0, 2, t) ; t R } paralela ao eixo O, 4p = 16 4 p = 16, foco F = (0, 2, 1 16) = (0, 2, 15) e diretriz L = { (t, 2, ) ; t R } paralela ao eixo O. (c) : x 2 y2 4 z2 = 1 e π : y = 2. Solução. A quádrica é um hiperboloide de duas folhas de eixo O e a seção plana x 2 z 2 = π : 4 y = 2 x 2 z 2 = 2 π : y = 2 é uma hipérbole equilátera contida no plano y = 2, de centro C = (0, 2, 0), reta focal l = { (t, 2, 0) ; t R } paralela ao eixo O, reta não focal l = { (0, 2, t) ; t R } paralela ao eixo O, vértices A 1 = ( 2, 2, 0) e A 2 = ( 2, 2, 0), vértices imaginários B 1 = (0, 2, 2) e B 2 = (0, 2, 2), focos F 1 = ( 2, 2, 0) e F 2 = (2, 2, 0) e assíntotas r + = { (t, 2, t) ; t R } e 29

30 Unidades 21 e 22 Exemplos r = { (t, 2, t) ; t R }, pois r + : { { z = x z = x y = 2 e r : y = 2. π 1 π 2 π Figura 21.45: π é uma hipérbole (d) : x2 2 z2 16 = 1 e π : z = 4. Solução. A quádrica é um cilindro hiperbólico de eixo O e a seção plana x 2 π : 2 = x 2 = 4 x = ±2 16 π : π : z = 4 z = 4 z = 4 é o par de retas paralelas ao eixo O : r + = { (2, t, 4) ; t R } e r = {( 2, t, 4) ; t R }. Exemplo 4 Encontre e classique as quádricas cêntricas na forma canônica { que contêm 4y 2 + 2z 2 = 3 o ponto P 0 = (1, 1, 1) e que possuem a seção plana γ :. x = 2 Existe, com as propriedades acima, uma quádrica não cêntrica na forma canônica? Solução. Seja : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R uma quádrica cêntrica na forma canônica tal que P 0 e γ. Então, como { By 2 + Cz 2 = R 4A γ :, x = 2 existe λ 0 tal que B = 4λ, C = 2λ e R 4A = 3λ. Ou seja, : Ax 2 + 4λy 2 + 2λz 2 = R : A x 2 + 4y 2 + 2z 2 = R, 30

31 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 onde A = A/λ, R = R/λ e R 4A = 3. Além disso, como P 0 = (1, 1, 1), temos que A = R R = A + 6. Logo, A + 6 4A = 3 = A = 1 e R = 7. Assim, a quádrica : x 2 + 4y 2 + 2z 2 = 7 é um elipsoide na forma canônica, com a = 7, b = e c = 2. Suponhamos que existe uma quádrica não cêntrica na forma canônica tal que P 0 e γ. Então, é da seguinte forma: : By 2 + Cz 2 = Ax, pois a seção plana {x = 2} deve ser uma elipse. Como { By 2 + Cz 2 = 2A γ : x = 2, existe λ 0 tal que B = 4λ, C = 2λ e 2A = 3λ. Ou seja, : 4λy 2 + 2λz 2 = 3λ 2 x : 4y 2 + 2z 2 = 3 2 x. Mas, como o ponto P 0 = (1, 1, 1) não pertence a, pois 4+2 3, não existe 2 uma quádrica não cêntrica na forma canônica com as propriedades acima. Considere o hiperboloide de uma folha de eixo O : S : 4x 2 y2 4 + z2 = 4. Determine as retas contidas em S que passam pelo ponto P = (1, 2, 1) S. Solução. Seja r = {(at+1, bt+2, ct+1) ; t R} uma reta paralela ao vetor v = (a, b, c) (0, 0, 0) que passa pelo ponto P = (1, 2, 1). Então, r S se, Exemplo 5 e só se, 4(at + 1) 2 (bt + 2)2 + (ct + 1) 2 = 4 4 (4a 2 b24 ) + c2 t 2 + (8a b + 2c)t = 0 t [(4a 2 b24 ) ] + c2 t + 8a b + 2c = 0, para todo t R. Logo, 4a 2 b2 + 4 c2 = 0 e 8a b + 2c = 0 4a 2 1(8a + 4 2c)2 + c 2 = 0 e b = 8a + 2c ac = a 2 e b = 8a + 2c 31

32 Unidades 21 e 22 Exemplos Ou seja, r S se, e só se, a 0, c = a e b = 6a, ou a = 0 e b = 2c. Na primeira possibilidade, v (1, 6, 1) e, na segunda, v (0, 2, 1). Assim, r = {(t + 1, 6t + 2, t + 1) ; t R} e l = {(1, 2t + 2, t + 1) ; t R} são as retas contidas em S que passam pelo ponto P. Exemplo 6 Determine e classique as quádricas na forma canônica que possuem como seções planas as curvas: 2x 2 + 3y 2 = 5 4z 2 3y 2 = 1 γ : e β :. z = 1 x = 1 Solução. Como a seção plana γ = {z = 1} é uma elipse e a seção plana β = {x = 1} é uma hipérbole, a quádrica tem que ser cêntrica. Seja : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R uma quádrica cêntrica na forma canônica tal que γ e β. Então, como Ax 2 + By 2 = R C By 2 + Cz 2 = R A γ : e β :, z = 1 x = 1 existem λ 0 e µ 0 tais que A = 2λ, B = 3λ, R C = 5λ, B = 3µ, C = 4µ e R A = µ. Logo, sendo 3λ = 3µ, podemos supor, sem perda de generalidade, que µ = 1 e λ = 1. Assim, A = 2, B = 3, C = 4, R = C + 5λ = = 1 = 2 1 = A + µ, ou seja, : 2x 2 + 3y 2 4z 2 = 1 é um hiperboloide de uma folha de eixo O. Exemplo 7 Classique, para cada λ R, a quádrica dada pela equação de segundo grau: : (λ 3 + λ 2 )x 2 + (λ 2 1)y 2 + (λ + 2)z 2 = λ. Solução. Na tabela abaixo analisamos a variação do sinal dos coecientes da equação: 32

33 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 λ< 2 λ= 2 2<λ< 1 λ= 1 1<λ<0 λ=0 0<λ<1 λ=1 λ>1 λ 3 +λ λ λ λ Portanto, a equação representa: um hiperboloide de uma folha de eixo O, se λ (, 2); o cilindro hiperbólico 4x 2 + 3y 2 = 2 de eixo O, se λ = 2; um hiperboloide de duas folhas de eixo O, se λ ( 2, 1); o conjunto vazio (z 2 = 1), se λ = 1; um hiperboloide de duas folhas de eixo O, se λ ( 1, 0); dois planos paralelos, y = ± 2 z, se λ = 0; um hiperboloide de uma folha de eixo O, se λ (0, 1); o cilindro elíptico 2x 2 + 3z 2 = 1 de eixo O, se λ = 1; um elipsoide, se λ (1, + ). Obtenha e classique as quádricas na forma canônica que possuem como seções planas as curvas: ( x 2 = 2 y + 1 ) x 2 = 2(y + 1) γ : 4 e β :. z = 1 z = 2 Solução. Como as seções planas são parábolas de reta focal paralela ao eixo O, a quádrica tem que ser não cêntrica de eixo O : Sendo γ : { Ax 2 = Sy C z = 1 Ax 2 + Cz 2 = Sy. e β : { Ax 2 = Sy 4C, z = 2 existem λ 0 e µ 0 tais que A = λ, S = 2λ, C = λ, A = µ, S = 2µ 2 e 4C = 2µ. Assim, λ = µ 0 e, sem perda de generalidade, podemos supor λ = µ = 1. Logo, como A = 1, C = 1 e S = 2, a quádrica é o paraboloide 2 hiperbólico de eixo O : x 2 z2 2 = 2y. Exemplo 8 33

34 Unidades 21 e 22 Exemplos Exemplo 9 Mostre que a interseção do plano π : 4x 5y 10z = 20 com o hiperboloide de uma folha S : x y2 16 z2 4 = 1 consiste de duas retas, e determine as equações paramétricas destas retas. Solução. Temos que: x y2 16 z2 4 = 1 16x2 4 25z 2 = y 2 (4x 10z)(4x + 10z) = 25(4 y)(4 + y). Logo, (x, y, z) S π se, e só se, (x, y, z) satisfaz ao sistema: { 4x 5y 10z = 20 (4x 10z)(4x + 10z) = 25(4 y)(4 + y) { 4x 10z = y (20 + 5y)(4x + 10z) = 25(4 y)(4 + y) { 4x 10z = y (4 + y)(4x + 10z) = 5(4 y)(4 + y) (21.5) Portanto, se y 4, temos que 4x + 10z = 20 5y, ou seja, (x, y, z) pertence também ao plano π : 4x + 5y + 10z = 20. Assim, se y 4, vemos que (x, y, z) S π se, e só se, (x, y, z) pertence à reta l 4x 5y 10z = 20 l : 4x + 5y + 10z = 20, π que é paralela ao vetor = (0, 80, 40) (0, 2, 1) e passa pelo ponto (5, 0, 0). Então, l = {(5, 2t, t) t R } S π. l l 4 5 Figura 21.46: Hiperboloide S, plano π e retas l e l. Consideremos agora um ponto P = (x, 4, z), com x, z R. S Como P satisfaz a segunda equação do sistema 21.5 para todos x, z R, P π S se, e só se, P π. Ou seja, P = (x, 4, y) π S se, e só se, 4x 10z = ( 4)=0 x = 5 z. Logo, π {y = 4} é a reta 2 34

35 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 l = {(5t, 4, 2t) ; t R}. Provamos, assim, que S π = l l consiste de duas retas. Determine e classique as quádricas na forma canônica que possuem a curva γ como seção plana e passam pelo ponto P 0 = (1, 3, 1), onde { x 2 + 5z 2 = 2 γ :. y = 1 Ache as curvas de interseção das quádricas obtidas e faça um esboço das superfícies, indicando as curvas de interseção. Solução. Seja : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R uma quádrica cêntrica tal que { γ e P 0. Então, como Ax 2 + Cz 2 = R B γ :, y = 1 existe λ 0 tal que A = λ, C = 5λ e R B = 2λ, ou seja, : λx 2 + By 2 + 5λz 2 = B + 2λ. Além disso, como P 0 = (1, 3, 1), obtemos: Logo, λ + 9B + 5λ = B + 2λ 8B = 4λ B = λ 2. : λx 2 λ 2 y2 + 5λz 2 = λ 2 + 2λ = 3λ 2 : x2 y z2 = é um hiperboloide de uma folha de eixo O, com a =, b = 3 3, c = Seja agora : Ax 2 + Cz 2 = Sy uma quádrica não cêntrica de eixo O (por quê?) tal que γ e P 0. Então, sendo { Ax 2 + Cz 2 = S γ :, y = 1 existe λ 0 tal que A = λ, C = 5λ, S = 2λ. Logo, : λx 2 + 5λz 2 = 2λy : x 2 + 5z 2 = 2y, é um paraboloide elíptico de eixo O. Além disso, como P 0 = (1, 3, 1), pois = 6 = 2 3, é uma quádrica tal que γ e P 0. Um ponto (x, y, z) pertence a se, e só se, x 2 + 5z 2 = y2 x 2 + 5z 2 = 2y x 2 + 5z 2 = 2y 2 x 2 + 5z 2 = 2y y = 2y y 2 4y + 3 = 0. Exemplo 10 35

36 Unidades 21 e 22 Exemplos Como as raízes da equação y 2 4y + 3 = 0 são y = 1 e y = 3, obtemos que = γ β, onde γ e β são as elipses: { { x 2 + 5z 2 = 2 x 2 + 5z 2 = 6 γ : e β : y = 1 y = 3 Veja, na gura abaixo, o esboço de e, com as curvas γ e β. γ 1 β 3 Figura 21.47: Superfícies e e as elipses γ e β Exemplo 11 Encontre as quádricas na forma canônica de modo que todas as seções planas x =, R, sejam hipérboles equiláteras com reta focal paralela ao eixo O e que possuam o círculo x 2 + z 2 = 1 y = 2 como seção plana. Solução. Como todas as seções planas, contidas em planos paralelos ao plano, são hipérboles com retas focais paralelas a um mesmo eixo (no caso, o eixo O ), a quádrica só pode ser um hiperboloide de duas folhas de eixo O ou um cilindro hiperbólico de eixo O. Por outro lado, como o círculo x 2 + z 2 = 1 γ : y = 2 é também uma seção plana da superfície, ela só pode ser um hiperboloide de duas folhas de eixo O : Sendo : y2 b 2 x2 a 2 z2 c 2 = 1. 36

37 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 x 2 γ : a + z2 2 c = 2 2 b 1 2 y =, 2 ( 2 ) obtemos que a 2 = c 2 e a 2 b 1 = 2 1. Além disso, como as seções planas, y 2 {x = } : b z2 2 c = a 2, x = são hipérboles equiláteras, ( vemos que b 2 = c 2. Logo, a 2 = b 2 = c 2 e 2 ) a 2 a 1 = 1 2 a 2 = 1 a 2 = 1 2. Então, : y 2 x 2 z 2 = 1 é o hiperboloide de duas folhas na forma canônica de eixo O, com a = b = c = 1. Seja H a hipérbole, no plano z = 1, de centro no ponto C = (0, 0, 1) e reta focal paralela ao eixo O, sendo F = ( 0, 5, 1 ) um dos seus focos e a reta r : {(x, y, z) R 3 ; 2y x = 0 e z = 1} uma de suas assíntotas. Determine as quádricas na forma canônica tais que H e (0, 0, 0). Ache também as curvas de interseção e faça um esboço das quádricas obtidas, indicando as curvas de interseção. Solução. Temos c = d(c, F ) = 5 e b = 2, pois r : x = 2y é uma assíntota a de H, que possui reta focal paralela ao eixo O. Como 5 = c 2 = a 2 + b 2 = a 2 + 4a 2, vemos que a = 1 e b = 2. Assim, a hipérbole é dada por: y 2 x2 H : 4 = 1. z = 1 Seja : Ax 2 + By 2 + Cz 2 = R Exemplo 12 uma quádrica cêntrica na forma canônica tal que H e (0, 0, 0). Então, R = 0 e Ax 2 + By 2 = C H = {z = 1} : z = 1 Portanto, existe λ 0 tal que A = λ, B = λ e C = λ, ou seja, 4 : λ 4 x2 + λy 2 λz 2 = 0. Supondo, sem perda de generalidade, que λ = 1, obtemos:. 37

38 Unidades 21 e 22 Exemplos : 1 4 x2 + y 2 z 2 = 0 : 1 4 x2 + z 2 = y 2, que é um cone elíptico de eixo O. Seja agora : Ax 2 + By 2 = Sz uma quádrica não cêntrica na forma canônica de eixo O. Logo, (0, 0, 0) e Ax 2 + By 2 = S H : {z = 1} :. z = 1 Existe, assim, λ 0 tal que A = λ 4, B = λ e S = λ. λ = 1, obtemos que Supondo : x2 4 + y2 = z é um paraboloide elíptico de eixo O. Então, um ponto (x, y, z) pertence a se, e só se, x2 4 + y2 = z 2 x2 4 + y2 = z x2 4 + y2 = z 2 z 2 = z x2 4 +y2 =z 2 x2 ou 4 +y2 =z 2 z =0 z =1. Ou seja, = γ β, x2 γ : 4 + y2 = 1 z = 1 H β β H Figura 21.48: Interseção = H β x = ±2y e β : z = 0, onde γ é a hipérbole H e β é a união de duas retas que se intersectam na origem. O esboço de,, H e β são mostrados na gura

39 Superfícies uádricas Unidades 21 e Exercícios 1. Considere a quádrica e o ponto A. Classique a quádrica e encontre as equações paramétricas de todas as retas, caso existam, contidas em que passam pelo ponto A, onde: (a) : x 2 + y2 4 + z2 9 (b) : y 2 z2 25 = 1 e A = (1, 2, 3). = 2x e A = (4, 3, 5). (c) : x2 4 + y2 + z2 = 3 e A = (2, 1, 3). 9 (d) : y 2 4z 2 = 1 e A = (4, 3, 2). (e) : x 2 y 2 z2 4 = 1 e A = ( 3, 1, 2). (f) : x2 4 + z2 = 2y 2 e A = (2, 1, 1). 2. Seja a família de quádricas λ : (λ 2 4)x 2 + (9 λ 2 )y 2 + 2(λ 2 λ)z 2 = λ, λ R. Classique, em função de λ R, a quádrica λ. Para que valores de λ R, a quádrica é degenerada? 3. Identique e determine os principais elementos da seção plana π, no caso em que π é uma cônica, onde é a quádrica e π é o plano, dados abaixo: (a) : x2 4 y2 9 + z2 = 1 e π : z = 2. (b) : x y2 = z e π : y = 2. (c) : y 2 x2 4 + z2 25 = 0 e π : y = 5. (d) : x2 4 y2 4 z2 2 = 0 e π : z = 0. Classique também a quádrica e faça um esboço de, indicando a seção plana π. x 2 + y2 4. Considere o ponto P = (1, 4, 1) e a curva γ : 4 = 1 z = 2. Determine e classique a quádrica cêntrica, na forma canônica, que contém a curva 39

40 Unidades 21 e 22 Exercícios γ e passa pelo ponto P. Existe uma quádrica não cêntrica, na forma canônica, tal que γ e P? Justique sua resposta. 5. Sejam os pontos P 1 = (2, y 2 + x 2 = 1 2, 0), P 2 = (2, 2, 0) e a curva γ : z = 5 Obtenha e identique as quádricas cêntricas 1 e 2, na forma canônica, de modo que γ 1 2, P 1 1 e P 2 2. Encontre as curvas de interseção e faça um esboço de 1 e 2, indicando as curvas onde elas se intersectam.. 6. Mostre que existe uma única quádrica 1, na forma canônica, que passa pelo ponto P 1 = (0, 0, 1) e contém a curva γ, e que existe uma única quádrica 2, na forma canônica, que passa pelo ponto P 2 = ( 2, 2, 2) e contém a curva β, onde x 2 + y 2 = 4 γ : z = x 2 + y 2 = 3 e β : 3 z =. 3 Classique as quádricas 1 e 2, encontre as curvas de interseção e faça um esboço das quádricas, indicando as curvas onde elas se intersectam, a curva γ e a curva β. 7. Seja a elipse E contida no plano y = 3 de centro C = (0, 3, 0), foco F = (0, 3, 3) e excentricidade e = 3/5. Obtenha os outros elementos da elipse e mostre que existe uma única quádrica, na forma canônica, que contém a elipse E e o ponto P = (0, 2, 0). Identique a quádrica e descreva a região R do espaço limitada por e pelo plano y = 3, que contém o ponto P = (0, 5/2, 0), da seguinte forma z 1 (x, y) z z 2 (x, y) R : y 1 (x) y y 2 (x) a x b. x 2 + y 2 = Considere a curva γ : z = 2 (a) Determine as quádricas na forma canônica que contêm a curva γ e passam pela origem, e classique-as.. 40

41 Superfícies uádricas Unidades 21 e 22 (b) Seja R a região do espaço limitada pela quádrica cêntrica, encontrada no item (a), pela superfície S : x 2 + y 2 = 16 e pelos planos π 1 : z = 2 e π 2 : z = 3. Faça um esboço de R e descreva-a como uma união de regiões da forma: R : z 1 (x, y) z z 2 (x, y) y 1 (x) y y 2 (x) a x b. 9. Obtenha a equação da superfície que descreve o lugar geométrico abaixo, classique-a e faça um esboço. (a) lugar geométrico dos pontos do espaço cuja soma dos quadrados de suas distâncias aos eixos O e O é sempre igual a quatro. (b) lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao plano y = 0 é diretamente proporcional à sua distância ao eixo O. (c) lugar geométrico dos pontos do espaço cuja soma das distâncias aos pontos (0, 0, c) e (0, 0, c) é constante e igual a 2a, onde a > c > 0. (d) lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto (0, 1, 0) e da esfera x 2 + (y + 1) 2 + z 2 = Reduza a quádrica à sua forma canônica, classique-a e mostre que a interseção de com o plano π : y z = 2 é uma elipse cuja reta focal é r = {(t, 1/ 2, 1/ ( 2) ; t R} e cujos vértices sobre a reta não focal são 2 1 os pontos B 1 = 0,, ( ) ( 2 + 1) e B 2 = 0, 1 + 2, 1 ) 2, onde : 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 4yz 2y + 2z = 0. 41