Resumo com exercícios resolvidos dos assuntos:

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1 (0)- Considerações iniciais: Resumo com exercícios resolvidos dos assuntos: Máximos e mínimos absolutos e Multiplicador de Lagrange -Grande parte das funções não possui máximos e/ou mínimos absolutos quando consideramos todo o seu domínio. Tendo como exemplo o paraboloide elíptico abaixo: f x, y = x 2 + 2y 2 x Podemos perceber que, se considerássemos todo o plano XY, essa função não teria um ponto de máximo absoluto, pois conforme (x, y) (+, + ) a função também explode!! Logo, só podemos determinar o máximo absoluto se restringirmos o domínio dessa função. (1)- Teorema de existência (Teorema de Weierstrass): O teorema de Weierstrass afirma que: Se a função (F) for contínua e seu domínio (D) for limitado e fechado, Então F possui máximo e mínimo absoluto em D (2)- Calculando máximos e mínimos absolutos: Para calcularmos os valores máximos e mínimos absolutos, facilita dividir o problema:

2 Candidatos à (I) No interior de D Max abs ou Min abs (II) Na beirada de D Avaliando a primeira parte (I), podemos achar candidatos da mesma forma que utilizamos para calcular máximos e mínimos locais, ou seja, encontrar os pontos críticos ( f = 0). Dessa forma, poderemos encontrar os pontos candidatos a maximos e mínimos absolutos no interior de D. Avaliando a segunda parte (II), podemos proseguir de duas formas: uma muito trabalhosa e uma bem mais tranquila. A trabalhosa é tentar reduzir a equação para uma equação de uma variável e resolver usando Calculo 1. A tranquila é utilizar um novo método chamado Método dos Multiplicadores de Lagrange. Apenas dessa vez, mostraremos o método trabalhoso. Em seguida, explicaremos como resolver usando Lagrange. Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de f x, y = x 2 + 2y 2 x em D: x 2 + y 2 1 Olhando os pontos dentro de D, f = 0 f, f = (0,0), logo: a) f f = 0 2x 1 = 0 e b) = 0 4y = 0 Por fim, resolvendo o sistema gerado por a e b : y = 0 e x = 1 2 x, y = 1 2, 0 Olhando para a periferia de D, partimos da equação de D: Substituindo y 2 na equação de f(x, y), temos: 1 x 2 + y 2 = 1 y 2 = 1 x 2

3 f x = x x 2 x f x = x 2 x + 2, com x ε[ 1,1] Para encontrar os candidatos de máximo, df dx = 0 2x 1 = 0 x = 1/2, usando esse resultado em (1): y 2 = y = ± 3 2 Também podemos concluir que: Substituindo x 2 na equação de f(x, y), temos: 2 x 2 + y 2 = 1 x 2 = 1 y 2 f y = 1 y 2 + 2y 2 ± 1 y f y = y 2 ± 1 y , com y ε [ 1,1] Para encontrar os candidatos de máximo, df = 0 y 2 ± = 0 y = 0 ou y = ±( ), para y = ±( ), já fizemos, dy 1 y substituindo y = 0 em (2): x 2 = 1 x = ±1 Por fim, obtemos 5 candidatos para máximos e mínimos absolutos: a) 1 2, + 3 2, b) 1 2, 3 2, c) +1,0, d) 1,0, e) (1 2, 0) Para descobrirmos qual é o máximo absoluto, basta substituir os pontos em f(x, y) e ver qual é o maior e o menor: f a = f b = 9 4, f c = 0, f d = 2, f e = 1 4 Analisando os resultados, podemos conluir que:

4 9 é o máximo absoluto e 1 é o mínimo absoluto de f x, y em D 4 4 (2)- Método dos Multiplicadores de Lagrange: No último exemplo, resolver pelo método trabalhoso não foi tão complicado, mas nem sempre as funções serão tão amigáveis a esse ponto. Por isso precisamos de um método mais eficaz. Para a utilização do método, precisamos estabelecer uma condição entre a direção de maior crescimento de f ( f) e a superfície que delimita o domínio S. Essa relação é dada por: (2.1) f S Essa condição é verdadeira para pontos candidatos a máximo e mínimo absoluto, pois, ao nos deslocarmos na direção de maior crescimento de f não observamos mudança na posição do ponto em S. Da condição (2.1), podemos concluir que: f é colinear a n (vetor normal à S), ou seja é um múltiplo de n Finalmente, denotando f x, y, z,, restringida por S: g x, y, = k (2.2) f = λ g Atente que essa fórmula SÓ PODE SER UTILIZADA PARA AS BORDAS DA SUPERFÍCIE QUE DELIMITA O DOMINIO DE f, uma vez que g x, y, = k é uma superfície de tipo FRONTEIRA. Vamos utilizar esse novo método para resolver o problema anterior: Exercicio: Ache os máximos e mínimos locais de f x, y = x 2 + 2y 2 x em D: g x, y 1, g x, y = x 2 + y 2 Para o interior de g(x, y), como já fizemos, f = 0, logo x, y = ( 1 2, 0) Para a fronteira de g(x, y), f = λ g f, f sistema: = λ g g, λ, com isso chegamos ao

5 2x 1 = λ 2x, um sistema gerado por (2.2) possui n equações(x,y,z,... ) e (n+1) incognitas 4y = λ 2y (x,y,z,..., λ). Logo, para acharmos um conjunto discreto de soluções, precisamos de mais uma equação. Se prestar atenção, nós já possuimos essa equação extra: g x, y, z, = k. Levando isso em conta: 2x 1 = λ 2x 4y = λ 2y, utilizando a segunda equação do sistema, encontramos que: λ = 2 ou y = 0. x 2 + y 2 = 1 Usando λ = 2, na primeira equação, chegamos que: x = 1 2, usando x na terceira equação, obtemos: y = ± 3 2 Usando y = 0 na terceira equação, obtemos : x = ±1. Por fim, a) 1 2, + 3 2, b) 1 2, 3 2, c) +1,0, d) 1,0, e) (1 2, 0) f a = f b = 9 4, f c = 0, f d = 2, f e = 1 4 (3)- Outras aplicações do Método dos Multiplicadores de Lagrange: Existe uma gama de exercícios que podem ser resolvidos usando o método. O que será cobrado em Calculo 2 será a maximização de funções de mais de uma variável. Exemplo: Encontre as dimensões máximas e o volume máximo de um paralelepípedo inscrito no elipsoide: g x, y, z : x 2 + y 2 + z2 = Para resolver esse problema é necessário escrever a fórmula do volume do paralelepípedo que, assim como o elipsoide, deve ser centrado na origem. Observe a imagem:

6 Temos V = f x, y, z = 2x2y2z = 8xyz, restrita por g x, y, z : x y 2 Logo, utilizamos Lagrange: f = λ g com: 4 + z2 1 = 1 f = 8yz, 8xz, 8xy e g = ( 2 x, 1 y, 2z), chegando ao sistema: 9 2 8yz = λ 2 9 x 8xz = λ 1 2 y 8xy = λ2z 4yz = λ 1 9 x 16xz = λ y 4xy = λ z Para resolver esse sistema, usaremos o método de eliminação de fatores λ, observe: - Dividindo a segunda equação pela terceira: 16xz 4xy = λy λz 4z2 = y 2 z = y 2 Lembre-se que x, y e z são grandezas unicamente positivas, uma vez que são lados do paralelepípedo. Por isso, ao tirar raiz quadrada dos dois lados, os termos ficam positivos! - Dividindo a primeira equação pela segunda: 4yz 16xz = λ x 9 λy y2 = 4 9 x2 y = 2 3 x Juntando as equações geradas, obtemos as relações entre x, y e z no volume máximo. São elas: V max = 2x 2y 2z = 2x 4 3 x 2 3 x

7 Resta agora descobrir o valor de x. Podemos utilizar então as relações entre x, y e z na equação de g x, y, z = 1 obtendo: Finalmente: x x2 9 + x2 9 = 1 3x2 = 9 x = 3 V max = V max = Bons Estudos!! Dúvidas? Acesse o Solucionador na página ou mande para [email protected].