Derivadas Parciais - parte 2. x + 2 z. y = 1

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1 Quarta Lista de Exercícios Cálculo II - Engenharia de Produção ( extraída do livro C ÁLCULO - vol, James Stewart ) Derivadas Parciais - parte 1) Verifique que a função u = 1/ x + y + z é uma solução da equação de Laplace tridimensional u xx + u yy + u zz = 0. ) Verifique que a função z = ln(e x + e y ) é uma solução das equações diferenciais e 3) Determine a diferencial da função. z x + z y = 1 ( ) z x + z y z = 0 x y a) z = x 3 ln(y ) b) m = p 5 q 3 c) R = αβ cos λ 4) Se z = 5x + y e (x, y) varia de (1, ) a (1, 05,, 1), compare os valores de z e dz. 5) O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 4 cm, respectivamente, com um erro de medida de no máximo 0, 1 cm. Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do retângulo. 6) Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 1 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0, 04 cm. 7) Uma faixa interna de 8 cm de largura é pintada na borda de um retângulo de dimensões 30 m por 60 m. Utilize os diferenciais para aproximar a área, em metros quadrados, da faixa pintada. 8) (Regra da cadeia) A temperatura em um ponto (x, y) é T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de modo que sua posição depois de t segundos seja dada por x = 1 + t, y = + 1 t, onde x e y são medidas em centímetros. A função temperatura 3 satisfaz T x (, 3) = 4 e T y (x, y) = 3. Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos? 9) Se z = f(x, y), onde x = r + s, y = rs, determine z/ r s. 10) Se z = f(x, y) possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas e x = r cos θ, y = r sin θ, mostre que z x + z y = z r + 1 z r θ + 1 z r r. 1

2 11) Determine a derivada direcional de f(x, y) = ye x no ponto (0, 4) e na direção do ângulo θ = π/3. 1) Para cada função f dada abaixo, determine o gradiente de f, calcule o gradiente no ponto P e determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u. a) f(x, y) = 5xy 4x 3 y, P (1, ), u =< 5/13, 1/13 > b) f(x, y, z) = xe yz, P (3, 0, ), u =< /3, /3, 1/3 > 13) Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. a) f(x, y) = 1 + x y, (, 3), v =< 4, 3 > b) g(p, q) = p 4 p q 3, (, 1), v = i + 3j c) f(x, y, z) = xe y + ye z + ze x, (0, 0, 0), v =< 5, 1, > d) g(x, y, z) = (x + y + 3z) 3/, (1, 1, ), v = j k 14) Determine a derivada direcional de f(x, y) = xy em P (, 8) na direção de Q(5, 4). 15) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre. a) f(x, y) = y /x, (, 4) b) f(x, y) = sin(xy), (1, 0) c) f(x, y, z) = x + y + z, (3, 6, ) 16) Determine todos os pontos nos quais a direção de maior variação da função f(x, y) = x + y x 4y é i + j. 17) Suponha que em certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V (x, y, z) = 5x 3xy + xyz. a) Determine a taxa de variação do potencial em P (3, 4, 5) na direção do vetor v = i+j k. b) Em que direção V varia mais rapidamente em P? c) Qual a taxa máxima de variação em P? 18) Determine equações do plano tangente e da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado. a) (x ) + (y 1) + (z 3) = 10, (3, 3, 5) b) x y + z + yz =, (, 1, 1) c) z + 1 = xe y cos z, (1, 0, 0) 19) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva formada pela interseção do paraboloide z = x + y com o elipsoide 4x + y + z = 9 no ponto ( 1, 1, ). 0) Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função.

3 a) f(x, y) = 9 x + 4y x 4y b) f(x, y) = x + y + x y + 4 c) f(x, y) = xy x y d) f(x, y) = x 3 1xy + 8y 3 e) f(x, y) = e x cos y f) f(x, y) = (x + y )e y x g) f(x, y) = y y cos x, 1 x 7 1) Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D. a) f(x, y) = 1 + 4x 5y, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (, 0) e (0, 3) b) f(x, y) = x + y + x y + 4, D = {(x, y) x 1, y 1} c) f(x, y) = x 4 + y 4 4xy +, D = {(x, y) 0 x 3, 0 y } d) f(x, y) = x 3 + y 4, D = {(x, y) x + y 1} ) Determine a menor distância entre o ponto (, 1, 1) e o plano x + y z = 1. 3) Determine os pontos do cone z = x + y que estão mais próximos do ponto (4,, 0). 4) Determine três números positivos cuja soma é 100 e cujo produto é máximo. 5) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita às restrições dadas. a) f(x, y) = x + y, xy = 1 b) f(x, y) = x y, x + y = 6 c) f(x, y, z) = x + 6y + 10z, x + y + z = 35 d) f(x, y, z) = xyz, x + y + 3z = 6 e) f(x, y, z) = x + y + z, x 4 + y 4 + z 4 = 1 f) f(x, y, z, t) = x + y + z + t, x + y + z + t = 1 g) f(x, y, z) = x + y, x + y + z = 1, y + z = 4 h) f(x, y, z) = yz + xy, xy = 1, y + z = 1 6) Determine os valores extremos de f(x, y) = e xy na região descrita pela desigualdade x + 4y 1. 7) O plano x+y +z = intercepta o parabolóide z = x +y em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem. 3

4 RESPOSTAS 3) a) dz = 3x ln(y )dx + (x 3 /y)dy b) dm = 5p 4 q 3 dp + 3p 5 q dq c) dr = β cos γdα + αβ cos γdβ αβ sin γdγ 4) z = 0, 95, dz = 0, 9 5) 5, 4 cm 6) 16 cm 3 7) 7, m 8) o C/s 9) 4rs z / x + (4r + 4s ) z/ x y + 4rs z/ y + z/ y 11) + 3/ 1) a) f(x, y) =< 5y 1x y, 10xy 4x 3 >, < 4, 16 >, 17/13 b) f(x, y, z) =< e yz, xze yz, xye yz, < 1, 1, 0 >, 3 13) a) 3/10 b) 8/ 10 c) 4/ 30 d)9/( 5) 14) /5 15) a) 4/, < 1, 1 > b) 1, < 0, 1 > c) 1, < 3, 6, > 16) Todos os pontos na reta y = x ) 3/ 3, < 38, 6, 1 >, ) a) x + y + z = 11 x 3 = y 3 = z 5 x b) 4x 5y z = 4 = y 1 = z c) x + y z = 1 x 1 = y = z 19) x = 1 10t, y = 1 16t, z = 1t 0) a) máximo f( 1, 1 ) = 11 b) mínimo f(0, 0) = 4, pontos de sela em (±, 1) c) ponto de sela em (1, ) d) mínimo f(, 1) = 8, ponto de sela em (0, 0) e) nenhum f) mínimo f(0, 0) = 0, ponto de sela em (±1, 0) g) mínimo f(0, 1) = f(π, 1) = f(π, 1) = 1, ponto de sela em (π/, 0), (3π/, 0) 1) a) máximo f(, 0) = 9, mínimo f(0, 3) = 14 b) máximo f(±1, 1) = 7, mínimo f(0, 0) = 4 4

5 c) máximo f(3, 0) = 83, minimo f(1, 1) = 0 d) máximo f(1, 0) =, mínimo f( 1, 0) = ) 3 3) (, 1, 5), (, 1, 5) 4) 100 5), 100, a) nenhum máximo, mínimos f(1, 1) = f( 1, 1) = b) máximos f(±, 1) = 4, mínimos f(±, 1) = 4 c) máximo f(1, 3, 5) = 70, mínimo f( 1, 3, 5) = 70 d) máximo / 3, mínimo / 3 e) máximo 3, mínimo 1 f) máximo f( 1, 1, 1, 1) =, mínimo f( 1, 1, 1, 1) = g) máximo f(1,, ) = 1 +, mínimo f(1,, ) = 1 h) máximo 3, mínimo 1 6) máximos f(± 1, 1 ) = e 1/4, mínimos f(± 1, ± 1 ) = e 1/4 7) Mais próximo ( 1, 1, 1 ), mais longe ( 1, 1, ). 5