ANÁLISE MATEMÁTICA III TESTE 2-9 DE JUNHO DE apresente e justifique todos os cálculos duração: hora e meia (19:00-20:30)

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise ANÁLIE MATEMÁTICA III TETE - VERÃO A 9 DE JUNHO DE apresente e justifique todos os cálculos duração: hora e meia (9: - :3 ( Considere o seguinte conjunto M (x, y, z : y + z + x, < x < 3 }. (3 val. (a Mostre que M é uma variedade. Qual a sua dimensão? (b Calcule a massa de M sabendo que a densidade de massa é dada por α(x, y, z. + x (3 val. (c Determine o ponto da intersecção de M com o plano x que está mais próximo do ponto (3, 3, 3. (4 val. (4 val. ( Considere a variedade de dimensão (x, y, z : x } y + z ; < x <, com a normal n que tem a primeira componente positiva e os campos vectoriais definidos em por F (x, y, z (x, y, 3z + arctan x 3 y e G(x, y, z (x + x, xy, z. (a Calcule o fluxo de F através de no sentido da normal n. (b Usando o Teorema de tokes, calcule o fluxo de G através de no sentido da normal n. (3 Considere a função h : R R definida por h(t f dx dy dz onde f : R 4 R é a função definida por +z cos(t + x + y + z f(x, y, z, t e (y + x (a Mostre que h está bem definida, ou seja, o integral f existe para cada t R. (b Encontre um majorante para h (.

2 REOLUÇÃO:.(a Consideremos a função φ : (x, y, z : < x < 3} R definida por φ(x, y, z y + z x. Esta função é de classe C, o conjunto M é o conjunto de nível zero de φ e a sua derivada é dada por Dφ [ x y z ]. Esta matriz tem característica igual a em todos os pontos de M, logo podemos concluir que M é uma variedade de dimensão..(b Uma parametrização para M é a função g : T definida por g(x, θ (x, + x cos θ, + x sen θ em que T ], 3[ ], π[. endo Dg(x, θ x +x cos θ + x sen θ x +x sen θ + x cos θ, obtemos det Dg t (x, θdg(x, θ + x. Assim, a massa de M é dada por M α α(g(x, θ det Dg t Dg dx dθ M π 3 T + x + x dx dθ 4π..(c A intersecção de M com o plano x é uma circunferência C definida pelas equações F (x, y, z (y +z x, x (,. Como C é uma variedade (de dimensão podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Assim consideramos a função f(x, y, z (x 3 + (y 3 + (z 3, que representa o quadrado da distância do ponto (x, y, z ao ponto (3, 3, 3, e a função g definida por g(x, y, z f(x, y, z + λ (y + z x + λ (x. A solução do problema é solução do seguinte sistema: g F

3 Portanto temos (x 3 xλ + λ (y 3 + λ y (z 3 + λ z y + z x + x Da segunda e terceira equações concluimos que y z. ubstituindo na quarta equação e usando x, facilmente concluimos que y ±. Logo obtemos os pontos ( (,, e,,. Como C é uma variedade compacta e f(x, y, z (x 3 + (y 3 + (z 3 é uma função contínua podemos concluir, pelo( Teorema de Weierstrass, que f tem máximo e mínimo em C. Calculando f, ±, ± 4 6 ( concluimos que a solução do problema é o ponto,,..(a Vamos utilizar o teorema da divergência. eja V o volume limitado por e pelas tampas D (x, y, z : x, y + z < 4} e D (x, y, z : x, y + z < }. A normal exterior a V em D é dada por ν (,,, em D por (,, e em coincide com n. Logo, div F F n + F ν + F ν. V D D Temos div F 6 e div F 6V ol(v 6 V π x ρdρdxdθ 4π. Temos F ν x em D, pelo que D F ν 8π. Temos F ν x + em D, pelo que D F ν. Logo, pela equação acima, o fluxo é dado por F n 4π + 8π + 6π..(b Temos div G. Como o domínio de G é, que é um conjunto em estrela, existe um potencial vector H, tal que rot H G. Podemos tomar H x e obtemos, H 3 3 H G x + x H 3 G xy H G 3 z Obtemos H xz +α(y, z, H 3 x y +β(y, z e x + α+x 3 β x +x, pelo que tomamos α β e H (, xz, x y.

4 O bordo de é constituído pelas circunferências A (x, y, z : x, y + z 4} e B (x, y, z : x, y + z }. A orientação do bordo de s consistente com a normal n é dada percorrendo A no sentido anti-horário e B no sentido horário, do ponto de vista de um observador colocado no ponto (,,. Temos então, com estas orientações e pelo teorema de tokes, G n H + H. A Parametrizamos A com g(θ (, cos θ, sen θ, θ ], π[ e B com l(θ (, cos θ, sen θ, θ ], π[. Então, G n A π + H + π π B H B (, 4 sen θ, 8 cos θ (, sen θ, cos θdθ + (, sen θ, cos θ (, sen θ, cos θdθ (7 + 8 cos θdθ π. 3.(a Para cada t R temos e (y +z cos(t + x + y + z f(x, y, z, t + x e (y+z g(x, y, z. + x e a função g for integrável em, então o integral f estará bem definido para cada t R. eja g k } k N a sucessão de funções definidas por g(x, y, z, se k x k ; y g k (x, y, z + z k, caso contrário, ou seja, cada função g k coincide com g no cilindro com eixo de simetria Ox, de raio k e de altura k. Dado que g >, a sucessão g k } k N é monótona crescente e, por construção, g k g quando k. Para além disso, usando as coordenadas ciĺındricas (ρ, θ, x tais que ρ y + z ; y ρ cos θ ; z ρ sen θ,

5 obtemos g k π ( k π ( ( k k k k + x dx ρ e ρ + x dρ ( k π [arctan k arctan( k] dx dθ ρe ρ dρ [ e k], e, portanto, lim g k π. k Estão, assim, verificadas as condições do teorema da convergência monótona e, portanto, a função g é integrável e g π. Portanto, a função h está bem definida. 3.(b Note-se que f (x, y, z, t t e (y+z sen(t + x + y + z + x e (y+z g(x, y, z. + x Assim, tendo em conta a aĺınea anterior, estamos em condições de usar a regra de Leibniz, ou seja, h f (t (x, y, z, t dx dy dz R t 3 e, portanto, h ( f (x, y, z, t R dx dy dz g(x, y, z dx dy dz π. 3