CÁLCULO II - MAT0023. F (x, y, z) =

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1 UNIERIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da ida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza ÁLULO II - MAT a Lista de exercícios 1. eja F = P i + Q j + R k é um campo vetorial de classe 1 em um conjunto convexo R 3. Prove que F é um campo conservativo em se e somente se rot(f ) = 0 em. 2. eja F = P i + Q j + R k é uma campo vetorial de classe 2. Prove que div(rotf ) = Prove que o campo vetorial F = xz i + xyz j y 2 k não pode-se escrever como o rotacional de outro campo vetorial. 4. Nos seguintes itens prove as identidades onde a, b são constantes, f, g são campos escalares diferenciáveis e F, G são campos vetoriais diferenciáveis. (a) (af + bg) = a f + b g. (b), (af + bg) = a, F + b, G. (c), fg = f, G + f, G. (d) (af + bg) = a( F ) + b( G). (e), F G = G, F F, G. 5. (ampo vetorial com divergência e rotacional nulos). eja = R 2 \ {(0, 0)} e consideremos o campo vetorial F (x, y) = y x x 2 + y 2 i + x 2 + y 2 j com (x, y). Prove que div(f ) = 0 e rot(f ) = 0 em. 6. Para cada um dos seguentes campos vetoriais determine a matriz jacobiana e calcule o rotacional e a divergência. (a) F (x, y, z) = (x 2 + yz) i + (y 2 + xz) j + (z 2 + xy) k. (b) F (x, y, z) = (2z 3y) i + (3x z) j + (y 2x) k. (c) F (x, y, z) = (z + sen y) i (z x cos y) j. (d) F (x, y, z) = x 2 sen y i + y 2 sen(xz) j + xysen(cos z) k. 7. eja r = x i + y j + z k e consideremos o campo F ( r) = c r r 3 definido em R3 \ {(0, 0)}; isto é, F (x, y, z) = x i + y j + z k, onde c é constante. Prove que rot(f ) = 0 e div(f ) = 0. (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 8. eja r = x i + y j + z k e consideremos o campo F ( r) = c r r n definido em R 3 \ {(0, 0)}; onde c é uma constante não nula e n 3. Prove que div(f ) 0 e rot(f ) = eja r = x i + y j + z k e consideremos o campo F ( r) = f(r) r, onde r = r e f e uma função escalar derivável (exceto, possivelmente em r = 0). Prove que rot(f ) = 0 (exceto em r = 0). 10. eja r = x i + y j + z k e A e um vetor constante, mostrar que rot( A r) = 2 A. 11. eja r = x i + y j + z k e r = r, encontre todos os valores de n para os quais temos rot(r n r) = Encontre um campo vetorial cujo rotacional é x i + y j + z k ou mostre que não existe um tal campo vetorial. 13. Mostre que rot(rot(f )) = (div(f )) 2 F, onde as componentes F tem derivadas parciais mistas de segundo ordem continuas e 2 =,. 1

2 14. Um campo vetorial F não será gradiente de um potencial a menos que rot(f ) = 0. Embora, é possível encontrar um campo escalar não nulo µ tal que µf é um gradiente.mostrar que se um tal µ existe, F é sempre perpendicular a seu rotacional. Quando o campo é bidimensional, F = P i + Q j, este exercício nos da uma condição necessária para que a equação diferencial P dx+qdy = 0 possua um fator integrante. (O recíproco também é verdade. Isto é, se F, rot(f ) = 0 numa região conveniente, existe um µ não nulo tal que µf é um gradiente. A demostração do reciproco não é pedida.) 15. eja F (x, y, z) = y 2 z 2 i+z 2 x 2 j+x 2 y 2 k. Mostrar que rot(f ) não sempre é zero, mas que F, rot(f ) = 0. Encontre um campo escalar µ tal que µf seja um gradiente. 16. (x, y) = y c i + x c j, onde c é uma constante positiva, e seja r(x, y) = x i + y j. onsideremos uma região plana R limitada por uma curva de Jordan regular por partes (isto é uma curva fechada simples regular por partes). alcule div( r) e rot( r) e aplique o teorema de Green para mostrar que r dα = 0, onde α é a curva que descreve. 17. Mostrar que o teorema de Green pode expressar-se na forma rot( ), k dxdy = T ds, R onde T é o vetor unitário tangente a e s é o comprimento de arco. 18. Uma região plana R está limitada por una curva de Jordan regular por partes. e conhecemos os momentos de inercia de R ao redor dos eixos x e y que valem respectivamente a e b. alcule a integral de linha (r 4 ) n ds em função de a e b. Em esta integral, r = x i + y j, n representa o vetor unitário normal exterior a e s é o comprimento de arco. A curva é percorrida em sentido anti-horário. 19. eja F um campo vetorial bidimensional. Dê uma definição de integral de linha F dα. Esta definição deve ser tal que possa obter-se como consequência do teorema de Green a seguinte fórmula: F dα = k div(f ) dxdy, sendo R uma região plana limitada por una curva fechada simples. 20. Nos seguintes itens use o teorema de tokes para calcular rot(f ), η d R (a) F (x, y, z) = xyz i + x j + e xy cosz k, onde é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0, orientado para acima. (b) F (x, y, z) = yz i+xz j +xy k, onde é porção de esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 que encontra-se dentro do cilindro x 2 + y 2 = 1 e por cima do plano XY. (c) F (x, y, z) = 2y i + 3x j + e z k, onde é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 sob o plano z = 4 e com normal unitária superior. (d) F (x, y, z) = xy i + 2 j + arctan(x 2 ) k, onde é a parte do paraboloide z = 9 x 2 y 2 que está sobre o plano XY com normal superior unitária. 21. Nos seguintes itens, transforme a integral de superfície rot(f ), η d em uma integral de linha utilizando o teorema de tokes e calcule então a integral de linha. (a) F (x, y, z) = y 2 i + xy j + xz k, onde é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 e η é a normal unitária com componente z não negativa. 2

3 (b) F (x, y, z) = y i + z j + x k, onde é a parte do paraboloide z = 1 x 2 y 2 com z 0 e η é a normal unitária com componente z não negativa. (c) F (x, y, z) = (y z) i + yz j xz k, onde consta das cinco faces do cubo 0 x 2, 0 y 2, 0 z 2 não situadas no plano XY e η é a normal exterior. (d) F (x, y, z) = xz i y j+x 2 y k, onde consta de três faces não situadas no plano XZ do tetraedro limitado pelos três planos coordenados e o plano 3x + y + 3z = 6. A normal η é a normal unitária exterior ao tetraedro. 22. Nos seguinte itens use o teorema de tokes para provar que as integrais de linha tem os valores que são dados. Em cada caso, explique o sentido em que se percorre para obter o resultado. (a) ydx + zdy + xdz = πa 2 3, sendo a curva de interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 e o plano x + y + z = 0. (b) (y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz = 0, sendo a curva de interseção do cilindro x 2 + y 2 = 2y e o plano y = z. (c) y 2 dx + xydy + xzdz = 0, sendo a curva interseção do cilindro x 2 + y 2 = 2y e o plano y = z. (d) (y z)dx + (z x)dy + (x y)dz = 2πa(a + b), onde é a curva de interseção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 e o plano bx + az ab = 0, a > 0, b > 0. (e) (y 2 + z 2 )dx + (x 2 + z 2 )dy + (x 2 + y 2 )dz = 2πab 2, sendo a interseção do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 2ax, z > 0 e o cilindro x 2 + y 2 = 2bx, onde 0 < b < a. (f) (y 2 z 2 )dx + (z 2 x 2 )dy + (x 2 y 2 )dz = 9a 3 /2, onde é a curva interseção da superfície do cubo 0 x a, 0 y a, 0 z a e o plano x + y + z = 3a/ Nos seguintes itens, use o teorema de tokes para calcular F dα. Em cada caso está orientada em sentido anti-horário quando observa-se desde cima. (a) F (x, y, z) = xz i + 2xy j + 3xy k, onde é a fronteira da porção do plano 3x + y + z = 3 contida no primeiro octante. (b) F (x, y, z) = 3y i 2z j + 4x k, onde é o círculo x 2 + y 2 = 9, z = 4. (c) F (x, y, z) = 2z i + x j + 3y k, onde é a elipse onde o plano z = x corta ao cilindro x 2 + y 2 = 4. (d) F (x, y, z) = y i + z j + x k, onde é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0, 0), (2, 0, 0) e (0, 2, 2). 24. alcule F dα usando o teorema de tokes, onde F (x, y, z) = x 2 z i + xy 2 j + z 2 k e é a curva de interseção do plano x + y + z = 1 e o cilindro x 2 + y 2 = 9, é orientada em sentido anti-horário quando observa-se desde cima. 25. alcule rot(f ), η d, onde F (x, y, z) = yz i+3xz j +z 2 k, é a parte da esfera x 2 +y 2 +z 2 = 16 que está embaixo do plano z = 2 e η é a normal exterior. 26. e r = x i + y j + z k e P i + Q j + R k = a r, sendo a um vetor constante. Prove que P dx + Qdy + Rdz = 2 a, n d, onde é uma curva que limita uma superfície paramétrica e η é a normal a adequada. 3

4 27. eja F = P i + Q j + R k, onde P = y x 2 + y 2, Q = x x 2, R = z. eja D o toro gerado pela + y2 rotação da circunferência (x 2) 2 + z 2 = 1, y = 0, ao redor do eixo z. Mostrar que rot(f ) = 0 mas que P dx + Qdy + Rdz não é zero se a curva é a circunferência x 2 + y 2 = 4, z = Use o teorema de tokes para calcular F dα, onde F (x, y, z) = x i + y j + (x 2 + y 2 ) k e é a fronteira da porção do paraboloide z = 1 x 2 y 2 contido no primeiro octante, está orientada em sentido anti-horário. 29. Aplique o teorema de tokes para calcular x 2 y 3 dx + dy + zdz, onde é a curva x 2 + y 2 = r 2, z = 0, percorrida em sentido anti-horário. 30. om as hipóteses do teorema de tokes e considerando F = f g, onde f, g são campos escalares de classe 2 em. Prove que (f g) dα = f g, η d 31. Encontre o fluxo de F (x, y, z) = z i + y j + x k na esfera unitária x 2 + y 2 + z 2 = Encontre o fluxo de F (x, y, z) = x 2 y i + 2xz j + yz k através do retângulo em R 3 dado por 0 x 1, 0 y 2, 0 z Encontre F, η d, onde F (x, y, z) = xy i + (y 2 + e xz2 ) j + sen(xy) k e é a fronteira do sólido que está limitada pelo cilindro parabólico z = 1 x 2 e pelos planos z = 0, y = 0 e z + y = Encontre F, η d, onde F (x, y, z) = 2z 3 i + xz j + y k e é a superfície 4 z = x 2 + y 2, z Nos seguintes itens, use o teorema do divergente para calcular F, η d, onde é a fronteira de. (a) F (x, y, z) = z i + x j + y k, é o hemisfério 0 z 9 x 2 y 2. (b) F (x, y, z) = x i + 2y j + 3z k, é o cubo 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1. (c) F (x, y, z) = 3x i 2y j + 4z k, é a esfera x 2 + y 2 + z 2 9. (d) F (x, y, z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k, é o sólido parabólico 0 z 4 x 2 y 2. (e) F (x, y, z) = (x 2 + cos(yz)) i + (y e z ) j + (z 2 + x 2 ) k, é o sólido limitado por x 2 + y 2 = 4, x + z = 2, z = 0. (f) F (x, y, z) = xz i yz j + z 2 k, é o elipsoide x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. (g) F (x, y, z) = 2x i + 3y j + 4x k, é a concha esférica 9 x 2 + y 2 + z O Laplaciano de um campo escalar f de classe 2 em R 3, define-se como Prove que 2 f = div( f) = f. 2 f = 2 f x f y f z eja a superfície do cubo unitário 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, e seja η a normal exterior a. e F (x, y, z) = x 2 i + y 2 j + z 2 k, use o teorema do divergente para calcular a integral de superfície F, η d. erifique o resultado calculando a integral de superfície diretamente. 4

5 38. A esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 é cortada pelo plano z = 3. A menor porção é um sólido de limitado por uma superfície 0 constituída por duas partes, uma parte esférica 1 e outra parte plana 2. e a normal unitária exterior a é cos α i + cos β j + cos γ k, calcule o valor da integral de superfície (xz cos α + yz cos β + cos γ) d (a) e é a calota esférica 1. (b) e é a base plana 2. (c) e é a fronteira completa de eja η = cos α i + cos β j + cos γ k a normal unitária exterior a uma superfície fechada que limita um sólido homogêneo do tipo descrito no teorema do divergente. uponhamos que o centro de gravidade ( x, ȳ, z) e o volume de são conhecidos. alcule as seguintes integrais de superfície em função de e de x, ȳ, z. (a) (x cos α + y cos β + z cos γ) d. (b) (xz cos α + 2yz cos β + 3z 2 cos γ) d. (c) (y 2 cos α + 2xy cos β xz cos γ) d. (d) Expresse (x 2 + y 2 )(x i + y j), η d em função do volume e de um momento de inercia do sólido. 40. Nos seguintes itens, / e g/ denotam as derivadas direcionais dos campos escalares f e g na direção da normal unitária η exterior a uma superfície fechada que limita um sólido do tipo considerado no teorema do divergente. Isto é, / = f, η e g/ = g, η. Em um dos seguintes itens prove a proposição enunciada. Deve admitir-se a continuidade de todas as derivadas que se considerem. (a) d = 2 f dx dy dz. (b) d = 0 sempre que f são harmônica em. (c) f g d = f 2 g dx dy dz + f, g dx dy dz. (d) ( f g g ) ( d = f 2 g g 2 f ) dx dy dz. (e) f g d = g d, se f e g são ambas harmônicas em. (f) f d = f 2 dx dy dz, se f é harmônica em. (g) 2 f(a) = lim 1 (t) d, onde (t) é o sólido esférico de raio t e centro a, (t) é a (t) superfície (t) de (t) e (t) é o volume de (t). 41. eja uma região convexa de R 3 cuja fronteira é uma superfície fechada e seja η a normal unitária exterior de. ejam F e G dois campos vetoriais continuamente diferenciáveis tais que e ainda que Mostre que F = G em todo. Foz do Iguaçu, 15 de junho de 2017 rot(f ) = rot(g) e div(f ) = div(g) em todo, G, η = F, η em toda a superfície. íctor Arturo Martínez León 5