= F 1. . x. div F = F 1 x + F 2. y + F 3 = F3. y F 2. z, F 1

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1 Definição 0.1. eja F : R n R n um campo de vetores (diferenciável. screva F = (F 1,..., F n. (i O divergente de F é a função div F : R n R definida por div F. = m particular, para n = temos n F i = F F n. x i=1 i x 1 x n div F = F 1 x + F 2 + F z. (ii e n =, o rotacional de F é o campo de vetores rot F : R R definido por rot F =. i j k ( x y z F 1 F 2 F = F F 2 z, F 1 z F x, F 2 x F 1, onde x, y e z são abreviações 1 para os operadores / x, etc.. Observação. Não compensa memorizar a última expressão para o rotacional de um campo vetorial. e = ( x, y, z é um vetor de operadores diferenciais, um jeito de lembrar das definições acima é pensar que div F = F (produto escalar e rot F = F (produto vetorial. ste tipo de notação é muito comum em Física, e é provavelmente o que vocês encontrar nas disciplinas específicas que usam Cálculo III como ferramenta. xemplo 0.2 (Interpretações. eja F : R R um campo de vetores. uponha que F é um campo de velocidades agindo sobre um fluido que passa por uma membrana esférica (em geral, qualquer superfície fechada. O divergente de F nos dá uma medida qualitativa do quanto o fluido entra ou sai desta esfera. e o divergente é positivo, significa que sai mais fluido do que entra, enquanto que se é negativo, entra mais fluido do que sai. e n é o campo normal unitário ao longo da superfície, a componente de F que de fato contribui para o fluxo do fluido é dada pelo produto 1 Legítimas. 1

2 escalar F n. omar isto sobre todos os infinitos pedacinhos da superfície nos dá a integral de superfície 2 F n d. e V é o volume encerrado pela superfície, o Teorema da Divergência nos diz que F n d = div F dx dy dz, V que é positivo ou negativo conforme div F tenha sinal constante. Veja a figura a seguir: F Figura 1: Interpretação para div F. Há uma outra interpretação em termos de volumes: se é dado um volume V no espaço, que é deformado pelo fluxo do campo F, obtemos para cada instante de tempo t um sólido deformado V t. O divergente de F mede a taxa de variação instantânea (= derivada deste volume. Fixe um ponto no espaço p R. Considere uma bola aberta centrada em p, com raio extremamente pequeno, e interprete F como um campo de forças. Nesta bola, podemos supor que o campo F faz os pontos próximos de p seguirem um movimento de rotação, 2 screver ao invés de nada mais é do que um lembrete de que a superfície é fechada, do mesmo modo que escrevemos ao invés de quando consideramos integrais de linha ao longo de curvas fechadas. Que nada mais é do que uma das várias facetas do Teorema Fundamental do Cálculo, veja aqui, por exemplo. 2

3 em torno de um certo eixo. A direção deste eixo de rotação infinitesimal é precisamente o vetor rot F(p. No plano perpendicular à rot F(p que passa por p, este movimento de rotação é máximo, e a sua intensidade é medida justamente pela norma rot F(p. Veja a figura a seguir: rot F(p F(p Figura 2: Interpretação para rot F. xemplo 0. (Um caso concreto. Considere o campo F : R R definido por F(x, y, z. = (x 2 + e z, cos y + 4x, ze x. Temos que e também que div F(x, y, z = x (x2 + e z + (cos y + 4x + z (zex = 2x sen y + e x, i j k rot F(x, y, z = x y z x 2 + e z cos y + 4x ze x = (0 0, e z ze x, 4 0 = (0, e z ze x, 4 Os operadores gradiente, divergente e rotacional estão relacionados entre si pela: Proposição 0.4. ejam F : R R um campo de vetores e ϕ : R R um campo escalar. ntão valem que rot ϕ = 0 e div rot F = 0.

4 Ou seja, em outras palavras, todo campo conservativo é irrotacional e todo campo rotacional é solenoidal 4. Observação. e X(R denota o conjunto dos campos de vetores em R, e C (R é o conjunto dos campos escalares em R, este resultado nos diz que dar dois passos na seguinte sequência sempre retorna zero: C (R X(R rot X(R div C (M Demonstração: Que rot ϕ = 0 é verdade porque a ordem não importa na hora de calcular derivadas segundas de ϕ. Por exemplo, para a primeira componente de rot ϕ, temos ( ϕ z z ( ϕ = 2 ϕ z 2 ϕ z = 0. Já para a segunda afirmação, teremos seis parcelas que se cancelam duas a duas: div rot F = ( F x F 2 + ( F1 z z F + ( F2 x z x F 1 = 2 F x 2 F 2 x z + 2 F 1 z 2 F x + 2 F 2 z x 2 F 1 z = 0. A última propriedade computacional que vale a pena registrar é a: Proposição 0.5 (Regra do produto. ejam F : R R um campo de vetores e ϕ : R R um campo escalar. ntão valem: (i div(ϕf = ϕ div F + ϕ F; (ii rot(ϕf = ϕ rot F + ϕ F; Observação. É exatamente como a regra do produto. ncarando div e rot como derivadas genéricas, a regra é que a derivada de um produto é a soma de duas parcelas: um vezes a derivada do outro. Use o vezes que fizer sentido (produto escalar ou vetorial, conforme o resultado final deva ser um número ou vetor (divergente ou rotacional. 4 Curiosidade: existe um resultado chamado Teorema da decomposição de Helmholtz que afirma que todo campo de vetores pode ser escrito como a soma de um campo com rotacional nulo com um campo solenoidal (divergente nulo. Vocês podem talvez se depararem com este tipo de coisa no futuro. 4

5 Demonstração: Vamos justificar (i. Pela regra do produto usual, temos ( div(ϕf = (ϕf x i = ϕ F i + ϕ F i x i x i i i=1 = ϕ i=1 F i x i + i=1 ϕ F x i = ϕ div F + ϕ F. i=1 i A regra do produto para o rotacional é um pouco mais complicada de justificar rapidamente usando um somatório, mas você pode fazer o cálculo diretamente, como um exercício pra pegar prática. Vejamos uma aplicação: xemplo 0.6. Considere o campo radial F : R \ {0} R dado por ( x F(x, y, z = (x 2 + y 2 + z 2 /2, y (x 2 + y 2 + z 2 /2, z (x 2 + y 2 + z 2 /2. Vamos verificar que div F = 0, usando a regra do produto para o divergente. e denotamos por r o campo de posições, ou seja, r = (x, y, z, temos que r 2 = x 2 + y 2 + z 2 e assim F se expressa de forma simples como Temos então que div F = div ( r r F(r = = 1 r div r + = r r 2 r 5 = 0, r r. ( 1 = div r r ( 1 r e o passo indicado em azul é justificado notando que r = r r r 5 r x (x2 + y 2 + z 2 /2 = 2 (x2 + y 2 + z 2 5/2 2x = x r 5. xemplo 0.7. ejam uma superfície fechada qualquer em R (com campo de vetores normais n apontando para fora, V o volume encerrado por, e suponha que 0. Afirmo que x dy dz + y dz dx + z dx dy (x 2 + y 2 + z 2 /2 = 5 { 0, se 0 V, 4π, se 0 V.

6 Basicamente, o valor da integral depende da posição da superfície, conforme a figura a seguir: 4π 0 Figura : As duas possibilidades: 0 V ou 0 V. Note que o integrando corresponde ao campo do exemplo anterior, que vimos que é solenoidal. Analisemos então a situação por casos: 0 V: como a única singularidade do campo não está no interior da região encerrada por, o Teorema da Divergência aplica-se diretamente: F n d = 0 div F dx dy dz = 0. V 0 V: não pode-se aplicar o Teorema da Divergência diretamente, justamente porque há uma singularidade dentro da região para a qual queremos passar a integral. endo assim, considere um raio a > 0 pequeno o suficiente para que a esfera de raio a centrada na origem esteja completamente contida em V. Considere o campo normal e unitário ao longo de apontando para fora. eja M o sólido no espaço encerrado entre e, conforme a figura abaixo: M Figura 4: Aplicando o Teorema da Divergência. 6

7 A orientação de já é compatível com a orientação do sólido M, enquanto que a orientação de não é compatível, e levaremos isto em conta na hora de aplicar o Teorema da Divergência: 0 = M div 0 F dx dy dz = F n d F n d. Agora, note que ao longo de, temos que r = a, donde F(r = r/a, e também n = r/a. Deste modo, vem que F n d = F n d = = 1 a 2 r a r a d = a 2 a 4 d d = 1 a 2 Área( = 1 a 2 4πa2 = 4π, como queríamos. 7