Eletromagnetismo I - Eletrostática

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1 - Eletrostática Potencial de distribuições de cargas e campos conservativos (Capítulo 4 - Páginas 86 a 95) Potencial Elétrico de distribuições contínuas de cargas Gradiente do Campo Elétrico Campos conservativos 2

2 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga teste. O potencial elétrico gerado no ponto r por uma carga pontual Q 1 no ponto r 1 é: V( r) = Q 1 1 r r 1 Q 1 r 1 z r y Se adicionarmos uma carga Q 2 no ponto r 2, o potencial no ponto r fica: V( r) = Q 1 1 r r + Q r r 2 x r 2 Q 2 3

3 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas Pelo princípio da superposição, o potencial elétrico em r devido a n cargas pontuais diferentes é a soma do potencial devido a cada uma das cargas isoladamente. V( r) = Se substituirmos as cargas pontuais por cargas com densidade ρ i que ocupam um volume Δv i, cada, teremos: V( r) = n i=1 n Q i 1 i=1 ρ i Δv i 1 r r i r r i Se Δv i tender a 0 e o número de elementos tender a infinito numa região, teremos uma distribuição contínua de cargas. Q 1 x r 1 z Q 2 r 2 Origem r r n y Q n 4

4 - Eletrostática Trabalho para mover uma carga ao redor de uma linha infinita de cargas O Potencial Elétrico de uma distribuição contínua de cargas pode ser obtido tomando o limite de Δv à 0. O somatório se torna uma integral de volume. V( r) = 1 ρ v ( r' )dv' r r V ' dv' r ' z V r y ρ v ( r' )dv' = ρ s ( r' )ds' = ρ l ( r' )dl' x 5

5 - Eletrostática Gradiente do potencial Se conhecemos a distribuição do potencial elétrico V uma dado ponto do espaço, podemos calcular o campo elétrico tomando o negativo do gradiente de V. E = V [V / m] Isto é o inverso de utilizar a integral de linha para calcular V a partir de E. V AB = E d l A [V ] Ou no caso do potencial de referência ser adotado como o infinito: B V A = E d l A [V ] 6

6 - Eletrostática Gradiente do potencial O gradiente do potencial V em coordenadas cartesianas é E = V x âx + V y ây + V z âz O gradiente do potencial V em coordenadas cilíndricas é: E = V ρ âρ + 1 V V âφ + ρ φ z âz (cilíndricas) O gradiente do potencial V em coordenadas esféricas é: E = V r âr + 1 r V θ âθ + 1 V rsenθ φ âφ (esféricas) 7

7 - Eletrostática Campo uniforme O Potencial elétrico é um campo escalar cuja distribuição espacial pode ser descrita através de linhas equipotenciais (lugares geométricos onde V = constante). O gradiente de um campo escalar num ponto é um campo vetorial cuja magnitude é a taxa de variação espacial máxima do escalar no ponto. O vetor no ponto aponta na direção de máxima variação do campo escalar. Uma consequência disso é que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em cada ponto. O campo elétrico aponta na direção de potenciais decrescentes (sinal negativo) 8

8 - Eletrostática Potencial de uma carga pontual Vimos que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção radial. No caso de cargas positivas, o campo aponta radialmente para fora. E( r) ( r r ') = As superfícies equipotenciais ao redor de uma carga pontual correspondem a superfícies esféricas: Q 2 âr = Q R V( r) = Q 1 r r ' r r ' 3 O potencial elétrico diminui conforme nos afastamos da carga positiva. Note que as linhas equipotenciais são perpendiculares ao campo elétrico em todos os pontos. 9

9 - Eletrostática Campos Conservativos e irrotacionais O potencial eletrostático (gerado por cargas ou distribuições de carga) possui um valor único em cada ponto do espaço. Isto é equivalente a dizer que a integral de linha do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é nula (por que?). " E d l = 0 Qualquer campo vetorial definido através do gradiente de um campo escalar é conservativo. E Teorema de Stokes: " E d l = E C 10 S ( ) d S Mas o rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo ( V ) = 0 " E d l = 0 S C

10 - Eletrostática Aplicação em Circuitos elétricos No caso dos circuitos elétricos, o campo elétrico fica confinado na superfície dos condutores. O condutor guia o campo elétrico, pois E = 0 longe dos condutores. Isto possibilita utilizar elementos de parâmetros concentrados o que simplifica a matemática e solução de problemas. Não é necessário calcular distribuições de campos. Para encontrar tensões usamos (indiretamente): E d l " = 0 Segunda Lei de Kirchhoff (malhas): FEM V R1 V R2 = 0 R 1 R 2 R 3 R 4 11

11 - Eletrostática Exemplo Considere o potencial V = 2x 2 y 5z [V ] e calcule o potencial V, a magnitude do campo elétrico E, a direção e o sentido de E, a densidade de fluxo elétrico e a densidade volumétrica de cargas no ponto P(-4,3,6). 12

12 - Eletrostática Exemplo Dado o potencial V = 10 senθ cosφ [V ], 2 r (a) Determine a densidade de fluxo elétrico em (2, π/2, 0). (b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de 10µC do ponto A(1, 30º, 120º) até o ponto B(4, 90º, 60º). 13

13 - Eletrostática Exemplo Uma densidade superficial de carga uniforme de 20 nc/m 2 está presente na superfície esférica r = 0,6 cm no espaço livre. (a) Calcule o potencial absoluto em (r = 1cm, θ = 25º, φ = 50º). (b) Calcule V AB dados os pontos A(r = 2cm, θ = 30º, φ = 60º) e B(r = 3cm, θ = 45º, φ = 90º). 14