Lei de Gauss. O produto escalar entre dois vetores a e b, escrito como a. b, é definido como

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1 Lei de Gauss REVISÃO DE PRODUTO ESCALAR Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (lei de Gauss), consideramos importante uma revisão sobre o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar entre dois vetores a e b, escrito como a. b, é definido como ab abcos Onde a e b são respectivamente os módulos dos vetores a e b, sendo o ângulo entre as direções de a e b, como está representado na figura abaixo. a b Partindo desta definição, é claro que se os dois vetores forem perpendiculares ( 90 o ), teremos ab 0, se = 0 o ab ab e se = 180 o ab ab LEI DE GAUSS A lei de Coulomb é uma lei básica da eletrostática, mas em algumas situações envolvendo simetria podemos usar uma lei equivalente que pode simplificar o trabalho no estudo do campo elétrico. Para tirar proveito nestas situações de simetria, vamos introduzir a lei de Gauss, deduzida pelo matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss ( ). A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície fechada com a carga total envolvido por esta superfície. Antes de enunciar a lei de Gauss vamos introduzir um conceito auxiliar, o fluxo do campo elétrico. Trata-se de um conceito relacionado ao número de linhas de campo elétrico que atravessam determinada superfície. Suponha que uma superfície plana, de área A, seja colocado em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E, como está representado na figura abaixo. 1

2 A E Sendo o vetor área A um vetor cujo módulo é igual a uma área A (neste caso a área da superfície) e cuja direção é normal (perpendicular) ao plano da área, podemos definir o fluxo do campo elétrico pela seguinte expressão: E E A EAcos Observe que para 0 o o valor do fluxo é máximo e para 90 o o fluxo é nulo. Para entender melhor o conceito de fluxo, pode-se supor uma espira quadrada de arame com área interna A, colocado em uma correnteza uniforme de um rio cuja velocidade da água é v, ou numa região onde exista um vento com velocidade uniforme v. O fluxo do vetor velocidade v A representa a vazão volumétrica de água ou ar nesta espira. Observe que a unidade deste fluxo no SI. é m 3 / s. Observação: Devemos observar que o exemplo acima, no qual temos água ou ar escoando por uma espira, não tem relação com o fluxo do campo elétrico. O campo elétrico não é uma grandeza que pode escoar através de uma superfície. O ponto central da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada de superfície gaussiana. A superfície gaussiana pode ser de qualquer forma que se queira, mas a superfície mais útil é uma que reproduza a simetria do problema em questão. Assim, a superfície gaussiana será frequentemente uma esfera, um cilindro ou outra forma simétrica. Ela deve ser sempre uma superfície fechada, de modo que possa ser feita uma distinção clara entre pontos que estão no interior da superfície, sobre a superfície e fora da superfície. A superfície gaussiana (superfície fechada) não necessita ser uma superfície física real, como a de um corpo sólido. Na verdade, na maioria das aplicações da lei de Gauss, considera-se uma superfície 2

3 imaginária, que pode estar no espaço vazio, imersa em um corpo sólido, ou parte no espaço vazio e parte no corpo. Como a lei de Gauss se aplica a uma superfície fechada devemos definir o fluxo de campo elétrico para estas superfícies gaussianas, este fluxo pode ser calculado imaginando-se a área da superfície fechada subdividida em quantidades infinitesimais da e somando um número infinito de contribuições infinitesimais do fluxo de campo de cada elemento de área. Esta soma é feita por meio de uma integral. Na figura abaixo temos a representação de uma superfície fechada arbitrária imersa em um campo elétrico não-uniforme. Temos em destaque três quadrados que fazem parte desta superfície. Podemos observar que no quadrado 1 temos cos 0( o campo elétrico aponta para dentro da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é negativo. No quadrado 3 temos cos 0 (o campo elétrico aponta para fora da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é positivo, e no quadrado 2 temos cos 0 (o campo elétrico tangencia a superfície), sendo que este quadrado não contribui para o fluxo total N i1 i EA. E. da 3

4 O círculo no símbolo de integral indica que a integração deve ser feita sobre toda a superfície (fechada). O fluxo do campo elétrico é uma grandeza escalar. Sua unidade no SI é: N. m 2 /C. Uma superfície possui dois lados, portanto, em cada ponto, existem dois sentidos possíveis para o vetor que representa a área desta superfície. Quando a superfície for fechada (gaussiana) sempre adotaremos o sentido deste vetor para fora da superfície. Devemos observar que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número total de linhas de campo que atravessam essa superfície. E X E R C Í C I O 1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro). No exercício acima se o eixo do cilindro não fosse paralelo ao campo elétrico poderíamos ter dificuldade em calcular o fluxo do campo elétrico através da superfície. No entanto, neste caso poderíamos determinar o valor do fluxo de uma maneira bem simples usando a lei de Gauss. Esta lei afirma que se a carga total envolvida por uma superfície fechada for nula, o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo. Portanto, como a carga envolvida pela superfície do exercício anterior é nula, o fluxo do campo elétrico será nulo, independente da forma que esta superfície se encontra em relação ao campo. Este exemplo nos mostra que dependendo da situação a lei de Gauss pode simplificar bastante os cálculos. O que pode ser uma boa razão para o estudo da lei de Gauss. A lei de Gauss relaciona o fluxo total de um campo elétrico através de uma superfície fechada (gaussiana) e as cargas no interior desta superfície. Ela pode ser enunciada da seguinte maneira: O fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada (superfície gaussiana) é proporcional à carga elétrica total (líquida) existente no interior desta superfície. Ou seja, para uma superfície gaussiana temos que: o q ou o E. da q onde: é o fluxo do campo elétrico sobre a superfície gaussiana q é a carga elétrica líquida envolvida pela superfície gaussiana. 4

5 Devemos observar que as cargas externas a uma superfície gaussiana contribuem para o campo elétrico, mas não contribuem para o fluxo do campo elétrico nesta superfície gaussiana. Em vários casos especiais, podemos dispensar o uso das técnicas do Cálculo integral para calcularmos o fluxo do campo elétrico. Se o campo elétrico E for perpendicular à superfície de área A em todos os pontos e tiver o mesmo valor em todos os pontos da superfície, o fluxo do campo elétrico sobre esta superfície pode ser calculado por EA e a lei de Gauss, para este caso, pode ser escrita da seguinte forma: EA q o Observando a lei de Gauss, percebemos que se a carga líquida envolvida pela superfície gaussiana for negativa o fluxo do campo elétrico será negativo (as linhas de campo apontam para dentro da superfície), se esta carga líquida for positiva o fluxo será positivo (as linhas de campo apontam para fora da superfície). Quando a carga líquida envolvida pela superfície gaussiana for nula o fluxo do campo elétrico através desta superfície também será nulo. A discussão acima, relacionando fluxo do campo elétrico com a carga envolvida pela superfície gaussiana, pode ser ilustrada com um exemplo, no qual temos a representação de duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais opostos e das linhas de campo desta configuração de cargas. Na figura temos também a representação de quatro superfícies gaussianas vista de perfil. A superfície S 1 envolve somente a carga positiva, S 2 envolve somente a carga negativa, S 3 não envolve nenhuma carga e S 4 envolve as duas cargas, portanto, a carga total envolvida por ela é nula. q o E env o E. da q env Lei _ Gauss S1 S2 q1 0 q S3 S4 q3 0 q4 0 5

6 E X E R C Í C I O 2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do fluxo do campo elétrico através dessa superfície? 3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo) sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada dentro da superfície gaussiana. 4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície? 5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas. a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja nula. Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os pontos sobre esta superfície gaussiana? b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana, a lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula? 6. Uma carga puntiforme de 1,8 μc está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície. R: 2,03x10 5 Nm 2 /C 7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade superficial de carga de 8,1 μc /m 2. (a) Determine o valor da carga sobre a esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera? R: (a) 3,66x10-5 C (b) 4,14x10 6 Nm 2 /C 8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d) R: q/(6є o ) q d/2 d d 9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma distância r, é dado por E = Q / (4 o r 2 ) (lei de Coulomb).

7 10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão distribuídas em sua superfície externa. 11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o valor deste campo é dado por: E = σ /ε Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme q = C. Determine a carga: a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a superfície externa do condutor. 13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma densidade linear de carga, é dado por: E = /(2 o r). P r barra 14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4, N/C a uma distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada constante. 15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo λ a = - λ e λ b = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no interior da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o campo elétrico é dado por E = /(2 o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. 16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é C/m, e sobre o cilindro externo é de C/m. Determine o valor do campo elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. R: (a) 2, N/C, para fora; (b) 4, N/C, para dentro 17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 ε o ), onde ρ é a densidade volumétrica de carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce qualitativamente o gráfico E r. Observe que o cilindro não é condutor.

8 18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε 0 ). 19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades superficiais de cargas de sinais opostos e valores 23 2 absolutos iguais σ = 7,00 10 C/ m. Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas. 20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q =2x10-8 C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não condutor que faz um ângulo de 30 o com uma placa vertical, não condutora, uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacional q que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa. 21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que: a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4 o r 2 ). b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior. 22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de 750 N.m 2 /C através de uma superfície gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da carga pontual? R: a) 750 N.m 2 /C; b) 6,64 nc

9 23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de N/C e aponta para o centro da esfera, qual é a carga desta esfera? R: - 7,5 nc 24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de C. Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera. R: (a) 0; (b) 2,88x10 4 N/C; (c) 2x10 2 N/C 25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga q a. Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga q b. Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4 o r 2 ); e (c) r > b é igual a (qa + q b ) / (4 o r 2 ) 26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da casca menor é C, e da casca maior é C. Determine o módulo do campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm. R: a) 2, N/C; b) 1, N/C