Lista de Exercícios 2 Potencial Elétrico e Capacitância

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1 Lista de Exercícios 2 Potencial Elétrico e Capacitância Exercícios Sugeridos (14 de março de 2007) A numeração corresponde ao Livros Textos A e B. B25.10 Considere dois pontos numa região onde há um campo elétrico. O potencial no ponto P 1 é V 1 = 20 V, e em P 2 é V 2 = +150 V. Qual o trabalho realizado, por uma força externa, para deslocar uma carga q = 4,7 µc de P 2 até P 1? A20.6 A diferença de potencial entre as placas aceleradoras do canhão de elétrons do tubo de um aparelho de televisão é cerca de 25 kv. (a) Calcule a velocidade dos elétrons do feixe depois de acelerados. (b) Se a distância entre as placas é de 1,50 cm, encontre a magnitude do campo elétrico uniforme entre as placas. A20.12 Uma carga +q está na origem e uma carga 2q se encontra em x = 2,00 m. Para quais valores finitos de x (a) o campo elétrico é nulo e (b) o potencial elétrico é zero? A20.17 Demonstre que o trabalho necessário para colocar quatro cargas puntuais idênticas Q nos vértices de um quadrado de lado s é 5,41k e Q 2 /s. A20.20 Duas esferas isolantes têm raios de r 1 e r 2, massas de m 1 e m 2 e cargas q 1 e q 2 uniformemente distribuídas pelos seus volumes. Elas são liberadas do repouso quando seus centros estão separados por uma distância d. (a) Com que velocidades elas estarão se movendo quando colidirem? (b) Se as esferas fossem condutoras, as velocidades seriam maiores ou menores do que as calculadas no ítem (a)? Explique. A20.24 O potencial elétrico dentro de um condutor esférico carregado de raio R é dado por V = Q/4πɛ 0 R e fora do condutor é dado por V = Q/4πɛ 0 r. Utilizando E r = dv/dr, derive o campo elétrico dentro e fora do condutor. A20.25 Em uma determinada região do espaço, o potencial elétrico é dado por V = 5x 3x 2 y + 2yz 2, em volts para x, y e z em metros. Encontre o campo elétrico nesta região. Qual é a magnitude do campo no ponto P com coordenadas (1,0, 2) m? A20.27 Uma barra de comprimento L (Figura P20.27) se encontra sobre o eixo x com sua extremidade esquerda na origem. Sua densidade linear de carga é dada por λ = αx, onde α é uma constante positiva. (a) Qual é a dimensão de α? (b) Compute o potencial elétrico em A. Figura P

2 A20.28 Para o arranjo descrito no problema anterior, calcule o potencial elétrico no ponto B que se encontra sobre a bissetriz da barra a uma distância b do eixo x. A20.29 Uma barra isolante e uniformemente carregada de comprimento de l tem a forma de uma semicircunferência, como mostrado na Figura P (a) Encontre o potencial elétrico num ponto qualquer sobre o eixo da circunferência (eixo z) para uma carga total da barra Q. (b) Calcule as componentes do campo elétrico que podem ser obtidas por derivação a partir do resultado anterior. Figura P20.29 A20.40 Um capacitor esférico consiste de uma casca esférica condutora de raio b e carga Q que é concêntrica com uma outra esférica condutora de raio menor a e carga +Q (Figura P20.40). a) Demonstre que a capacitância é: C = 4πɛ 0 ab/(b a). b) Mostre que, para b a capacitância tende a C = 4πɛ 0 a. c) Fazendo b a = d a, mostre que a expressão da capacitância se reduz à do capacitor de placas paralelas, ou seja: C = ɛ 0 A/d. Figura P20.40 A20.51 Um capacitor de placas paralelas de área A tem uma carga Q. Mostre que força age sobre cada placa devida à outra tem magnitude F = Q 2 /2ɛ 0 A. Lembre-se que o campo entre as placas do capacitor é devido às duas placas e que uma placa não exerce força sobre si mesma. Dica: Uma possibilidade para computar a força é considerar o trabalho que deve ser realizado por um agente externo para deslocar uma das placas de uma distância pequena dx mantendo a carga fixa: W = F dx. O trabalho pode ser computado como a variação da energia armazenada no capacitor. A20.66 Um capacitor é construído a partir de duas placas quadradas de lado l e separação d. Uma placa de material com constante dielétrica κ é parcialmente inserido por uma distância x no interior do capacitor como mostra a Figura P Considere d x. (a) Encontre a capacitância do dispositivo. (b) Calcule a energia armazenada no capacitor quando a diferença de potencial entre as placas é V. (c) Encontre o sentido e a magnitude da força exercida sobre o dielétrico, considerando constante a diferença de potencial (despreze o atrito). (d) Obtenha a força para l = 5,00 cm, d = 2,00 mm, V = 2000 V se o dielétrico é vidro com κ = 4,50. Figura P

3 A20.67 Considere o mesmo capacitor da Figura P20.66, com as placas carregadas com cargas +Q 0 e Q 0. Um bloco metálico tem faces quadradas de lado l, como as do capacitor, e espessura ligeiramente menor que o espaçamento das placas do capacitor d. O bloco é inserido por uma extensão x entre as placas do capacitor. Não há contato entre o bloco e as placas de maneira que a cargas do capacitor não são afetadas enquanto o bloco desliza para dentro. Em uma situação estática, o campo elétrico dentro de um condutor é nulo, e ele pode ser considerado como um dielétrico perfeito com κ =. (a) Calcule a energia armazenada como função de x. (b) Encontre o sentido e a magnitude da força sobre o bloco metálico. (c) A área da face frontal do bloco que avança é essencialmente ld. Considerando a força no bloco como agindo sobre esta face, encontre a pressão média sobre ela. (d) Para comparar com a pressão, expresse a densidade de energia no campo elétrico no interior do capacitor em termos de Q 0, l e d. B26.93 Considere dois fios condutores muito longos de raio a dispostos paralelamente um ao outro com seus eixos separados de uma distância D. Suponha que as cargas se distribuem uniformemente nas superfícies de cada fio, condição que é válida quando D a. Mostre que a capacitância por unidade de comprimento deste sistema é C l = πɛ 0 ln (D/a 1). A20.76 Um dipolo elétrico está disposto ao longo do eixo y como mostra a Figura P A magnitude de seu momento de dipolo elétrico é p = 2qa. (a) Mostre que num ponto P distante do dipolo (r a) o potencial elétrico é dado por V 1 4πɛ 0 p cos θ r 2. (b) Calcule as componentes radial, E r, e perpendicular, E θ do campo elétrico do dipolo. Lembrese que E r = V/ r e E θ = (1/r) V/ θ. Verifique que sua resposta é razoável considerando os campos para θ = 0 e θ = π/2. (b) Expresse o potencial em termos das coordenadas cartesianas e compute as componentes E x e E y do campo elétrico distante. Figura P20.76 A20.77 Um capacitor de placas paralelas com área A e separação d é carregado em vácuo com uma diferença de potencial V 0. Uma chapa de espessura d e constante dielétrica κ é introduzida entre as placas. Determine a razão entre a energia do capacitor depois da introdução do dielétrico, U, e a energia do capacitor vazio, U 0, nas seguintes situações: (a) a bateria é desconectada antes da introdução do dielétrico e (b) a bateria permanece conectada ao capacitor durante a introdução do dielétrico. Dê uma interpretação física para as variações de energia observadas nas duas situações. 3

4 H.37E Um cabo coaxial usado em uma linha de transmissão tem raio interno de 0,10 mm e raio externo de 0,60 mm e é preenchido com poliestireno (κ = 2,6). Calcule a capacitância por metro de cabo. O cabo, com 1,00 m de comprimento, é conectado está sob uma tensão de 100 V. Determine os vetores E, P e D em todo espaço. Determine também todas as cargas livres e cargas de polarização no sistema. H.40P Um capacitor de placas paralelas (área A e espaçamento d) é preenchido com dois dielétricos como ilustrado na Figura H40P. Determine os campos E, P, D, a diferença de potencial entre as placas, V, e as cargas de polarização quando a carga nas placas é Q 0. Qual é a sua capacitância? A/2 A/2 A κ 1 κ 1 κ 2 d d κ 2 Figura H40P. Figura H41P. H.41P Um capacitor de placas paralelas (área A e espaçamento d) é preenchido com dois dielétricos como ilustrado na Figura H41P. Determine os campos E, P, D, a diferença de potencial entre as placas, V, e as cargas de polarização quando a carga nas placas é Q 0. Qual é a sua capacitância? H.45P O espaço entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas de raios a e b, com b > a é preenchido com um dielétrico de constante κ. Uma diferença de potencial V é aplicada entre as cascas, com a casca interna no potencial mais alto. Determine os campos E, P, D, as cargas livres e de polarização em todas as superfícies do sistema. Qual é a capacitância do conjunto? H.47P Uma placa dielétrica de constante κ e espessura b é inserida entre as placas de um capacitor de placas paralelas de área A e espaçamento d > b. Encontre a capacitância do sistema. P1.1 Duas cargas puntiformes positivas iguais, +q, e duas cargas puntiformes negativas iguais, q, se encontram fixas nos vértices de um quadrado de lado a. As cargas de mesmo sinal se localizam em vértices opostos. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura, cuja origem está no centro do quadrado. y P (X, 0, 0) (a) (1,0) Calcule o vetor força sobre a carga positiva da direita. (b) Determine a energia potencial da distribuição de cargas tomando como referência a configuração das cargas infinitamente afastadas. (c) (0,5) Determine o potencial elétrico num ponto genérico do eixo x, V (X,0,0). (d) (1,0) Calcule o vetor campo elétrico num ponto genérico do eixo x, E(X,0,0). q +q +q q x 4

5 P1.2 Considere o anel isolante de raio a mostrado na figura ao lado. Metade do anel contém uma carga positiva +Q uniformemente distribuída e a outra metade uma carga negativa Q, também uniformemente distribuída. Utilize o sistema de coordenadas indicado na figura, cuja origem está no centro do anel. z Q y (a) (1,0) Determine o potencial elétrico num ponto qualquer do eixo do anel, V (0,0,Z). (b) (1,0) Determine o vetor campo elétrico no mesmo ponto, E(0,0,Z). (c) (0,5) Determine o fluxo do campo elétrico através da superfície de um cubo de aresta 3a concêntrico com o anel. +Q x P1.4 Um capacitor é formado por duas cascas condutoras esféricas concêntricas de raios a e c (c>a). O espaço entre as cascas é parcialmente preenchido com uma camada concêntrica de dielétrico, entre os raios a e b (b<c), com constante dielétrica κ, como esboçado na figura ao lado. A casca condutora interna tem uma carga negativa Q 0 e a casca externa tem carga +Q 0. c b Q 0 a κ +Q 0 (a) (0,5) Determine o vetor deslocamento elétrico D entre os eletrodos. (b) (0,5) Determine o campo elétrico E entre os eletrodos. (c) (0,5) Determine o vetor polarização elétrica P no dielétrico. (d) (1,0) Determine a capacitância deste capacitor. 5