Lista 7: Leis de Ampère e Biot-Savart (2017/2)

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1 Lista 7: Leis de Ampère e Biot-Savart (2017/2) Prof. Marcos Menezes 1. Considere novamente o modelo clássico para o átomo de Hidrogênio discutido nas últimas listas. Supondo que podemos considerar que a corrente associada ao movimento do elétron em torno do próton é estacionária, calcule a intensidade do campo magnético produzido por essa corrente na posição do próton. Obtenha uma expressão em termos das constantes relevantes e depois calcule o valor numérico. 2. Considere um solenoide como o mostrado na figura abaixo, onde o fio é enrolado de forma compacta. Justificando todas as suas respostas, responda: (a) A força magnética entre espiras vizinhas é atrativa ou repulsiva? (b) A força magnética entre lados opostos de uma mesma espira é atrativa ou repulsiva? (c) O que se pode dizer a respeito da força elétrica nas duas situações acima? 3. Um cabo coaxial simples é formado por duas cascas condutoras cilindricas finas, coaxiais e longas de raios a e b (b > a), carregando correntes estacionárias de mesmo módulo I, mas sentidos opostos. Utilizando a lei de Ampère, determine o campo magnético produzido pelo cabo (módulo, direção e sentido) em todo o espaço. 4. Um cilindro condutor maciço de raio a, com seu eixo orientado ao longo da direção OZ, carrega uma densidade de corrente dada por: J = 2I [ ( ] 0 r 2 πa 2 1 ẑ, r a a) 1

2 onde r é distância de um ponto em uma seção transversal do cilindro ao eixo e I 0 é uma constante positiva com dimensão de corrente. (a) Calcule a corrente total que atravessa a seção transversal do cilindro. (b) Calcule o campo magnético produzido pelo fio (módulo, direção e sentido) para pontos fora do cilindro (r > a). (c) Calcule o campo magnético produzido pelo fio para pontos dentro do cilindro (r a) (d) Faça um gráfico da intensidade de B como função de r e discuta o resultado. 5. Um fio infinito e inicialmente retilíneo é dobrado em 90 o, como mostrado na figura abaixo. Uma corrente estacionária I atravessa o fio no sentido indicado. (a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético produzido pelo fio dobrado (módulo, direção e sentido) no ponto P indicado na figura. (b) Verifique que o resultado corresponde à metade do valor obtido para o campo produzido por um fio infinito a uma distância a de seu eixo. Interprete este resultado. (c) Por que não podemos utilizar a lei de Ampère para o calcular o campo magnético neste problema? 6. Uma espira condutora quadrada de lado L carrega uma corrente estacionária de intensidade I com sentido indicado na figura abaixo. Escolhemos um eixo OX perpendicular ao plano da espira e passando pelo seu centro. 2

3 (a) Determine o vetor momento de dipolo magnético da espira. (b) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido por um dos lados da espira no ponto P indicado na figura. (c) Utilizando o resultado do item anterior, determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido pela espira no ponto P. (d) Encontre uma expressão assintótica para o resultado encontrado no item anterior no limite z L. Expresse seu resultado em termos do momento de dipolo magnético da espira e discuta o seu significado. 7. (PF-2017/1 adaptada) Um fio condutor infinito é formado por dois segmentos retilíneos semi-infinitos perpendiculares entre si e conectados por um trecho na forma de um arco de um quarto de circunferência de raio R, como mostrado na figura abaixo. Uma corrente estacionária I flui através do fio no sentido indicado. Com o sistema de eixos indicado na figura, um dos segmentos semi-infinitos é paralelo ao eixo OX e o outro é paralelo ao eixo OY. (a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético (módulo, direção e sentido) produzido pelo fio na origem do sistema de coordenadas, como indicado na figura. Sugestão: Calcule o campo de cada trecho do fio separadamente e utilize o princípio da superposição. (b) Verifique que a intensidade do campo produzido apenas pelos segmentos semi- 3

4 infinitos, juntos, é igual à produzida por um fio retilíneo infinito a uma distância R de seu eixo. Interprete este resultado. (c) Por que não podemos utilizar a lei de Ampère para calcular a contribuição mencionada no item acima? Sugestão: Considere o campo em um ponto diferente de O. 8. (SC-2017/1 adaptada) Uma placa condutora infinita de espessura d é posicionada paralelamente ao plano X Z de um sistema de coordenadas, de forma que seu plano médio coincide com este plano, como mostrado na figura abaixo. Ela possui uma densidade de corrente estacionária, na região interna à placa, dada por J = J 0 ẑ, onde J 0 é uma constante e ẑ é o unitário da direção OZ. (a) Utilizando argumentos de simetria e/ou de eletromagnetismo, determine a direção e o sentido do campo magnético produzido pela placa em todo o espaço. (b) Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético produzido pela placa em um ponto localizado fora da mesma. (c) Utilizando a lei de Ampère, determine a intensidade do campo magnético produzido pela placa em um ponto localizado dentro da mesma. 9. Um fio condutor, retilíneo e finito é posicionado paralelamente ao eixo OZ de um sistema de coordenadas cilíndricas, como mostrado na figura abaixo. Ele carrega uma corrente estacionária de intensidade I e sentido ao longo do eixo OZ positivo. (a) Utilizando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético (módulo, direcção e sentido) em um ponto P arbitrário, definido por sua distância d ao eixo do fio e os ângulos θ 1 e θ 2 na figura, que definem sua orientação com relação às extremidades do fio. (b) A partir do resultado do item anterior, obtenha o resultado obtido em aula para o campo magnético quando o ponto P está sobre um eixo perpendicular ao eixo do fio, passando por seu ponto médio. OBS: Note que o comprimento do fio é definido por θ 1, θ 2 e d. 4

5 (c) A partir do resultado do item (a), determine o campo magnético produzido por um fio infinito no ponto P. (d) A partir do resultado do item (a), determine o campo magnético produzido por um fio semi-infinito no ponto P, supondo que ele se estende infinitamente no sentido negativo do eixo OZ. Por que não podemos utilizar a lei de Ampère para obter este resultado? 10. Um fio condutor retilíneo e infinito tem uma seção transversal com a forma mostrada na figura abaixo. Ela é formada por um disco de raio R com um buraco, também na forma de disco, de raio R/2. A distância entre o centro do disco e o centro do buraco vale R/2, de forma que o buraco tangencia a circunferência do disco. Sabendo que uma corrente estacionária de intensidade I, uniformemente distribuída sobre a seção transversal, flui para fora do plano da figura, determine: (a) A intensidade da densidade de corrente no fio. (b) A intensidade do campo magnético produzido pelo fio nos pontos P 1 e P 2 indicados na figura. Sugestão: Utilize o princípio da superposição. 5