Campos Magnéticos produzidos por Correntes

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1 Cap. 29 Campos Magnéticos produzidos por Correntes Copyright

2 29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente O módulo do campo db produzido no ponto P a uma distância r por um elemento de corrente i ds é dado por onde θ é o ângulo entre as direções de ds e ȓ, um vetor unitário que aponta de ds para P. O símbolo μ 0 é uma constante, chamada de constante de permeabilidade, cujo valor é definida por ter o valor exato A direção de db, mostrada como sendo para dentro da página na figura, é aquele do produto vetorial ds ȓ. Podemos escrever a equação contendo db na forma vetorial como Esta equação vetorial e sua forma escalar são conhecidas como a Lei de Biot e Savart.

3 29-1 Campo Magnético produzido por uma Corrente Para um fio longo e reto carregando uma corrente i, a lei de Biot Savart fornece, para o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular R do fio, As linhas de campo magnético produzidas por uma corrente em um fio retilíneo longo são círculos concêntricos em torno do fio. Na figura, o sentido da corrente é para dentro do papel, como indica o símbolo. Regra da mão direita: Segure o fio na mão direita, com o polegar estendido apontando no sentido da corrente. Os outros dedos mostram a orientação das linhas de campo magnético produzidas pela corrente no fio. O módulo do campo magnético no centro de um arco circular, de raio R e ângulo central ϕ (em radianos), carregando uma corrente i, é

4 29-2 Forças Entre Duas Correntes Paralelas Fios paralelos carregando correntes no mesmo sentido atraem um ao outro, já fios paralelos carregando correntes em sentidos opostos se repelem mutuamente. O módulo da força num comprimento L de cada fio é onde d é a separação dos fios, e i a e i b são as correntes nos fios. O procedimento para encontrar a força num fio transportando corrente é este: Two parallel wires carrying currents in the same direction attract each other. Para determinar a força exercida sobre um fio percorrido por corrente por outro fio percorrido por corrente, determine primeiro o campo produzido pelo segundo fio na posição do primeiro; em seguida, determine a força exercida pelo campo sobre o primeiro fio. Similarmente, se as duas correntes fossem antiparalelas, poderíamos mostrar que os dois fios iriam se repelir. A rail gun, as a current i is set up in it. The current rapidly causes the conducting fuse to vaporize.

5 29-3 Lei de Ampère A lei de Ampere diz que A integral de caminho nesta equação é calculada em uma trajetória denominada de Amperiana. A corrente i ao lado direito é a corrente encerrada na trajetória. Apoie a palma da mão direita na amperiana, com os dedos apontando no sentido da integração. Uma corrente no sentido do polegar estendido recebe sinal positivo; uma corrente no sentido oposto recebe sinal negativo. Lei de Ampere aplicada a uma Amperiana arbitrária que engloba dois fios longos retilíneos mas exclui um terceiro fio. Note os sentidos das correntes. Campos Magnéticos de um fio longo e retilíneo percorrido por corrente: Uma regra da mão direita para a lei de Ampere para determinar os sinais das correntes englobadas pela Amperiana.

6 29-4 Solenoides e Toroides Campo Magnético de um Solenoide Figura (a) é um solenoide transportando uma corrente i. Figura (b) mostra uma seção através de uma porção de um solenoide esticado. O campo magnético do solenoide é um vetor soma dos campos produzidos pelas voltas individuais (enrolamentos) que constituem o solenoide. Para pontos muito próximos de uma volta, o fio se comporta quase como um fio longo e reto, e as linhas de B por lá são quase círculos concêntricos. Figura (b) sugere que o campo tende a se cancelar entre voltas adjacentes. Sugere também que em pontos dentro do solenoide e relativamente distante dos fios, B é aproximadamente paralelo ao eixo central do solenoide. (a) (b)

7 29-4 Solenoides e Toroides Campo Magnético de um Solenoide Vamos aplicar a lei de Ampere, Para um solenoide ideal (Fig. (a)), onde B é uniforme dentro do solenoide e zero fora dele, usando a Amperiana retangular abcda. Escrevemos como a soma de 4 integrais, uma para cada segmento: (a) A primeira integral à direita da equação é Bh, onde B é o módulo do campo uniforme B dentro do solenoide e h é o comprimento (arbitrario) do segmento de a até b. A segunda e quarta integrais são zero porque para cada elemento ds destes segmentos, B ou é perpendicular à ds ou é zero, e então o produto B ds é zero. A terceira integral, que é tomada ao longo do segmento que fica fora do solenoide, é zero porque B=0 em todos os pontos externos. Então, para toda a trajetória retangular tem valor Bh. Dentro de um soleoide longo transportando uma corrente i, nos pontos distantes das bordas, o módulo B do campo magnético é

8 29-4 Solenoides e Toroides Campo Magnético de um Toroide Figura (a) mostra um toroide, que descrevemos como um solenoide (oco) que foi curvado até que suas bordas se encontrassem, formando uma espécie de bracelete oco. Que campo magnético B é formado dentro do toroide (dentro do espaço oco do bracelete)? Podemos descobrir a partir da lei de Ampere e da simetria do bracelete. A partir da simetria, vemos que as linhas de B formam círculos concêntricos dentro do toroide, direcionadas como mostrado na Fig. (b). Escolhemos um círculo concêntrico de raio r como uma Amperiana e a percorremos no sentido horário. A lei de Ampere nos diz que onde i é a corrente nas voltas do toroide (e é positiva para aquelas voltas englobadas pela Amperiana) e N é o total de voltas. Isto nos dá Em contraste com o solenoide, B não é constante ao longo da seção de um toroide.

9 29-5 A Bobina Plana como um Dipolo Magnético O campo magnético produzido por uma espira transportando corrente, que é um dipolo magnético, num ponto P localizado a uma distância z ao longo do eixo central é paralelo ao eixo e é dado por Aqui μ é o momento de dipolo da espira. Esta equação se aplica somente quando z é muito maior que as dimensões da espira. Temos dois jeitos de enxergar uma espira transportadora de corrente como um dipolo magnético: (1) Experimenta um torque quando colocada em um campo magnético externo. (2) Gera seu próprio campo magnético intrínseco, dado, para pontos distantes ao longo de seu eixo pela equação acima. A figura mostra o campo magnético de uma espira; um lado da espira se comporta como polo norte (na direção de μ)

10 29 Sumário A Lei de Biot-Savart O campo magnético formado por um condutor de corrente pode ser calculado pela lei de Biot Savart. A grandeza μ 0, chamada de permeabilidade, tem o valor Eq Campo Magnético de um Fio Longo, Retilíneo Para um fio reto e longo percorrido por uma corrente i, a Lei de Biot Savart diz que, Eq Campo Mag. de um Arco Circular O módulo do campo magnético no centro de um arco de circunferência, Lei de Ampere A Lei de Ampere diz que, Eq Força Entre Correntes Paralelas O módulo da força num trecho L de ambos os fios é Eq Eq

11 29 Sumário Campos Magnéticos de um Solenoide e um Toroide No interior de um solenoide percorrido por uma corrente i, em pontos não muito próximos das extremidades, o módulo de B é Eq Em um ponto no interior de um toroide, o módulo de B é Campo de um Dipolo Magnético O campo magnético produzido por uma bobina plana, que se comporta como um dipolo magnético em um ponto P localizado a uma distância z do centro da bobina, é paralelo ao eixo central, é dado por Eq Eq

12 29 Exercícios Halliday 10ª. Edição Cap. 29: Problemas 1; 4; 11; 16; 21; 29; 35; 44; 51; 57

13 29 Problema 29-1 Um topógrafo está usando uma bússola magnética 6,1 m abaixo de uma linha de transmissão que conduz uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o campo magnético produzido pela linha de transmissão na posição da bússola? (b) Esse campo tem uma influência significativa na leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da Terra no local é 20 μt.

14 29 Problema 29-4 Um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i = 5,0 A se divide em dois arcos semicirculares, como mostra a Fig Qual é o campo magnético no centro C da espira circular resultante?

15 29 Problema Na Fig , dois fios retilíneos, longos, são perpendiculares ao plano do papel e estão separados por uma distância d 1 = 0,75 cm. O fio 1 conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no ponto P, situado a uma distância d 2 = 1,50 cm do fio 2.

16 29 Problema Na Fig , duas espiras circulares, concêntricas, que conduzem correntes no mesmo sentido, estão no mesmo plano. A espira 1 tem 1,50 cm de raio e conduz uma corrente de 4,00 ma. A espira 2 tem 2,50 cm de raio e conduz uma corrente de 6,00 ma. O campo magnético B no centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira 2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o ângulo de rotação da espira 2 para que o módulo do campo B seja 100 nt?

17 29 Problema A Fig mostra, em seção reta, dois fios retilíneos muito longos, ambos percorridos por uma corrente de 4,00 A orientada para fora do papel. A distância entre os fios é d 1 = 6,00 m e a distância entre o ponto P, equidistante dos dois fios, e o ponto médio do segmento de reta que liga os dois fios é d 2 = 4,00 m. Determine o módulo do campo magnético total produzido no ponto P pelos dois fios.

18 29 Problema Na Fig , quatro fios longos, retilíneos, são perpendiculares ao papel, e suas seções retas formam um quadrado de lado a = 20 cm. As correntes são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem uma corrente de 20 A. Na notação dos vetores unitários, qual é o campo magnético no centro do quadrado?

19 29 Problema A Fig mostra o fio 1 em seção reta; o fio é longo e retilíneo, conduz uma corrente de 4,00 ma para fora do papel e está a uma distância d 1 = 2,40 cm de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao fio 1 e também longo, está na superfície a uma distância horizontal d 2 = 5,00 cm do fio 1 e conduz uma corrente de 6,80 ma para dentro do papel. Qual é a componente x da força magnética por unidade de comprimento que age sobre o fio 2?

20 29 Problema A Fig mostra duas curvas fechadas envolvendo duas espiras que conduzem correntes i 1 = 5,0 A e i 2 = 3,0 A. Determine o valor da integral (a) para a curva 1 e (b) para a curva 2.

21 29 Problema Um solenoide de 200 espiras com 25 cm de comprimento e 10 cm de diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo do campo magnético no interior do solenoide.

22 29 Problema Um estudante fabrica um pequeno eletroímã enrolando 300 espiras de fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d = 5,0 cm. A bobina é ligada a uma bateria que produz uma corrente de 4,0 A no fio. (a) Qual é o módulo do momento dipolar magnético do eletroímã? (b) A que distância axial z >> d o campo magnético do eletroímã tem um módulo de 5,0 μt (aproximadamente um décimo do campo magnético da Terra)?