CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO. Prof.

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA I ROTAÇÃO Prof. Bruno Farias

2 Introdução Neste capítulo vamos aprender: Como descrever a rotação de um corpo rígido em termos da coordenada angular, velocidade angular e da aceleração angular. Analisar a rotação de um corpo rígido quando a aceleração angular é constante. O significado do momento de inércia de um corpo em torno de um eixo de rotação e como ele se relaciona com a energia cinética na rotação. Como calcular o momento de inércia de vários corpos. O que significa o torque produzido por uma força.

3 Introdução Nos capítulos anteriores, estudamos apenas os movimentos de translação (movimento linear), em que um objeto se move ao longo de uma linha reta ou curva. No presente capítulo, vamos investigar os movimentos de rotação, em que um objeto gira em torno de um eixo. Translação Rotação

4 Introdução Vamos examinar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo. Um corpo rígido é um corpo que pode girar com todas as partes ligadas rigidamente e sem mudar de forma. Um eixo fixo significa um eixo que não muda de posição. Nosso estudo inicia-se com uma discussão sobre os equivalentes angulares das grandezas lineares posição, deslocamento, velocidade e aceleração.

5 Posição Angular Para determinarmos a posição angular θ usamos uma reta de referência, fixa ao corpo, que é perpendicular ao eixo de rotação e que gira com o corpo. O ângulo θ que essa reta de referência faz com o eixo +Ox descreve a posição da rotação do corpo rígido. Através da geometria, θ é dado por s é o comprimento de um arco e r é o raio da circunferência.

6 Um ângulo θ como definido anteriormente, deve ser medido em radianos (rad). Um radiano (1 rad) é o ângulo subtendido quando o comprimento de arco relativo a esse ângulo for igual ao raio da circunferência considerada. Um ângulo em radianos pode ser convertido para graus ou revoluções através das seguintes expressões:

7 Deslocamento Angular Quando o corpo gira em torno de eixo de rotação, com posição angular da reta de referência variando de θ1 para θ2, o corpo sofre um deslocamento angular Δθ dado por O deslocamento angular Δθ de um corpo em rotação pode ser positivo ou negativo, de acordo com a seguinte regra:

8 Velocidade Angular Definimos a velocidade angular média ω méd do corpo em um intervalo de tempo Δt = t 2 t 1 como a razão entre o deslocamento angular Δθ = θ 2 θ 1 e o intervalo de tempo Δt:

9 A velocidade angular instantânea ω é o limite de ω méd quando Δt tende a zero, ou seja, a derivada de θ em relação a t: Quando o ângulo θ é medido em radianos, a unidade de velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Outras unidades frequentemente usadas são a revolução por segundo (rev/s) e a revolução por minuto (rev/min ou rpm).

10 O módulo da velocidade angular é chamado de velocidade angular escalar, e também é representado por ω. A velocidade angular ω de um corpo rígido em rotação pode ser positiva ou negativa, dependendo de o corpo estar girando no sentido anti-horário (positivo) ou horário (negativo).

11 Velocidade Angular como um Vetor Tanto ω méd como ω são vetores. Podemos representar a velocidade angular do disco como vetor ω apontando ao longo do eixo de rotação, como na figura abaixo. O sentido do vetor ω é determinado usando a regra da mão direita. Para representarmos o módulo do vetor ω escolhemos o módulo do mesmo de acordo com uma escala conveniente, como, por exemplo, 1 cm para cada 10 rad/s.

12 Aceleração Angular Quando a velocidade angular de um corpo rígido varia, ele possui uma aceleração angular. Sejam ω 2 e ω 1 as velocidades angulares nos instantes t 2 e t 1, respectivamente. A aceleração angular média (α méd ) do corpo no intervalo de tempo Δt = t 2 t 1 é definido por A aceleração angular instantânea (α) é o limite de (α méd ) quando Δt tende a zero:

13 A unidade usual de aceleração angular é o radiano por segundo ao quadrado (rad/s 2 ). Outra unidade frequentemente usada é a revolução por segundo ao quadrado (rev/s 2 ).

14 Aceleração Angular como um Vetor Tanto α méd como α são vetores. O vetor α é a derivada no tempo do vetor velocidade angular ω. Assim, α está orientada na mesma direção de ω quando a rotação é acelerada e no sentido contrário quando a rotação é retardada.

15 OBSERVAÇÃO: Neste capítulo consideramos apenas rotações em torno de um eixo fixo. Nesse caso, não precisamos trabalhar com vetores; podemos representar a velocidade angular através de um escalar ω, a aceleração angular através de um escalar α e usar o sinal positivo para indicar o sentido anti-horário e o sinal negativo para indicar o sentido horário.

16 Exemplo

17 Rotação com Aceleração Angular Constante A aceleração angular constante é um caso especial importante de movimento de rotação pura. Tal tipo de movimento, pode ser descrito através de um conjunto de equações análogo ao caso das translações puras.

18 Exemplo Você acabou de assistir a um filme em DVD, e o disco está diminuindo a rotação para parar. A velocidade angular do disco é igual a 27,5 rad/s no instante t = 0 e sua aceleração angular é constante e igual a -10 rad/s 2. Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo +Ox no instante t = 0. a) Qual é a velocidade angular do disco no instante t = 0,3 s? b) Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo +Ox nesse instante?

19 Exercício

20 Relacionando as Variáveis Lineares e Angulares Como podemos achar a velocidade linear e a aceleração de um dado ponto em corpo girando? Frequentemente precisaremos responder a tal pergunta e para isso é necessário relacionarmos as variáveis lineares s, v e a às variáveis angulares θ, ω e α. Posição Linear Se o corpo gira de um ângulo θ, o ponto descreve um arco de círculo de comprimento s dado por onde θ está em radianos.

21 Velocidade Linear A velocidade linear v do ponto é tangente à circunferência; a velocidade escalar linear v do ponto é dada por onde ω é a velocidade angular escalar (em rad/s) do corpo.

22 Aceleração A aceleração linear a do ponto tem uma componente tangencial e uma componente radial. A componente tangencial é dada por onde α é o módulo da aceleração angular (em rad/s 2 ) do corpo. A componente radial de a é

23 Energia Cinética de Rotação Um corpo rígido é constituído por massas em movimento, logo ele possui energia cinética. Para determinarmos a energia cinética do corpo rígido somamos a energia cinética de todas as partículas que compõem o corpo, assim onde m i é a massa da partícula i e v i e a velocidade da partícula. Lembrando que v i = r i ω, podemos escrever onde ω é igual para todas as partículas.

24 A grandeza entre parênteses é denominado de momento de inércia I, logo temos que A unidade de I no SI é o quilograma-metro quadrado (kg m 2 ) Em termos do momento de inércia, podemos expressar a energia cinética de rotação na forma

25 O momento de inércia I, depende como a massa do corpo é distribuída em relação ao eixo de rotação do mesmo. Quanto maior for o momento de inércia do um corpo, mais difícil será fazê-lo girar a partir do repouso e mais difícil será fazê-lo parar quando estiver girando.

26 Quando o corpo é uma distribuição contínua de matéria, como um cilindro maciço ou uma placa, a usada para calcular o momento de inércia se transforma numa integral e definimos I como Na tabela seguinte é apresentado o momento de inércia de formas familiares em termos da massa e das dimensões do corpo.

27

28 Teorema dos Eixos Paralelos O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de inércia I de um corpo em torno de qualquer eixo ao momento de inércia I CM do mesmo corpo em torno de um eixo paralelo ao primeiro passando pelo centro de massa: onde h é a distância perpendicular entre os dois eixos e M é a massa do corpo.

29 Exemplo A figura (a) abaixo mostra um corpo rígido composto por duas partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e massa desprezível. a) Qual é o momento de inércia I CM em relação a um eixo passando pelo centro de massa e perpendicular à barra, como mostra a figura? b) Qual é o momento de inércia I do corpo em relação a um eixo passando pela extremidade esquerda da barra e paralelo ao primeiro eixo (figura b)?

30 Exemplo

31 Exercício A figura abaixo mostra um satélite de comunicações, que é um cilindro maciço de 1210 kg com 1,21 m de diâmetro e 1,75 m de comprimento. Antes do lançamento a partir do compartimento de carga do ônibus espacial, o satélite é posto para girar a 1,52 rev/s em torno do eixo longitudinal. Quais são (a) seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e (b) sua energia cinética de rotação?

32 Exercício Uma das peças de uma articulação mecânica (figura abaixo) possui massa igual a 3,6 kg. Medimos seu momento de inércia em relação a um eixo situado a uma distância de 0,15 m do seu centro de massa e encontramos o valor de I P = 0,132 kg m 2. Qual é o momento de inércia I CM em relação a um eixo paralelo que passa pelo centro de massa?

33 Torque O torque (τ) fornece uma medida quantitativa de como a ação de uma força F pode provocar ou alterar o movimento de rotação de um corpo. A figura mostra uma seção reta de um corpo que está livre para girar em torno de um eixo passando em O e perpendicular à seção reta. Uma força F é aplicada no ponto P, cuja posição em relação a O é definida por um vetor posição r. O módulo do torque aplicado por F em torno de O é dado por onde φ é ângulo entre F e r.

34 Existem duas formas equivalentes de calcular o torque: onde r é a distância perpendicular entre o eixo de rotação que passa por O e uma reta que coincide com a direção do vetor F. Esta reta é chamada de linha de ação de F, e r é o braço de alavanca de F.

35 A unidade de torque no SI é o newton-metro (N m). Se o corpo gira no sentido anti-horário, o torque é positivo. Se o torque fizer o objeto girar no sentido horário, ele é negativo. O torque é uma grandeza vetorial que é genericamente definida por

36 A direção de τ é simultaneamente perpendicular a r e F. Em particular, quando r e F estão localizados em um plano perpendicular ao eixo de rotação, então o vetor torque τ = r F possui a mesma direção do eixo de rotação, sendo seu sentido dado pela regra da mão direita.

37 Exemplo Um bombeiro hidráulico, incapaz de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço de tubo de sucata (uma alavanca ) sobre a haste da chave de grifa. A seguir ele usa seu peso todo de 900 N, ficando em pé na extremidade da alavanca. A distância entre o centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a 0,8 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19º com a horizontal (figura abaixo). Calcule o módulo, a direção e o sentido do torque que ele aplica em torno do centro da conexão do tubo.

38 Os torques obedecem ao princípio de superposição que discutimos anteriormente para forças; quando vários torques atuam sobre um corpo, o torque resultante é a soma dos torques individuais. O símbolo de torque resultante é τ res.

39 A segunda lei de Newton para Rotações A segunda lei de Newton para as rotações é onde τ res é o torque resultante que age sobre a partícula ou corpo rígido, I é o momento de inércia da partícula ou do corpo em torno do eixo de rotação e α é a aceleração angular em torno do eixo.

40 Trabalho e Energia Cinética de Rotação Quando um torque acelera um corpo rígido em torno de um eixo fixo, o torque realiza um trabalho W sobre o corpo. Podemos relacionar a variação da energia cinética de rotação K ao trabalho W através da versão rotacional do teorema do trabalho e energia cinética: onde I é o momento de inércia do corpo em torno do eixo de rotação e ω i e ω f são velocidades angulares.

41 O trabalho executado em uma rotação pode ser calculado usando a seguinte equação: onde τ é o torque responsável pelo trabalho W e θ i e θ f são posições angulares. Quando τ é constante a equação acima se reduz a

42 A potência, que é a taxa com a qual o trabalho é realizado, pode ser obtido através da equação:

43

44 Exemplo Uma roda de 32 kg, essencialmente um aro fino com 1,2 m de raio, está girando a 280 rev/min. Ela precisa ser parada em 15 s. (a) Qual é trabalho necessário para fazê-lo parar? (b) Qual é potência média necessária?

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