Aula-09 Campos Magnéticos Produzidos por Correntes

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1 Aula-09 ampos Magnéticos Produzidos por orrentes

2 Lei de Biot - Savart De maneira análoga à que o campo elétrico d E produzido por cargas é: d E= 1 dq 4 πε 0 r ^r= 1 dq 2 4 πε 0 r r 3 d o campo magnético produzido por cargas em movimento (correntes) é: d = μ o i d l r 4 π r 3 onde d l é um elemento de comprimento sobre a linha de corrente, r é um vetor que vai de i dl até o ponto P e μ 0 =4 π 10 7 T m T m A 1, é a permeabilidade do vácuo. A

3 ampo num ponto P qualquer z d = μ o 4 π id l r r 3 l id r P d l ^r id %mu 0 4 π = y x (Lei de Biot-Savart)

4 Linhas de ampo Magnético As linhas de campo magnético são linhas a partir das quais pode-se visualizar a configuração do campo magnético de uma dada distribuição de correntes no espaço. No entorno de um fio longo transportando uma corrente, elas são da forma: Observe que as linhas de são fechadas.

5 Mas: ampo magnético de um fio retilíneo longo com corrente i A lei de Biot-Savart db= μ o 4 π i ds sin θ r 2 r 2 =R 2 +s 2 tanθ= R s ds= d = μ o 4 π Integrando-se em θ tem-se: π μ 0 i B= 0 4 π sin θ R /sin2 θ R 2 /sin 2 θ dθ = R sin 2 θ dθ Sentido do campo : dado pela regra da mão direita (ver figura) Id { l r } r 3 μ 0 i 2 π R B = se reduz a: μ 0 i 4 π R (fio semiinfinito) B

6 devido a uma corrente em um arco circular campo magnético no ponto para os segmentos 1 e 2 da figura (a) d s r é nulo (vetores paralelos e anti-paralelos) no segmento 3 são perpendiculares entre si. d s e r Neste caso: B= μ 0 iφ 4 π R, onde φ pelo arco. é o ângulo subentendido

7 Exemplo Dois fios transportam correntes i 1 e i 2 em sentidos contrários. Obter a intensidade, direção e sentido de em P. Adote i 1 =15A, i 2 =32A e d=5,3cm. Intensidade de cada campo: Módulo de B n = μ 0 i n 2π d cos45 0, n=1,2 μ 0 B= i 2 2 π d cos i 2 2 =1, T 190 μt A fase φ= arctan( B 1 B 2 ) =arctan ( 15 A 32 A ) =250 faz um ângulo com o eixo x dado por : φ =70 0

8 Força entre dois condutores com correntes A corrente do fio a gera um campo na posição do fio b: a = a μ 0 4 π i a d l a ^r r 2 O fio a produz no fio b uma força dada por: d F ba =i b d l b a Para dois fios paralelos, a força sobre um comprimento L do fio b vale: F ba =i b L a F ba L =i b B a sin90o = F μ 0 i b i a 2 π d Esta expressão possibilita a do ampère. definição B a = μ 0 i a 2πd d F = ba= μ 0 i b i a ba b 4 π b d l b ( a d l a r r 3 )

9 anhão sobre trilhos Força magnética como acelerador de projéteis orrente percorre os trilhos condutores ligados por um fusível condutor que se funde ao se estabelecer corrente criando um gás condutor. A expansão do gás empurra o projétil!

10 ircuitação de um campo vetorial ada linha de é uma curva fechada. A determinação de pode ser feita em termos da sua circuitação. i r d l θ dφ θ Intensidade de : d l = Bdlcos θ B= μ 0 I 2 π R rdφ=dl cosθ cosθ= rdφ dl Bdlcos θ= Br dφ= μ 0 i 2 π r r dφ= μ 0 i 2 π dφ =μ 0 i

11 A lei de Ampère A lei de Ampère é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo magnético devido a uma distribuição de correntes depende da simetria do problema. d l =μ o i env (lei de Ampère) Da figura ao lado tem-se: i env =i 1 i 2 Então: Bdlcos θ=μ 0 (i 1 i 2 ) d l =μ o (i 1 i 2 )

12 ampo magnético fora de um fio retilíneo longo com corrente possui simetria cilíndrica em torno do fio e a mesma intensidade em todos os pontos a uma distância r do mesmo. urva 1 ( r>r ): 1 d l = Bdlcos θ =μ 0 i 0 é paralelo a 1 d l θ=0 0 cosθ=1 1 Bdlcos θ =B 1 Da lei de Ampère: dl=b(2 π r ) B= μ 0 I 0 2 π r (fora do fio)

13 ampo magnético no interior de um fio longo de raio R urva 2 ( r R ) : 2 Bdlcos θ =B 2 dl=b(2 πr) A corrente envolvida pela curva 2 (de raio r) é: i env =I 0 π r 2 π R 2 π r 2 B(2 π r)=μ 0 i env =μ 0 I 0 (dentro do fio) π R 2 B= μ 0 I 0 2 π R r 2 O sentido de é dado pela regra da mão direita.

14 Gráfico da intensidade de de um fio retilíneo longo com corrente Para r R : B= μ 0 i 2 π R 2 r Para r R : B= μ 0 i 2 π r

15 Solenóides e Toróides Um fio longo enrolado formando uma bobina em espiral é chamado de solenóide. O campo magnético do solenóide é a soma vetorial dos campos produzidos por cada uma das voltas do fio que o forma. Solenóide compacto Solenóide esticado

16 Solenóides e Toróides O campo no interior de um solenóide é praticamente uniforme. As figuras abaixo mostram um solenóide ideal e um solenóide real. Em ambos os casos os campos fora do solenóide são fracos, em comparação com os do interior. Aplicando-se a lei de Ampère à curva abcd, havendo N voltas num comprimento h do solenóide: b c d a d l = d l + d l + d l + d l =μ 0 i env ; a b c d (n= N h ) B=nμ 0 i 0 i env =i 0 ( nh)

17 ampo de um toróide A figura mostra o enrolamento de um toróide de N voltas, transportando uma corrente I. é diferente de zero apenas no interior do toróide. Sua intensidade varia com r. Aplicando-se a lei de Ampère para a curva tracejada em azul, tem-se: d l =μ 0 I N d l =B(2 π r ) B= Nμ 0 i (toróide) 2 πr N Note que como 2 πr n, esta expressão é parecida à do campo de um solenóide enrolado.

18 ampo magnético de uma bobina O campo de uma bobina não tem simetria suficiente para ser calculado pela lei de Ampère. Usaremos a lei de Biot-Savart para calcular em pontos do eixo central da espira. Temos: d ( z)=d{ } +d { B } d omo a soma vetorial dos B( z)= db = db cos α db= μ 0 i 4 π ds r 2 sin (900 ) se anula: r 2 =R 2 +z 2 e cosα= R r = R R 2 +z 2 Substituindo essas três relações na integral de B(z) tem-se: μ 0 ir B( z)= db = ds B( z)= μ 0iR 2 4 π ( R 2 +z 2 ) 3/2 espira 2( R 2 +z 2 ) 3/2

19 ampo magnético de uma bobina Vimos: B( z)= μ 0iR 2 B( z) μ 0i R 2 2( R 2 +z 2 ) 3/2 Para pontos afastados ( z>> R ): 2 z 3 π R 2 =A μ=ia ^n Lembrando que é a área da espira e é o seu momento magnético: B( z)= μ 0 2 π NiA z 3 ( z)= μ 0 2 π μ z 3 (A bobina se comporta como um ímã)