raio do arco: a; ângulo central do arco: θ 0; carga do arco: Q.

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1 Sea um arco de circunferência de raio a e ângulo central carregado com uma carga distribuída uniformemente ao longo do arco. Determine: a) O vetor campo elétrico nos pontos da reta que passa pelo centro do arco e é perpendicular ao plano que contém o arco; b) O vetor campo elétrico no centro de curvatura do arco; c) O vetor campo elétrico quando o ângulo central tende a zero. Dados do problema raio do arco: a; ângulo central do arco: ; carga do arco:. Esquema do problema O vetor posição r vai de um elemento de carga do aro d q até o ponto P onde se desea calcular o campo elétrico, o vetor r q localiza o elemento de carga em relação à origem do referencial e o vetor r p localiza o ponto P, assim pela figura -A r = r p r q figura Pela geometria do problema devemos escolher coordenadas cilíndricas (figura -B), o vetor r q, que está no plano yz, é escrito como r q = y z k e o vetor r p só possui componente na direção i, r p = x i (ao contrário do que se faz usualmente onde o vetor r q está no plano xy e o eixo do cilindro na direção k), então o vetor posição será r = x i y z k r = x i y z k (I) Da expressão (I) o módulo do vetor posição r será r = x y z r = x y z (II) onde x, y e z, em coordenadas cilíndricas, são dados por x = x, y = a cosθ, z = a senθ (III)

2 Solução a) O vetor campo elétrico é dado por dq r r r 4π dq r r (IV) Da expressão da densidade linear de carga (λ) obtemos o elemento de carga d q = d q d s d q = d s (V) onde d s é um elemento de arco de ângulo d θ do arco (figura ), assim d s = a d θ substituindo (VI) em (V) d q = a d θ substituindo (I), (II) e (VII) em (IV), temos a d θ [ x y z ] x i y z k a d θ x i y z k x y z (VI) figura (VII) (VIII) substituindo as expressões de (III) em (VIII), vem a d θ [ x a cosθ a senθ ] a d θ [ x a cos θa sen θ ] a d θ 4 π [ x a cos θsen θ a d θ x a ] x i a cosθ a senθ k x i a cos θ a senθ k x i a cosθ a senθ k x i a cosθ a senθ k Como a densidade de carga λ e o raio a são constantes, e, a integral não depende de x, depende apenas de θ, eles podem sair da integral, e sendo a integral da soma igual a soma das integrais podemos escrever a 4 π x d θ i a cosθ d θ a senθ d θ k x a

3 Como existe simetria podemos dividir o ângulo central em duas partes medindo no sentido horário e (figura ), assim os limites de integração serão e a x 4 π x a d θ i a θ cos θ d θ a θ no sentido anti-horário senθ d θ k figura d θ d θ = = = = cosθ d θ cosθ d θ = senθ = sen sen a função seno é uma função ímpar, quer dizer f x = f x, então, sen = sen cosθ d θ = sen [ sen ] = sen sen = sen senθ d θ senθ d θ = cosθ = [ cos cos ]

4 a função cosseno é uma função par, quer dizer f x = f x, então, cos = cos senθ d θ = [ cos cos ] = a x a 4 π a x a x θ i asen k x θ i asen (IX) Observação: a integral na direção k é igual a zero porque um elemento de carga d q, produz num ponto, um elemento do campo que pode ser decomposto em elementos d E x, d E y e d E z (figura 4-A). Um outro elemento de carga colocado numa posição simétrica produz, no mesmo ponto, um outro elemento do campo que pode ser decomposto em elementos d E x, d E y e d E z (figura 4-B), assim os elementos na direção k se anulam e apenas os elementos nas direções i e contribuem para o campo total. figura 4 A carga total do arco é e o seu comprimento é a, assim a densidade linear de carga pode ser escrita = a (X) substituindo (X) em (IX) a x a a x θ i asen x θ i a sen x a x a x i a sen figura 5 b) No centro de curvatura temos x =, substituindo na solução do item anterior, temos 4

5 a a i a sen a sen sen a figura 6 c) uando o ângulo central tende a zero ( ), o arco tende a uma carga pontual, aplicando o limite à solução do item anterior, obtemos (figura 7) E = lim sen a invertendo o termo e passando para o denominador, escrevemos E = lim a sen x lembrando do Limite Fundamental lim x x sen = figura 7 4π a sen lim E = 4π a e o resultado se reduz ao vetor campo elétrico de uma carga pontual. 5