Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por V L = L d i e entre os pontos C e D da d.d.p. no capacitor é dada por

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1 Um circuito elétrico LC é composto por um indutor de mh e um capacitor de 0,8 μf e é alimentado por uma fonte de tensão alternada V = 9 cos.10 4 t V. A carga inicial do capacitor é de 30 μc e a corrente no circuito é nula, determine: a) A variação da carga no capacitor; b) A variação da corrente no circuito. Dados do problema indutor: L = mh =.10 3 H ; capacitor: C = 0,8 F = F ; f.e.m.: V = 9 cos.10 4 t V ; carga inicial no capacitor (t = 0): q 0 = 30 C = 3,.10 4 C ; corrente inicial no circuito (t = 0): i 0 = 0. Esquema do problema Admitimos que inicialmente o capacitor está carregado com carga máxima ( q máx = q 0 ) e a corrente no circuito é nula ( i 0 = 0 ). A partir deste instante a fonte alimenta o circuito com uma uma corrente que varia senoidalmente, a carga no capacitor diminui enquanto a corrente no circuito aumenta (figura 1). Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema: figura 1 q0 = 3,.10 4 C i 0 = 0 = 0 Solução a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff, temos (figura ) n i = 1 V i = 0 Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por V L = L d i e entre os pontos C e D da d.d.p. no capacitor é dada por V C = q C, estas devem ser igual a f.e.m. fornecida pela fonte, assim figura V L V C V = 0 V L V C = V L d i q C = V como corrente é a variação da carga no tempo, i = L d q C = V L d q q C = V, re-escrevemos 1

2 esta é uma Equação Diferencial Ordinária Não-Homogênea de. a Ordem. Dividindo toda a equação pela indutância L, temos substituindo os valores dados no problema d q 1 LC q = V L d q q = cos.10 4 t 3 d q q = 4, cos.10 4 t 10 d 10 q 1.10 q = 4, cos.10 4 t 16 d q 6, q = 4, cos.10 4 t (I) a solução desta equação será q = q h q p (II) onde q h é a solução da equação homogênea (igualando a zero) e q p é a solução particular levando em consideração a função do lado direito da igualdade (no caso a f.e.m. aplicada ao circuito). Solução homogênea d q h 6, q h = 0 (III) a solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições q h = e t h = e t d q h = e t e t 6, e t = 0 e t 6, = 0 6, = 0 e t 6, = 0 esta é a Equação Característica que tem como solução = 6, = 6, , =±, i onde i = 1, a solução da expressão (III) é escrita como q h = C 1 e 1 t C e t q h = C 1 e, i t C e, i t

3 onde C 1 e C são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e iθ = cosθi senθ q h = C 1 cos, ti sen, t C cos, t i sen, t q h = C 1 cos, tic 1 sen, tc cos, t ic sen, t coletando os termos em seno e cosseno, temos q h = C 1 C cos, t ic 1 ic sen, t q h = C 1 C cos, ti C 1 C sen, t definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C, ficamos com C 1 C e i C 1 C q = cos, t sen, t (IV) multiplicando e dividindo esta expressão por q h = fazendo as seguintes definições q h = cos, t sen, t A, cosφ cos, t sen, t e senφ q h = A cos φ cos, tsenφ sen, t Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica oos a b = cosa cos bsena senb q h = A cos, t φ (V) Solução particular d q p 6, q p = 4, cos.10 4 t (VI) A solução deste tipo de equação é encontrada tomando-se a equação igual à função do lado direito da igualdade. Como neste caso o lado direito é uma função cosseno, a solução particular deve ser uma função cosseno, fazendo as seguintes substituições, onde D é uma constante q p = D cos.10 4 t derivada primeira de q p = D cos.10 4 t 3

4 a função q p ( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo p [v t ] = p com q p v = D cos v e v t =.10 4 t, assim as derivadas serão p = D sen v = D sen.10 4 t e =.10 4 p =.10 4 D sen.10 4 t (VII) derivada segunda de q p = D cos.10 4 t d q h = d.104 D sen.10 4 t a função q p ( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo p [v t ] = p com q p v =.10 4 D cos v e v t =.10 4 t, assim as derivadas serão p =.10 4 D sen v =.10 4 D sen.10 4 t e =.10 4 d q h = D sen.10 4 t = D cos.10 4 t (VIII) substituindo as expressões (VII) e (VIII) acima em (VI) D cos.10 4 t6, D cos.10 4 t = 4, cos.10 4 t, D = 4, assim a solução particular será D = 4,5.10 3, D =.10 5 q p =.10 5 cos.10 4 t (IX) substituindo as expressões (V) e (IX) em (II), obtemos q = A cos, t φ.10 5 cos.10 4 t (X) onde A e φ são constantes de integração determinadas pelas Condições Iniciais, derivando a expressão (III) em relação ao tempo, obtemos 4

5 derivação de q = A cos, t φ.10 5 cos.10 4 t a função q( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo [utv t ] = d u d u com qu = cos u e ut =, t φ, assim as derivadas serão d u = sen u = sen, t φ e d u =, o segundo termo na soma do lado direito da igualdade tem a mesma forma da derivada primeira calculada acima = sen.10 4 t = 0,4 sen.10 4 t = A sen, t φ., ,4 sen.10 4 t =, A sen, t φ 0,4 sen.10 4 t (XI) substituindo as Condições Iniciais em (X) e (XI), temos q0 = 3,.10 4 = A cos, φ.10 5 cos ,.10 4 = A cos φ.10 5 cos 0 como o cosseno é uma função par temos cosφ = cos φ e cos0 = 1 e a expressão acima fica 0 3, = A cos φ 3, ,.10 4 = A cos φ 4 = A cos φ (XII) = 0 =, A sen, φ 0,4 sen =, A sen φ 0,4 sen 0 como o seno é uma função ímpar senφ = sen φ e sen0 = 0 ficamos com isolando o valor de A na expressão (XII) 0 =, A sen φ (XIII) A = 4 cosφ (XIV) e substituindo em (XIII), obtemos 0 =, cosφ. senφ 5

6 0 = tgφ φ = arc tg0 φ = 0 substituindo o valor de φ em (VII) 4 A = cos0 4 A = 1 A = 4 substituindo estas constantes na expressão (X), temos qt = cos, t.10 5 cos.10 4 t b) A corrente será dada pela derivada da carga em função do tempo i = a derivada é dada pela expressão (XI), substituindo as constantes A e φ obtidas acima, temos i t = =, sen, t 0 0,4 sen.10 4 t i t = = 7,5 sen, t 0,4 sen.10 4 t 6