Circuitos Elétricos II

Transcrição

1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Introdução Definição da Transformada de aplace Propriedades da Transformada de aplace 1

2 Introdução à Transformada de aplace 2

3 Introdução à Transformada de aplace R i(t) Aplicação das eis de Kirchhoff: + e () g t ( t 0 ) t0 v C C e g (t) vários tipos de excitação t 1 di( t) Ri( t) i( t) dt vc( t0 ) eg( t) C dt Equação íntegro-diferencial Derivando: Solução do circuito: depende da energia inicial armazenada v c (t 0 ) e i(t 0 ) condições iniciais ( ) ( ) ( ) de () g t 2 d i t di t i t R 2 dt dt C dt Equação diferencial não homogênea de segunda ordem 3

4 Introdução à Transformada de aplace 4

5 Introdução à Transformada de aplace Solução no Domínio da Frequência Complexa 5

6 Introdução à Transformada de aplace variável t { } Transformada de aplace variável - 1 { } i( t) s v( t) Antitransformada de aplace sistema íntegrodiferencial sistema linear t - tempo (real) s frequência (complexa) 6

7 Definição da Transformada de aplace 0 st f ( t) F( s) f ( t) e dt (Transformada de aplace unilateral) Sendo: f (t) = função no domínio do tempo, com f (t) = 0 ( para t < 0 ) segundos s = + j = frequência [1/s] variável complexa Domínio do tempo Domínio da frequência complexa 7

8 Sobre a Transformada de aplace 8

9 Transformada de aplace de Funções Função de Heaviside ou Função Degrau u(t) 1 st 1 st u( t) 1 e dt e 0 0 s (0) (1) s s s t 0 H( t) u( t) 0, t 0 0 u( t) U( s) 1e st dt 1 s 1, t 0 9

10 Transformada de aplace de Funções Função Exponencial at at st e u() t e e dt ( sa) t e 0 s a s a 1 s a ( ) ( ) 0 at st f t F s e e dt 10

11 Transformada de aplace de Funções Função Exponencial As duas funções possuem a mesma transformada de aplace, porque a integral é calculada a partir de t=0-11

12 Transformada de aplace de Funções Função Impulso (ou Delta de Dirac) d (t) 0 t d ( t) 0, para t 0 e 0 d( t) dt d( t) dt 1 0 A função impulso existe somente em t = 0 e sua área é unitária. 12

13 Transformada de aplace de Funções u a (t) 1 1 a 3 du n ( t dt a ) t 0 a 3 a 2 Função Impulso a 1 1 a 2 d ( t) lim a0 dua ( t) dt 1 a 1 t a 3 a 2 0 a 1 13

14 Transformada de aplace de Funções Propriedades da Função Impulso f ( t) d( t) dt f (0) d( t) dt f (0) d( t) dt f (0) f ( t) d ( t t ) dt f ( t ) d ( t t ) dt f ( t ) d( t t ) dt f ( t ) Estas são conhecidas como a propriedade de amostragem da função impulso em t = 0 e em t = t 0 14

15 Transformada de aplace de Funções Função Impulso unitário d (t) d 0 st ( t) d( t) e dt e s0 0 d ( t) dt t d 0 st ( t) d( t) e dt 1 15

16 Transformada de aplace de Funções Função seno f ( t) sen t F( s) 16

17 Transformada de aplace de Funções f() t Fs ( ) Ht ( ) e at sen t cos t d ( t) 1 s 1 s- a 2 2 s s 2 2 s 1 17

18 Operações com a Transformada de aplace Indicam como operações matemáticas realizadas em f(t) ou F(s) são convertidas para o outro domínio. As operações de maior interesse são: Multiplicação por uma constante Adição e subtração Diferenciação Integração Deslocamento no domínio do tempo Deslocamento no domínio da frequência Mudança de escala Derivada da Transformada 18

19 inearidade da Transformada de aplace Multiplicação por uma constante: multiplicar f(t) por uma constante K corresponde a multiplicar F(s) pela mesma constante (princípio da homogeneidade). f ( t) F( s) [ K. f ( t)] K. F( s) Adição / subtração: a adição / subtração no domínio do tempo corresponde a adição / subtração no domínio da frequência (princípio da aditividade). f1( t) F1( s) f2( t) F2 ( s) f1( t) f2( t) f3( t) F1( s) F2 ( s) F3 ( s) f3( t) F3( s) inearidade: combinação dos dois princípios. K f ( t) K f ( t) K f ( t) K F ( s) K F ( s) K F ( s)

20 Diferenciação no tempo Teorema da Derivada df t dt = sf s f(0 ) Para d2 f t dt 2, seja g t = df t dt aplicando o Teorema: g(t) = sf s f 0 = G(s) 20

21 Diferenciação no tempo G s = sf s f 0 ; g t = df t dt dg t dt = d2 f t dt 2 = sg s g 0 = s 2 F s sf 0 df t dt t=0 Transformada de aplace da derivada de ordem 2 de uma função f(t): d2 f t dt 2 = s 2 F s sf 0 df t dt t=0 21

22 Diferenciação no tempo Transformada de aplace da derivada de ordem n de uma função f(t): dn f t = s n F s s n 1 f 0 sn 2 df t t = 0 dt n dt s n 3 d2 f t t = 0 dt 2 dn 1 f t t = 0 dt n 1 22

23 Diferenciação no tempo Caso Particular: para condições iniciais nulas (ou quiescentes) c.i.q. f ( t) sf( s) f t 2 ( ) s F( s) ( ) ( ) ( n) n f t s F s Derivada da função f(t) resulta em produto por s da transformada F(s) 23

24 Integração no tempo Teorema da Integral ( ) ( ) t Fs f( ) d + f d s s 0 Caso Particular: Para c.i.q.: condições iniciais quiescentes (ou nulas) t 0 Fs ( ) f( ) d s Integral da função f(t) resulta em divisão por s da transformada F(s) 24

25 Deslocamento no domínio do tempo Exemplos: f(t) H(t a) 1 1 s 0 a Ht () H( t a) t e s as 25

26 Deslocamento no domínio da frequência at e f ( t) F( s a) Exemplo: e at cos (ωt) s cos (ωt) = s 2 + ω 2 e at f(t) = F(s + a) e at s + a cos (ωt) = (s + a) 2 +ω 2 26

27 Mudança de escala f(t) = F s f(at) = 1 a F s a a > 0 Exemplo: sen() t 2 s s 1 sen( t) s 27

28 Transformada de Funções Periódicas Se f(t) é uma função periódica Transformando cada termo, aplicando a propriedade do deslocamento. Obtemos: 28

29 Transformada de Funções Periódicas Porém, se, x < 1 Portanto, 29

30 Derivada da Transformada Aplicação para a função degrau: f ( t) F( s) t. f ( t) df( s) ds [ H (t) ] = 1 / s [ t. H (t) ] = 1 / s 2 [ t 2. H (t) ] = 2 / s 3... [ t n. H (t) ] = n! / s n+1 30

31 Tabela de Propriedades da Transformada 31

32 Aplicação da Transformada de aplace Resolução de equação diferencial: 2 d v( t) 2 dt dv( t) 6 8v( t) 2u( t) Dado: v(0) = 1; v (0) = -2 dt Aplicando-se a transformada em cada termo na equação diferencial: 2 s V s sv v sv s v V s ( ) (0) '(0) 6 ( ) (0) 8 ( ) Substituindo v(0) 1; v'(0) 2, chega-se a 2 2 s 4s2 2 ( s 6s 8) V( s) s 4 s s 1 V s v t e e H t s s 2 s t 4t ( ) ( ) (1 2 ) ( ) -1 2 s Equação algébrica em s 32

33 Transformada de aplace de Funções i(t) A partir das eis de Kirchhoff: e g (t) 10Ω 2F v(t) v(0-)=5v dv() t RC v( t) eg ( t) dt Aplicando aplace: RC sv( s) v(0 ) V( s) E ( s) g Equação algébrica em V(s) Vs ( ) Eg( s) RCv(0 ) 1 Eg( s) RCv(0 ) ( src 1) RC ( s 1/ RC) 33

34 Transformada de aplace de Funções Para: 10Ω e ( ) 10 ( ), g t H t V s e g (t) 2F v(t) v(0-)=5v E ( ) g s 10 s Vs ( ) No domínio s: 10.2 sv( s) 5 V( s) 10 / s100 5 ( s0,1) 10 5 (20s 1) s ( s 0,05) s ( s 0,05) 10 s Solução leva em conta a condição inicial! 1 0,05t v( t) 10 5 e H( t) 34

35 Transformada de aplace de Funções e g (t) 10Ω 2F v(t) v(0-)=5v Para e ( ) 10 ( )., g t d t V s s E ( ) 10 g s No domínio s: 10.2 sv( s) 5 V( s) 10 Vs ( ) ,5 (20s1) ( s0,05) 1 0,05t v( t) 5,5 e H( t) Solução leva em conta a variação da tensão inicial no capacitor, devido à excitação impulsiva! 35

36 Próxima Aula eitura: Cap 16 livro texto 1. Aplicação da Transformada de aplace. 36

37 Referências 1. AEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI,.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NISSON, J.W., RIEDE, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,