Aula 04 Representação de Sistemas

Transcrição

1 Aula 04 Representação de Sistemas

2 Relação entre: Função de Transferência Transformada Laplace da saída y(t) - Transformada Laplace da entrada x(t) considerando condições iniciais nulas.

3 Pierre Simon Laplace, X(s) Transformada Laplace de x(t) Y(s) Transformada Laplace de y(t)

4 entrada (input) saída (output) saída (output) X(s) Transformada Laplace de x(t) Y(s) Transformada Laplace de y(t) entrada (input)

5 carro / massa / mola

6 carro / massa / mola

7 carro / massa / mola entrada (input) saída (output) F.T. X(s) U(s) U(s) Transformada Laplace de u(t) X(s) Transformada Laplace de x(t) saída (output) entrada (input)

8 carro / massa / mola m x µ x kx u, ou d 2 dt x m 2 µ dx dt k x u,

9 carro / massa / mola 2 d x dx µ dt dt x (0) 0, m 2 k x mx x(0) 0 µ x kx u, logo, m s 2 X(s) µ s X(s) k X(s) U(s),

10 carro / massa / mola e portanto, a Função de Transferência (F.T.) é dada por X(s) F.T. U(s) ms 2 1 µ s k

11 movimento translacional mecânico

12 movimento translacional mecânico

13 movimento translacional mecânico entrada (input) saída (output) F.T. X(s) U(s) U(s) Transformada Laplace de u(t) X(s) Transformada Laplace de x(t) saída (output) entrada (input)

14 movimento translacional mecânico m x µ x kx u, ou d 2 dt x m 2 µ dx dt k x u,

15 movimento translacional mecânico logo, 2 d x dx µ dt dt x (0) 0, m 2 k x mx x(0) 0 µ x kx u, m s 2 X(s) µ s X(s) k X(s) U(s),

16 movimento translacional mecânico e portanto, a Função de Transferência (F.T.) torna-se X(s) F.T. U(s) ms 2 1 µ s k

17 movimento translacional mecânico m 1 kg µ 4 N s/m k 3 N/m

18 carro / massa / mola m 1 kg µ 4 N s/m k 3 N/m

19 carro / massa / mola ou movimento translacional mecânico Já vimos que estes 2 sistemas são descritos pela mesma equação diferencial (de 2ª ordem) e têm o mesmo modelo.

20 carro / massa / mola Representação de Sistemas ou movimento translacional mecânico d 2 dt x 2 x (0) 4 dx dt 0, 3 x x(0) x 0 4x 3x u,

21 carro / massa / mola Representação de Sistemas ou movimento translacional mecânico Logo, a Função de Transferência (F.T.) é dada por X(s) 1 F.T. 2 U(s) s 4s 3

22 carro / massa / mola Representação de Sistemas ou movimento translacional mecânico Função de Transferência (F.T.) do sistema

23 circuito RLC série

24 circuito RLC série tensão na entrada tensão na saída

25 circuito RLC série entrada (input) saída (output) F.T. V o (s) V (s) V i (s) Transformada Laplace de v i (t) V o (s) Transformada Laplace de v o (t) i saída (output) entrada (input)

26 circuito RLC série LC v RC v v o o o v i, ou LC d 2 dt v o 2 RC dv dt o v o v i,

27 circuito RLC série 2 d v LC 2 dt v o(0) o RC 0, dvo dt v o v o (0) 0 LCv o RCv o v o v i, logo, LC s 2 V o (s) RC s V o (s) V o (s) V (s), i

28 circuito RLC série e portanto, a Função de Transferência (F.T.) do sistema é dada por V (s) F.T. o V (s) LCs 2 i 1 RCs 1

29 circuito RLC série R 1000 Ω L 250 H C 1,333 x 10-3 F

30 circuito RLC série d 2 dt v v o o 2 (0) 4 dv 0, dt o 3v v o o v (0) 0 o 4v o 3 v o 3v i,

31 circuito RLC série e neste caso a Função de Transferência (F.T.) será: V (s) F.T. o 2 3 V (s) i s 4s 3

32 circuito RLC série Função de Transferência (F.T.) do sistema

33 movimento rotacional mecânico

34 movimento rotacional mecânico momento (ou torque) aplicado velocidade angular

35 movimento rotacional mecânico momento (ou torque) aplicado velocidade angular entrada (input) F.T. Ω(s) X(s) Ω(s) Transformada Laplace de ω(t) X(s) Transformada Laplace de x(t) saída (output) saída (output) entrada (input)

36 movimento rotacional mecânico J ω µ ω x, ou dω J µ ω(t) dt x,

37 movimento rotacional mecânico dω J dt ω(0) 0 µ ω Jω µω x logo, J s Ω(s) µ Ω(s) X(s),

38 movimento rotacional mecânico e portanto, a Função de Transferência (F.T.) do sistema é dada por F.T. Ω(s) 1 X(s) Js µ

39 movimento rotacional mecânico J 0,5 kg/m 2 µ 2 N m /rad/s dω dt ω(0) 4 ω a ω 4 ω 2 x,

40 movimento rotacional mecânico e neste caso, a Função de Transferência (F.T.) Ω(s) 2 F.T. X(s) s 4

41 movimento rotacional mecânico Função de Transferência (F.T.) do sistema

42 sismógrafo

43 sismógrafo

44 sismógrafo deslocamento da caixa deslocamento da massa m entrada (input) F.T. Y(s) X i (s) X i (s) Transformada Laplace de x i (t) Y(s) Transformada Laplace de y(t) saída (output) saída (output) entrada (input)

45 sismógrafo m y µ y k y m x i, ou 2 2 d y dy d x m µ k y m 2 2 dt dt dt i,

46 sismógrafo m d 2 dt y 2 y(0) 0 µ, dy dt y (0) ky 0 m y µ y k y m x i, logo, m s 2 Y(s) µ s Y(s) k Y(s) m s 2 X i (s),

47 sismógrafo e portanto, a Função de Transferência (F.T.) do sistema é dada por Y(s) ms F.T. X (s) ms 2 µ s i 2 k

48 sismógrafo Função de Transferência (F.T.) do sistema

49 Função de Transferência (F.T.)

50 Observe que depois de calculada a Função de Transferência (F.T.) tem a forma de polinómio/polinómio, ou seja q(s)/p(s).

51 As raízes de q(s) são chamadas de zeros do sistema. As raízes de p(s) são chamadas de polos do sistema.

52 O polinómio p(s) é chamado de polinómio característico do sistema. A equação p(s) 0 é chamada de equação característica do sistema.

53 entrada (input) saída (output) Função de Transferência (F.T.) do sistema

54 ou simplesmente, entrada (input) saída (output) Função de Transferência (F.T.) do sistema Caixa preta ou Bloco simples

55 Diagramas de Blocos

56 Com a F.T. pode-se representar sistemas em Diagramas de Blocos: Bloco simples ou caixa-preta (black box) Função de Transferência (F.T.) do bloco

57 Diagramas de Blocos é o tema do próximo capítulo. Há diversos tipos de ligações possíveis nos blocos, como por exemplo, blocos em cascata : Blocos em cascata

58 Blocos com realimentação: (feedback) Bloco G(s) com realimentação unitária

59 Blocos com realimentação: (feedback) Bloco G(s) com realimentação não unitária H(s)

60 Obrigado! Felippe de Souza