Instrumentação e Controle Aula 14. Prof. Renato Watanabe ESTO004-17

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1 Instrumentação e Controle Aula 14 Finalização Prof. Renato Watanabe ESTO004-17

2 Onde estamos no curso Sistema Realimentação Sensores Obtenção das Equações Diferenciais que descrevem o comportamento do sistema Comportamento dinâmico dos transdutores Características de Sensores Controle PID Representação no Espaço de Estados Transformada de Laplace Requisitos de Projeto Transdução de medidas Resposta natural Condicionamento do sinal Resposta forçada Análise de Estabilidade

3 Onde estamos no curso - Controlador Sistema ou Planta

4 Controle PID ( u(t) = K p (r(t) y(t)) K i }{{} P r(t) } {{ } I ) ( dr y(t) K d dy ) }{{} D

5 Controle de nı vel de uma caixa d a gua

6 Regulador de Watt Velocidade angular desejada Válvula Regulador de de Watt combustível - Motor de combustão Mudança na carga Velocidade angular Sistema de transmissão

7 Controle de velocidade de esteira Velocidade desejada Computador Motor - Peso do corredor Esteira Velocidade da esteira Tacômetro

8 Controle de inflação Meta de in ação COPOM do BC - taxa de juros Escassez de produto, instabilidade política, etc Sistema nanceiro In ação IPCA

9 Controle da postura ereta Posição do centro de massa ideal Sistema Músculos Nervoso do corpo Central - Empurrão Sistema esquelético Posição do centro de massa Sistemas vestibular, visual, proprioceptivo

10 Outros exemplos

11 Pêndulo Invertido u(t) = T a (t) x 1 = y(t) g = π 2 m/s y(t) = θ(t) x 2 = dy h b = 0.85 m m = 70 kg J = mh2 b 3 kg Diagrama de Blocos Equação diferencial d 2 y(t) 2 = mgh b J y(t) u(t) Espaço de Estados ẋ1 0 1 = mgh b ẋ 2 J 0 x1 y(t) = 1 0. x1. x 2 x u(t) 1

12 Caixa d a gua u(t) = Qe (t) y(t) = h(t) x1 = y(t) d(t) = Qs (t) Diagrama de Blocos dy(t) = A1 d(t) 1 A u(t) Espac o de Estados x 1 = 0.x1 y(t) = 1.x1 1 A.u(t) 1 A d(t) 1

13 Pêndulo d 2 y(t) 2 = 3g 2l y(t) 3 2ml 2 u(t) Comprimento da barra: Massa da barra: Momento de inércia da barra: g = π 2 m/s l = 2 m m = 100 kg u(t) = M(t) x 1 = y(t) y(t) = θ(t) Diagrama de Blocos x 2 = dy Espaço de Estados ẋ1 0 1 x1 = ẋ 2 3g. 2l 0 x 2 y(t) = 1 0 x1. x ml 2.u(t) 1

14 Controle de atitude de satélite u(t) = F (t) y(t) = θ(t) x 1 = y(t) x 2 = dy Diagrama de Blocos Equação diferencial d 2 y(t) = 2d 2 J u(t) Espaço de Estados ẋ1 ẋ 2 = x1 x 2 y(t)= 1 0 x1. x u(t) 2ml 2 1

15 Pêndulo com amortecimento d 2 y(t) 2 Comprimento da barra: Massa da barra: Momento de inércia da barra: b = 3π Ns/m 2 g = π 2 m/s 2 l = 2 m m = 100 kg = 3b dy(t) ml 2 3g 2l y(t) 3 u(t) 2ml 2 u(t) = M(t) x 1 = y(t) y(t) = θ(t) Diagrama de Blocos x 2 = dy 1 Espaço de Estados ẋ1 0 1 = ẋ 2 3g 2l 3b ml 2 y(t) = 1 0. x1. x 2 x1 x ml 2.u(t)

16 Pedidos em um servidor u(t) = λ(t) Tempo T para a executar uma solicitação. y(t) = Q(t) x 1 = y(t) dy(t) = 1 T y(t) u(t) Diagrama de Blocos Espaço de Estados 1 ẋ 1 = 1 T x 1 1.u(t) y(t) = 1.x 1

17 Motor DC u(t) = e a (t) x 1 = i a (t) y(t) = ω(t) x 2 = y(t) b = 0, 03 Ns/m 2 J = 0, 01 kg.m 2 R a = 0, 5Ω L a = 0, 05 H K = 0, 05 N.m/A K b = 0, 05 V.s/rad Equações diferenciais: di a(t) = Ra L a i a (t) K b L a y(t) 1 L a u(t) Diagrama de Blocos dy(t) = b J y(t) K J i a(t) 1 Espaço de Estados ẋ1 R a = L a ẋ 2 K J y(t) = 0 1. K b L a b J x1 x1. x 2 x 2 1 L a 0.u(t)

18 Circuito diferenciador u(t) = v(t) y(t) = v R (t) x 1 = i(t) di(t) = 1 RC i(t) 1 du(t) R y(t) = Ri(t) Diagrama de Blocos Espaço de Estados ẋ 1 = 1 RC x 1 1.u(t) y(t) = 1 RC.x 1 1.u

19 Sistema massa-mola-amortecedor Equação diferencial: d 2 y(t) 2 = k m y(t) b dy(t) m k m u(t) b du(t) m Espaço de Estados ẋ1 0 1 = ẋ 2 K m y(t) = K m b m b m x1.. x1 x 2 x u(t) = x i (t) y(t) = x o (t).u(t) x 1 = y(t) x 2 = dy Diagrama de Blocos Utilizar k = 25 N/m, b = 300 Ns/m e m = 1000 kg

20 Circuito integrador u(t) = v(t) y(t) = v c (t) x 1 = y(t) Equação Diferencial di(t) = 1 RC i(t) 1 R y(t) = 1 t C i(t) du(t) Diagrama de Blocos Espaço de Estados ẋ 1 = 1 RC x 1 1 RC u(t) y(t) = 1.x 1 1

21 Linha de montagem Linha de montagem recebe ordem de taxa de produção de carros. O interesse é saber como o estoque de carros se comporta. Equações diferenciais: dy(t) dp (t) = KP (t) d(t) = KP (t) u(t) u(t) = o(t) x 1 = y(t) y(t) = S(t) x 2 = P (t) d(t) = v(t) Diagrama de Blocos Espaço de Estados ẋ1 0 K x1 =. ẋ 2 0 K x 2 x1 y(t) = 1 0. x u(t).d(t) 1 0

22 Imunização Uma fração α de uma população saudável é infectada por uma doença por dia. Entre a população infectada, uma fração γ se recupera e se torna imune e uma outra fração β falece. Parte da população saudável é imunizada a uma taxa v. O interesse é saber como a população infectada evolui ao longo do tempo. u(t) = v(t) y(t) = I(t) x 1 = S(t) Equações Diferenciais x 2 = y(t) ds(t) = αs(t) u(t) x 3 = Im(t) = αs(t) (γ β)y(t) x 4 = M(t) = u(t) γy(t) dy(t) dim(t) dm(t) = βy(t) Espaço de Estados ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ 4 α α (γ β) γ 0 0 =. 0 β 0x 1 0 y(t)= x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x u(t) -1 Diagrama de Blocos

23 Requisitos de projeto Estabilidade Principal requisito, presente em todos os projetos de controle. Em sistemas lineares, deve-se garantir que as raízes do polinômio característico esteja no lado esquerdo do plano imaginário.

24 Requisitos de projeto Constante de tempo As constantes de tempo de um sistema são o inverso da parte real das raízes do polinômio característico (ou autovalores da matriz A). Deve-se garantir que a constante de tempo mais lenta do sistema realimentado satisfaça a necessidade.

25 Requisitos de projeto Tempo de acomodação O tempo de acomodação é tempo que a saída do sistema leva para atingir entre 5 % a 2 % do valor final. É o tempo que o sistema leva para atingir o regime permanente. Se considerar 5 %, t s = 3T. Se considerar 2 %, t s = 4T.

26 Requisitos de projeto Erro estacionário A diferença entre o valor de referência e o valor final da saída no regime permanente.