Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares Componentes Básicos de um Sistema de Controle

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1 Representação e Análise de Sistemas Dinâmicos Lineares 1 Introdução 11 Componentes Básicos de um Sistema de Controle Fundamentos matemáticos 1 Singularidades: Pólos e zeros Equações diferencias ordinárias 1 Equações de estado na forma vetorial Solução de equações diferencias ordinárias c Reinaldo M Palhares pag1 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

2 Introdução Componentes básicos Entradas (sinais de atuadores, variáveis manipuladas): u Saídas (variáveis controladas): y Sistemas em malha aberta (sem realimentação) Sistemas em malha fechada (realimentados) Efeitos da realimentação Efeito da realimentação no ganho total Efeito da realimentação na estabilidade Efeito da realimentação na Sensitividade Efeito da realimentação na perturbação externa ou ruído c Reinaldo M Palhares pag Controle de Sistemas Lineares Aula 1

3 Fundamentos Matemáticos Variáveis Complexas Funções de uma variável complexa s = σ + jω G(s) é injetiva G(s) = Re {G(s)} + j Im {G(s)} Exemplo G(s) = 1 s(s + 1) G(s) = para s = 0 e s = 1 c Reinaldo M Palhares pag3 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

4 Singularidade de uma Função Pólos 0 lim s si { (s si ) r G(s) } < Zeros { } 0 lim (s s i ) r G(s) < s si Exemplo G(s) = 10(s + )/(s + 1)(s + 3) tem um zero em s =, um pólo em s = 1 e dois pólos em s = 3 Toda função racional (ie, razão de dois polinômios em s), o número total de zeros é igual ao número de pólos (consideradas suas multiplicidades e os zeros no infinito) c Reinaldo M Palhares pag4 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

5 Equações Diferencias Equação diferencial ordinária linear de ordem n a n d n y(t) n + a n 1 d n 1 y(t) n a 1 dy(t) + a 0 y(t) = f(t) Exemplo Circuito RLC série Ri(t) + L di(t) + 1 C i(t) = e(t) Equação diferencial não-linear Pêndulo simples ML d θ(t) + Mg {senθ(t)} = 0 c Reinaldo M Palhares pag5 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

6 Equações de Estado Sistemas dinâmicos diferenciais são freqüentemente descritos por equações Estado particular resumo completo do status do sistema em um instante de tempo No tempo t = t 0, as variáveis de estado definem os estados iniciais do sistema As variáveis de estado são definidas como o conjunto mínimo de variáveis, x 1 (t), x (t),, x n (t), tais que o conhecimento dessas variáveis em qualquer tempo t 0 e do sinal de entrada aplicado é suficiente para determinar o estado do sistema em qualquer tempo t > t 0 c Reinaldo M Palhares pag Controle de Sistemas Lineares Aula 1

7 Equações de Estado A saída do sistema é uma variável que pode ser medida (não deve ser confundida com variável de estado) x 1 (t) = y(t) x (t) = dy(t) x n (t) = dyn 1 (t) n 1 dx 1 (t) dx (t) dx n (t) = x (t) = x 3 (t) = a 0 x 1 (t) a n 1 x n (t) + f(t) a n a n a n c Reinaldo M Palhares pag Controle de Sistemas Lineares Aula 1

8 Equações de Estado 4 ẋ 1 (t) ẋ (t) ẋ 3 (t) ẋ n (t) 3 5 {z } ẋ(t) = a 0 /a n a 1 /a n a /a n a n 1 /a n 3 5 {z } A 4 x 1 (t) x (t) x 3 (t) x n (t) 3 5 {z } x(t) /a n 3 5 {z } B f(t) {z } u(t) c Reinaldo M Palhares pag8 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

9 Equações de Estado Exemplo Para o circuito RLC série, definem-se x 1 (t) = i(t) e x (t) = dx 1(t) = i(t) dx 1(t) = x (t) e dx (t) = 1 LC x 1(t) R L x (t) + 1 L e(t) ou ẋ1(t) = ẋ (t) LC R L x 1(t) + x (t) 0 u(t) 1/L c Reinaldo M Palhares pag9 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

10 Expansão em Frações Parciais Considere G(s) = N(s), com grau de D > N D(s) 1o Caso Pólos reais distintos G(s) = N(s) D(s) = N(s) (s + s 1 ) (s + s n ) G(s) = k 1 s + s k n, sendo k i = (s + s i )G(s) s + s n s= si Exemplo G(s) = 8s + 10 s(s + ) = 5 s + 3 s + c Reinaldo M Palhares pag10 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

11 Expansão em Frações Parciais o Caso Pólos reais múltiplos G(s) = N(s) D(s) = N(s) (s + s 1 )(s + s ) r G(s) = k 1 s + s 1 + k 1 s + s + k (s + s ) + + k r (s + s ) r sendo k j = 1 (r j)! d r j ds r j ((s + s ) r G(s)) s= si, j = 1,, r Exemplo G(s) = s + 3 s(s + 1) = 3 s + 3 s (s + 1) c Reinaldo M Palhares pag11 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

12 Expansão em Frações Parciais 3o Caso Pólos conjugados complexos G(s) = N(s) (s + (α + jω))(s + (α jω)) G(s) = k 1 s + (α + jω) + k s + (α jω)) Exemplo Sistema de a ordem G(s) = ω n s + ζω n s + ω n Pólos: s 1, = ζω n ± jω n p 1 ζ (para 0 < ζ < 1) Definem-se α = ζω n e ω = ω n p 1 ζ, tal que s 1, = α ± jω c Reinaldo M Palhares pag1 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

13 Expansão em Frações Parciais k 1 ω n = (s + (α jω)) (s + (α + jω))(s + (α jω)) s= α+jω = ω n α + jω + α + jω = ω n jω k ω n = (s + (α + jω)) (s + (α + jω))(s + (α jω)) s= α jω = ωn α jω + α jω = ω n jω c Reinaldo M Palhares pag13 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

14 Expansão em Frações Parciais Portanto G(s) = ωn /(jω) (s + (α + jω)) + ω n /(jω) (s + (α jω)) Particularmente aplicando a transformada de Laplace inversa, obtém-se a função no tempo g(t) = = ω n jω e( αt)( e jωt e jωt) ω ( n ) 1 ζ e( ζω nt) sen ω n 1 ζ t c Reinaldo M Palhares pag14 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

15 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias 1 Transformada de Laplace da equação diferencial Resolver a equação algébrica em s para a variável de saída 3 Expandir em frações parciais 4 Obter a Transformada de Laplace inversa Exemplo d y(t) + 3 dy(t) + y(t) = 5u degrau (t), com y(0) = 1 e ẏ(0) = s Y (s) sy(0) ẏ(0) + 3sY (s) 3y(0) + Y (s) = 5/s ou Y (s) = s s + 5 s(s + 1)(s + ) = 5/ s + 5 s / s + y(t) = 5 5e t + 3 e t, t 0 c Reinaldo M Palhares pag15 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

16 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Exemplo Encontre y(t) para Y (s) = ω n s ( s + ζω n s + ω n ) Define-se ω = ω n 1 ζ Note que Y (s) pode ser reescrita como Y (s) = 1 s s + ζω n s + ζω n s + ω n = 1 s s + ζω n (s + ζω n ) + ω ζω n (s + ζω n ) + ω c Reinaldo M Palhares pag1 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

17 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Como L 1 [ L 1 [ ] s + ζω n (s + ζω n ) + ω ] ω (s + ζω n ) + ω = e ζω nt cos ωt = e ζω nt sen ωt Portanto y(t) = 1 e ζω nt ( cos ωt + ) ζ sen ωt 1 ζ = 1 e ζω nt 1 ζ ( 1 ζ cos ωt + ζsen ωt) c Reinaldo M Palhares pag1 Controle de Sistemas Lineares Aula 1

18 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Raízes do sistema de a ordem s 1, = ζω n ± jω n 1 ζ Então ( ) ( ) Im(s) 1 ζ θ = tan 1 = tan 1 Re(s) ζ ie, triângulo com hipotenusa 1, cateto oposto 1 ζ e cateto adjacente ζ, tal que Portanto θ = sen 1 1 ζ ou θ = cos 1 ζ y(t) = 1 e ζω nt 1 ζ (cos ωt sen θ + sen ωt cos θ) = 1 e ζω nt sen(ωt + θ), θ 1 ζ = cos 1 ζ c Reinaldo M Palhares pag18 Controle de Sistemas Lineares Aula 1