0.1 Conceitos básicos

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1 Analise por resposta em frequencia 0 Conceitos básicos O método de análise por resposta em freqüência, desenvolvido anteriormente ao método do lugar das raízes, data do período de930 a 940 e foi apresentado por Nyquist, Bode, Nichols, entre outros Baseado na excitação de um sistema a um sinal senoidal, a resposta obtida, embora seja de mesma freqüência, apresenta amplitude e fase diferente do sinal de excitação Sobre estas variações, obtemos características da função de transferência de uma planta, sem a necessidade de seu modelamento matemático, uma das principais dificuldades dos cálculos pelo caminho do lugar das raízes O método da resposta em freqüência é considerado uma ótima ferramenta para calculo de compensadores, sendo complementar ao lugar das raízes, devendo um projetista estar familiarizado com ambos os métodos Uma das vantagens do método de resposta em freqüência é que os testes são simples e podem ser levantados com precisão Funções de transferências complicadas são obtidas com facilidade e exatidão através da resposta em freqüência, eliminando as perturbações por ruído indesejáveis, abreviando todo trabalho de modelamento matemático necessário nos estudos pelo lugar das raízes A designação Resposta em Freqüência está associada a sistemas lineares excitados por entradas senoidais e tomando suas saídas em regime permanente (depois do transitório) Seja o sistema cuja função de transferência é: G (s) = Excitando-se o sistema com uma entrada senoidal Sua resposta Y ( s) pode ser obtida como N(s) (s + p ) (s + p ) (s + p n ) x (t) = x sin (ωt) X (s) = A ω s + ω Y (s) = as + b s + ω + c (s + p ) + c (s + p ) + + c n (s + p n ) Onde a, b e c são os resíduos da expansão em frações parciais Os termos (s + p i ) correspondem a funções no tempo que tendem a zero quando t torna-se grande Logo, a resposta estacionária corresponde apenas pelo primeiro termo que representa um sinal senoidal, pois: F (s) = s + α α s + ω f(t) = + ω ω ( sen(ωt + φ), onde φ = tan ω ) α c i

2 transitório regime u(t) F(s) y(t) Assim, em regime permanente, a resposta à entrada senoidal é também senoidal, porém com amplitude e defasagem dependentes de W A forma mais simples para essa análise é a representação fasorial: entrada x(t)=xsenwt X Y saida y(t)=ysen( wt+ F) F K = Y X = G(jω) φ = Y X = G(jω) Exemplo 0 Seja o sistema apresentado G (s) = K T s +, para uma entrada senoidal x (t) = X sen ωt, a saída em regime permanente y (t) pode ser obtida, como segue: Substituindo s = jω em G (s) G (jω) = K jωt + A relação de amplitudes entre entrada e saída G (jω) = K + T ω Enquanto que o ângulo de fase, será φ = G (jω) = arc tgt ω Assim y (t) será y (t) = X K sen (ωt arc tgt ω) + T ω Portanto, pela resposta obtida, concluímos: Quando ω é pequeno, ou a freqüência é baixa A amplitude de saída é alta (K vezes a amplitude de entrada) A defasagem de saída é baixa (próxima a zero) Quando ω é grande, ou a freqüência é alta A amplitude de saída é baixa (tende a zero com ω tendendo a infinito) A defasagem de saída cresce até um máximo de -90 Esta é uma rede de atraso de fase, ou ainda um filtro passa baixas

3 3 Exemplo 0 Determinar as características da rede G (s) = rede de avanço ou de atraso de fase s + T s +, determinando se esta é uma T Substituindo s = jω em G (s) G(jω) = K jωt + = T ( + T jω) T ( + T jω) A relação de amplitudes G (jω) = T + T ω T + T ω Enquanto que o ângulo de fase φ, será φ = G (jω) = arc tg (T ω) arc tg (T ω) Assim y (t) será y (t) = X T + T ω sen (ωt + arc tg (T T + T ω) arc tg (T ω)) ω Portanto, quando T > T arctgt ω arctgt ω > 0, assim: T > T rede de avanço ou filtro passa altas T > T rede de atraso ou filtro passa baixas Correlação entre plano s e resposta em freqüência Seja G (s) = k (s + z), sua resposta em freqüência é obtida fazendo: s (s + p) s = jω G (jω) = k (jω + z) jω (jω + p) Note-se que os números complexos (jω + z), (jω + p) e (jω), são os vetores do diagrama abaixo φ 3 B C jω φ φ A 0 G(jω) k jω + z = jω jω + p = k AC OC BC G (jω) = ϕ + ϕ ϕ 3 Esta interpretação gráfica permite concluir que a presença de pólos complexos conjugados pouco amortecidos (próximos ao eixo imaginário) originam um pico pronunciado no ganho do sistema para as freqüências próximas da freqüência natural W n A ocorrência desse pico denomina-se ressonância

4 4 jω jω Note-se que do diagrama de pólos e zeros e do CLR obtém-se informações similares a dos diagramas de resposta em freqüência Representações gráficas Uma função de transferência excitada por um sinal senoidal pode ser representada graficamente por um modulo e uma fase, tendo uma freqüência como referência Existem três tipos de representações muito comuns que utilizamos em engenharia Diagrama de bode ou gráfico logarítmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama do logaritmo do modulo versus ângulo de fase (carta de Nichols) 0 Diagrama de Bode Composto de dois gráficos onde no primeiro representamos usualmente o ganho de sinal em db (decibéis) versus a freqüência de operação em escala logarítmica de uma função de excitação senoidal, enquanto que no outro apresentamos a defasagem entre os sinais de entrada e saída, também em função da freqüência de operação, novamente com este eixo em escala logarítmica Apresenta a facilidade de podermos somar e subtrair as grandezas apresentadas em gráficos logarítmicos, ao invés de multiplicar ou dividir A representação padrão do modulo é G (s) = 0 log 0 G (s), e a unidade de medida é o decibel, além disto, é bastante fácil a representação dos gráficos por aproximação de retas assintóticas Determinações experimentais de funções de transferências tornam-se bastante simples com apresentação de resultados na forma de diagrama de bode Representações básicos de G (jw) H (jw) Os fatores básicos que observamos com bastante freqüência em funções de transferências, são: Ganho K

5 5 Fatores integrais e derivativos (jω) ± Fatores de ordem ( + jωt ) ± [ ( ) ( ) ] jω jω ± Fatores quadráticos + ζ + w n w n Após traçados os gráficos individuais, é possível a composição entre eles através de somas ou subtrações, pois a adição de logaritmos, equivale a multiplicação deles Ganho K Números maiores que a unidade, apresentam valores positivos em db, enquanto que números menores que a unidade apresentam grandezas negativas quando expressas em db A curva de modulo de um ganho constante é uma reta horizontal de valor 0 log K e a curva de fase é zero Podemos gerar estes gráficos no MatLab, através dos comandos abaixo, na janela command window: >> n = 0 >> d = >> bode(n, d) Que resultam nos gráficos Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 0 Porem se considerarmos o ganho como um fator K crescente (em nosso exemplo um múltiplo de 0) teremos:

6 6 0 log (K x 0) = 0 log K + 0 de maneira semelhante 0 log ( K x 0 n) = 0 log K + 0n ou 0 log K = - 0 log K Fatores integrais e derivativos (jω ± ) O valor logarítmico de ( ) em decibéis é 0 log = 0logω, enquanto que o ângulo de fase jω jω de jω é constante e igual a ±90 Um diagrama de bode tem a característica de representar as relações de freqüências em termos de oitavas ou décadas Uma oitava corresponde a relação de ω até ω, e uma década corresponde ao intervalo de freqüência de ω ate 0ω, onde ω será qualquer valor de freqüência que se desejar Quando desenhado em papel semi-log, se medirmos a distancia entre ω = rad/seg e ω = 0rad/seg, esta será a mesma distancia que entre ω = 6rad/seg e ω = 60rad/seg Para a construção gráfica consideramos: ( ) Modulo 0 log(jω), ou 0 log, substituindo valores, temos jω Fase, sempre constante em ±90 o w = 0 db w = ±6 db w = 0 ±0 db Resultando no gráfico abaixo Conseqüentemente se nossa função for um múltiplo da função original, teremos 0 log (jω n ) = 0n log (jω) ou ( ) ( ) 0 log (jω n = 0n log ) jω ω = ω = ω = 0 0db ± 6 n db ±0 n db Extrapolando a verificação acima, podemos definir então Se n =, resulta em uma inclinação de ±40 db/dec Se n = 3, resulta em uma inclinação de ±60 db/dec

7 7 Magnitude (db) Phase (deg) inclinação +0 db/dec ou +6 db/oitava inclinação -0 db/dec ou -6 db/oitava Assim sucessivamente, respeitando o sinal positivo ou negativo Para o ângulo de defasagem temos n(±90 ) Fatores de primeira ordem ( + jwt ) ± O modulo em db do fator de ordem + jwt será: ω < < / T 0 log + ω T = 0 log = 0 db 0 log + jωt = 0 log + ω T db ω > > / T 0 log + ω T = 0 log ωt Verificamos que o gráfico desenhado será uma reta paralela ao eixo de w com ganho de 0 db, até o ponto onde ω =, quando o sistema passa a apresentar uma inclinação de -0 db/dec T Vale também observar que existe uma curva exata, calculada ponto a ponto, que descreve a resposta deste sistema e podemos também aproximar a resposta a duas retas assintóticas, que irão apresentar uma resposta muito próxima a real para pontos distantes do ponto de inflexão, apresentando apenas um pequeno erro no ponto, nas proximidades do ponto de inflexão O ângulo de fase se comporta como segue: ω = 0 φ = arctg (0 T ) = 0 φ = arctg (ωt ) ω = ( ) T T φ = arctg = 45 T ω > > ( ) T φ = arctg = 90 T

8 8 40 assintota freqüência de canto 35 Magnitude (db) curva exata assintota Phase (deg) T 0T T w 0 T 00 T O erro de aproximação por assíntotas pode ser calculado: Erro máximo, ocorre em ω = T 0 log log = 0 log = 3, 03 db Uma oitava acima ω = T 0 log log = 0 log 4 5 Uma oitava abaixo ω = T 0 log log = 0 log Uma década acima ou abaixo ω = 0 T [ ( ) ( ) ] jω jω ± Fatores quadráticos + ζ + ω n = 0, 97 db = 0, 97 db 0 log log 0 = 0, 04 db ω n Frequentemente aproximamos sistemas de controle a sistemas de ordem, que apresentam fatores quadráticos da forma G (jω) = ) ) + ζ (j ω + (j ω ωn ωn Se ζ, podemos aproximar o sistema a dois pólos reais, distintos ou coincidentes de primeira ordem (sistema superamortecido ou criticamente amortecido) Se 0 < ζ <, estes fatores quadráticos serão produto de fatores complexos conjugados O processo de aproximação assintótica não será tão preciso para baixos valores de ζ

9 9 Calculando, obtemos o gráfico apresentado Figura : Disponível em Engenharia de Controle Moderno, pg 4 Procedimento geral para construção do diagrama de Bode Inicialmente devemos escrever a função de transferência senoidal G (jω) H (jω) dos fatores básicos Em seguida determine as freqüências de canto associadas a estes fatores básicos Traçar as curvas assintóticas de modulo em db com suas respectivas inclinações associadas as freqüências de canto Finalmente compor todos os fatores na curva resultante e se necessário corrigir os erros da

10 0 aproximação por assíntotas A curva de ângulo de fase de G (jω) H (jω), pode ser desenhada pela composição das curvas de ângulo de fase dos fatores básicos A utilização dos diagramas de bode com aproximação por assíntotas facilita enormemente a determinação da resposta em freqüência de um sistema e por conseqüência a função de transferência A facilidade de construção e de modificação pela inclusão de compensadores faz com que a utilização dos diagramas de bode seja utilizado enormemente no processo de resposta em freqüência Exemplo 0 Desenhe o diagrama de bode da função de transferência abaixo G (jω) = 0 (jω + 3) jω (jω + ) [jω + jω + ] É usual apresentar G (jw) na forma normalizada, onde as assíntotas dos termos de e sejam retas com partidas em 0 db, deste modo podemos reescrever: ( ) jω 7, G (jω) = ( ) [ jω jω (jω) + + jω ] + Desmembrando a função em termos isolados, teremos: 7, 5 }{{} (jω) }{{} ( + j ω ) }{{ 3 } 3 ) ( + j ω }{{ } 4 [ ] + j ω + (jω) + }{{} 5 Os pontos de inflexão, ou freqüência de canto dos termos 3, 4 e 5, são respectivamente, ω = 3 ω = e ω =, sendo o coeficiente de amortecimento do termo 5 é ζ = 0, 3536 Construa as curvas de cada um dos termos independentemente, como apresentado no gráfico, sendo atento aos pontos de inflexão das assíntotas Após desenhar todas as assíntotas independentes, faça a composição das resultantes que é a soma de todos os segmentos Até a freqüência de ω = =, 4 rad/seg, a resultante é a soma dos termos e (3, 4 e 5 apresentam modulo de 0 db) e possui uma inclinação de -0 db/dec De, 4 rad/seg < ω < rad/seg, o termo n 5 entra na composição e a inclinação passa a ser de -60 db/dec De < ω < 3 rad/seg, incluímos também o item 4 sendo agora a inclinação de -80db/dec

11 Finalmente com a inclusão do item 3, para ω > 3 rad/seg, a inclinação retorna para -60 db/dec novamente O mesmo estudo se faz para a composição dos ângulos de fase Figura : Disponível em Engenharia de Controle Moderno, pg 45 A curva resultante do modulo do ganho da função de transferência, esta apresentada como uma aproximação de retas assintóticas, caso necessário a curva real, devemos levar em conta os erros de aproximação em cada inflexão e obter a curva real Verificando com o MatLab, digitamos no command window: >> n=[ 0 30 ] >> d=poly([ j -05-3j ]) >> bode(n,d) Que resulta no gráfico que segue: Relação entre Tipo de Sistema e Curva de Modulo em db No Capítulo 7, Erro de estado estacionário, estudamos que para tipos padrão de sistemas (0, ou ) podíamos definir uma única constante de erro para algumas excitações de entrada padronizadas (degrau, rampa ou parábola) e com isto mensurar comparativamente sistemas de controle com realimentação Estudamos também que Bode descreve sistemas em função das freqüências, então é correto afirmar que a análise da resposta em baixas freqüências (quando ω tende a zero), nos traz a resposta do erro estacionário de um sistema Vimos também que o grau da função de transferência em jω, determina sua inclinação em termos de

12 Magnitude (db) Phase (deg) , db/dec Portanto concluímos que a informação relativa ao erro de estado estacionário, de um sistema de controle para uma excitação de entrada (só que agora senoidal), pode ser determinada a partir da observação da região de baixas freqüências da curva de modulo em db Determinação da constante de erro estático de posição Considerando um sistema de controle com realimentação unitária + - G (s) E supondo que sua função de transferência de malha aberta seja: G (s) = K (T as + ) (T b s + ) (T m s + ) s n (T s + ) (T s + ) (T p s + ) ou G (jω) = K (T ajω + ) (T b jω + ) (T m jω + ) (jω) n (T jω + ) (T jω + ) (T p jω + ) Se o sistema for do tipo zero, então n = 0, logo para baixas freqüências, temos ω 0 E ( ) = lim ω 0 G (jω) = K K p Resulta que o diagrama de Bode em baixa freqüência será uma reta horizontal de 0 log Kp db

13 3 db 0logKp 0-0 db/dec -40 db/dec w Determinação da constante de erro estático de velocidade Para o mesmo G(s) apresentado anteriormente, agora com n=, o exemplo de um gráfico de Bode de ordem, é apresentado: G (s) = K (T as + ) (T b s + ) (T m s + ) s n (T s + ) (T s + ) (T p s + ) ou G (jω) = K (T ajω + ) (T b jω + ) (T m jω + ) (jω) n (T jω + ) (T jω + ) (T p jω + ) db 0-0 db/dec 0logK v -40 db/dec w w 3 w ω ω = A inclinação inicial será de -0 db/dec, devido ao fator No ponto w = rad/seg, o módulo do ganho vale 0 log K v, que é um pólo na origem (jω) Matematicamente podemos obter ω << G (jω) = lim ω 0 K (T a jω + ) (T b jω + ) (T m jω + ) (jω) (T jω + ) (T jω + ) (T p jω + ) = K jω = K v jω então 0 log K v jω = 0 log K v ω= A intersecção com o eixo 0 db, ocorre em K v = ω, pela identidade matemática abaixo 0 log K v jω = 0 db = K v, então K v = ω jω

14 4 Determinação da constante de erro estático de aceleração Para o mesmo G (s) apresentado anteriormente, agora com n=, o exemplo de um gráfico de Bode de ordem, é apresentado: G (s) = K (T as + ) (T b s + ) (T m s + ) s n (T s + ) (T s + ) (T p s + ) ou G (jω) = K (T ajω + ) (T b jω + ) (T m jω + ) (jω) n (T jω + ) (T jω + ) (T p jω + ) db 0-40 db/dec -60 db/dec 0logK a -0 db/dec ω a = K a ω = ω origem A inclinação inicial será de -40 db/dec, devido ao fator, que corresponde a dois pólos na (jω) No ponto w = rad/seg, o módulo do ganho vale 0 log K a Matematicamente podemos obter ω << G (jω) = lim ω 0 K (T a jω + ) (T b jω + ) (T m jω + ) (jω) (T jω + ) (T jω + ) então 0 log K a jω = 0 log K a ω= (T p jω + ) = K jω = K a jω A extensão do segmento inicia com inclinação de -40 db/dec intercepta o eixo de ganho 0 db, no ponto chamado de W, então: 0 log K a jωa = 0 log = 0dB ω a = K a 03 Diagrama Polar Para uma função de transferência senoidal G (jω), o diagrama polar é um gráfico de modulo de G (jω) versus o ângulo de fase de G (jω) em coordenadas polares, com ω variando de zero a infinito Assim o diagrama polar é o lugar dos vetores G(jω) G(jω), com ω variando de 0 a Um diagrama

15 5 polar é referenciado para medição angular, à partir do eixo real positivo, no sentido anti-horário, conforme representação abaixo Im Re G (jw) ω = ω 3 ω G (jw) Re G (jw) Im G (jw) ω = 0 ω Freqüentemente o diagrama polar é chamado de Diagrama de Nyquist Cada ponto no diagrama polar de G (jω), representa o ponto terminal de um vetor em uma determinada freqüência Portanto é muito importante indicar os valores de freqüência ao longo da curva, e as projeções de G (jω) sobre os eixos real e imaginário, são seus componentes desmembramos Um diagrama polar apresenta uma grande vantagem sobre o diagrama de bode, pois representa em um único gráfico as características de resposta em freqüência de um sistema em todas as faixas de operação Porem tem a desvantagem de não indicar claramente as contribuições individuais de cada fator, sobre a função de transferência de malha aberta Fatores integrais e derivativos (jω) ± O diagrama polar de G (ω) =, é uma reta que corre sobre o eixo imaginário negativo, visto que: jω G (jω) = jω = j ω = ω 90 O diagrama polar de G (ω) = jω, é uma reta que corre sobre o eixo imaginário positivo Fatores de primeira ordem ( + jω) ± Para a função de transferência senoidal, temos: G (jω) = + jωt = (arctg ωt ) + ω T

16 6 Os valores de G (jω) em ω = 0 e ω = dfract, são, respectivamente: G (0) = 0 e G (j / T ) = 45 Se ω, então o módulo de G (jω), tende a zero e a fase de G (jω), tende a 90 o, resultando no diagrama polar que segue: Im ω = 0 ω T + ω T Fatores Quadráticos [ + ζ + ω T G (j ) / T G (j ) / T 0, 5 ω T = ) ) ] ± (j ωωn + (j ωωn ω = 0 ω Re Para a função de transferência de segunda ordem: G (s) = + ζ ) (j ω + ωn As parcelas de baixa e alta freqüência são dadas por: (j ω ωn ), para ζ > 0 lim G (jω) = 0 e lim G (jω) = 0 80 ω 0 ω Portanto, com ω 0, o diagrama polar se inicia em 0 e acaba com ω em 0 80 No diagrama polar desenhado abaixo, podemos observar alguns detalhes importantes A forma exata do diagrama depende do valor de ζ O esboço do diagrama é o mesmo seja para um sistema superamortecido (ζ > ), como para um sistema subamortecido (0 < ζ < ) Para o caso subamortecido, com ω = ω n, temos G (jω) = ζ, e ângulo de fase 90 Portanto o ponto de cruzamento do diagrama polar com o eixo imaginário define a freqüência natural de oscilação ω n O modulo máximo de G (jω), que é obtido pela relação entre o modulo do vetor na freqüência de ressonância ω r e o modulo do vetor em ω = 0

17 7 Exemplo 03 Construir o diagrama polar da função de transferência G (s) = Substituindo s = jω e rearranjando a equação resulta: s (T s + ) G (jω) = jω (jωt + ) = T + ω T j ω ( + ω T ) A parcela de baixa freqüência será: lim ω 0 G (jω) = T j = 90 A parcela de alta freqüência será: lim ω G (jω) = 0 0j = 0 80 Que representado no diagrama polar de G (jω), resulta em: Observações: O diagrama é assintótico em relação a reta vertical que passa por ( T, 0) Como a função de transferência possui um pólo na origem (o integrador fracs, a forma do diagrama polar difere dos diagramas visto para sistemas de o ordem sem integradores

18 8 Exemplo 03 Construir o diagrama polar da função de transferência G (jω) = e jωl ( + jωt ) G (jω) pode ser reescrito como, G (jω) = ( e jωl), onde o modulo e a fase são respectivamente: ( + jωt ) G(jω) = e jωl ( + jωt ) = + ω T G (jω) = e jωl + + jωt = ωl arctgωt Observe que na figura é possível verificar o módulo decrescendo monotonicamente e o mesmo para o ângulo de fase, só que este indefinidamente, resultando em uma espiral como mostrado na figura Formas Gerais dos Diagramas Polares Sejam as funções de transferência dadas pela equação genérica: G (jω) = K ( + jωt a) ( + jωt b ) (jω) A ( + jωt ) ( + jωt ) = B 0 (jω) m + B (jω) m + A 0 (jω) n + A (jω) n + Onde n > m, ou o grau do denominador maior que o grau do numerador, poderemos considerar as seguintes formas gerais: Para A = 0 ou Sistema do tipo 0 (nenhum pólo na origem) O ponto de inicio do diagrama polar ω = 0, é finito e esta sobre o eixo real no lado positivo A tangente do diagrama polar em ω = 0 é perpendicular ao eixo real O final do diagrama polar, que corresponde a ω =, está sobre a origem e a curva é tangente a um dos eixos Para A = ou Sistema do tipo (um pólo na origem) O termo jω que aparece no denominador, impõe o ângulo de fase 90, nas condições limites, com ω = 0 e ω = Em ω = 0 o módulo de G (jω) é infinito e o ângulo de fase é 90, ainda em baixas freqüências, o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo imaginário

19 9 negativo Para ω = o módulo tende a zero e a curva tende a origem, tangente a um dos dois eixos Para A = ou Sistema do tipo (dois pólos na origem) Nesta condição, o termo jω no denominador contribui com 80, nas condições limites, com ω = 0 e ω = Em ω = 0 o módulo de G (jω) é infinito e o ângulo de fase é 80, ainda em baixas freqüências, o diagrama polar é assintótico a uma reta paralela ao eixo real negativo Para ω = o módulo tende a zero e a curva é tangente a um dos eixos As formas gerais dos ramos dos diagramas polares em baixa freqüência para sistemas do tipo 0; e estão apresentados no gráfico á esquerda, enquanto que o diagrama polar da direita mostra a chegada das respectivas funções de transferências Note que sendo o grau do denominador do polinômio de G (jω) maior que o grau do numerador, então o lugar geométrico de G (jω) converge para a origem no sentido horário Com ω, os lugares são tangentes a um ou outro eixo do diagrama polar 04 Diagrama de módulo em db versus ângulo de fase Representamos também em controle, as características de resposta em freqüência de um sistema com a utilização de diagramas do módulo em decibéis versus o ângulo de fase ou a margem de fase para uma gama de valores de freqüência de interesse Definimos como margem de fase a diferença entre o proprio ângulo de fase ϕ e 80, logo: Margem de F ase = ϕ ( 80 ) = 80 + ϕ A curva obtida é graduada em termos da freqüência ω Este diagrama de módulo em db versus ângulo de fase recebem usualmente o nome de carta de

20 0 Nichols Em resumo quando se trabalha em analise por resposta em freqüência, os resultados podem ser apresentados de três configurações distintas Diagrama de Bode As características de resposta em freqüência de G (jω), são representadas em papel semilog no eixo horizontal e ainda em duas curvas separadas, a primeira para o módulo do ganho em db e a segunda para o ângulo de fase Diagrama de Módulo versus Ângulo de Fase Representamos em um mesmo diagrama as duas curvas do diagrama de Bode, combinadas em uma única Pelo método manual o diagrama de módulo em db versus fase pode ser construído por uma leitura ponto a ponto de módulo e ângulo de fase sobre o diagrama de Bode e então alocados sobre o diagrama de Modulo versus ângulo de fase Observa-se que neste tipo de diagrama a variação do módulo do ganho de G (jω) faz com que a curva se desloque para cima (quando aumentamos o ganho) ou para baixo (quando diminuímos o ganho), sem contudo modificar a forma da curva de resposta Carta de Nichols As vantagens da carta de Nichols ou diagrama de módulo em db versus fase, são que a estabilidade relativa do sistema de malha fechada pode ser determinada rapidamente e a compensação desejada ser facilmente dimensionada Neste tipo de diagrama de uma função de transferência senoidal G (jω) e de fracg (jω), são antisimétricos em relação a origem, pois: G (jω) em db = G (jω) em db e G (jω) = G (jω) Abaixo as três representações de G (jω) = (A) Diagrama de Bode ) ), para ζ > 0, sendo: + ζ (j ω + (j ω ωn ωn (B) Diagrama Polar (C) Diagrama de Módulo em db versus Ângulo de fase

21 05 Critérios de Estabilidade de Nyquist Utilizamos o critério de estabilidade de Nyquist para determinar a estabilidade de um sistema de malha fechada com base na resposta em frequencia de malha aberta e no pólos de malha aberta Sabe-se da Analise pelo Caminho do Lugar das Raízes, que pólo(s) no semi plano direito em malha fechada, instabilizam o sistema, embora em malha aberta o(s) pólo(s) possam se apresentar no semi plano direito sem necessariamente a perda da estabilidade O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta em frequencia de malha aberta de G (jω) H (jω) ao numero de pólos e zeros de + G (s) H (s) que se situam no semi plano direito do plano s No estudo do lugar das raízes concluímos que para garantir a estabilidade de um sistema os pólos dominantes devem se apresentar sempre no SPE Este critério deduzido por Nyquist, bastante útil na area de controle, determina a estabilidade absoluta de um sistema em malha fechada graficamente a partir das curvas de resposta em frequencia de malha aberta, sem a necessidade do conhecimento dos pólos de malha fechada As curvas de resposta em frequencia de malha aberta obtidas teórica e experimentalmente, podem ser utilizadas na analise da estabilidade, sem a necessidade do modelamento matemático do sistema, muitas vezes de obtenção trabalhosa ou desconhecida Para entendimento do critério de Nyquist, é necessário em primeiro lugar conhecer o mapeamento de contornos no plano complexo Supondo que uma função de transferência de malha aberta seja dada por G (s) H (s), representada por uma relação de polinômios em s Para que este sistema seja realizavel, o grau do polinômio do de-

22 nominador em malha fechada deve ser igual ou maior que o grau do numerador Isto significa que para qualquer sistema realizavel, o limite de G (s) H (s) para s, será nulo ou uma constante Para uma função de transferência genérica de malha fechada no domínio s C (s) R (s) = G (s) + G (s) H (s) F (s) = + G (s) H (s) = 0 Mostraremos que uma dada trajetória continua e fechada sobre o plano s, que não passe por qualquer singularidade, corresponde a uma curva fechada em um outro plano que iremos denominar de plano F (s) A quantidade e o sentido dos envolvimentos da origem (0, 0) do plano F (s) pela curva fechada obtida nos trazem informações relativas a estabilidade do sistema Considerando uma função de malha aberta Calculamos a equação característica G (s) H (s) = s F (s) = + G (s) H (s) = + s = s + = s + s s = 0