Análise da Resposta em Frequência

Transcrição

1 Análise da Resposta em Frequência Prof. Marcus V. Americano da Costa F o Departamento de Engenharia Química Universidade Federal da Bahia Salvador-BA, 6 de dezembro de 2016

2 Sumário 1 Introdução 2

3 Resposta em frequência Resposta em regime estacionário de um sistema excitado por entradas senoidais. -> Apresenta maior facilidade para lidar com as incertezas da planta. -> Não é necessário nenhum procedimento intermediário para chegar a um modelo do sistema. -> Funções de transferência de sistemas complexos são determinados experimentalmente por este método.

4 U(s) G(s) Y(s) Consideremos o sistema: G(s) = Y(s) U(s) u(t) = A sen(ωt) Resposta em regime permanente: y(t) = G(jω) sen(ωt +φ)

5 Demonstração Para demonstrar a teoria anterior, suponha os pólos de G(s) distintos e a inexistência de pólos em ± jw. Suponha também um sistema estável.

6 Sumário 1 Introdução 2

7 Formas gráficas mais utilizadas para análise Gráfico polar ou curva de Nyquist; diagrama de Bode; curvas de Nichols.

8 Diagramas polares O diagrama polar de G(jw) representa sua evolução à medida que w varia de 0 a +. Uma vantagem desse tipo de diagrama é representar G(jw) em um único gráfico. O diagrama polar é também conhecido como diagrama de Nyquist.

9 Exemplos 1) Sistema de 1 a ordem: 2) Sistema de 2 a ordem: G(s) = G(s) = 1 τs (s/w n ) 2 + 2ξs/w n + 1

10 Margens de estabilidade - Margem de ganho (MG) Seja w f a frequência de cruzamento de fase: G(jw f ) = 180 o. MG = 1 G(jw f ) MG db = 20log G(jw f ) - Margem de fase (MF) Seja w g a frequência de cruzamento de ganho: G(jw g ) = 1. MF = G(jw g )+180 o

11 Exemplo: G(s) = 1 s(3s 2 +7s+2) 50 Bode Diagram 0 Magnitude (db) System: G Gain Margin (db): 13.4 At frequency (rad/sec): Closed Loop Stable? Yes Phase (deg) System: G Phase Margin (deg): 34.4 Delay Margin (sec): 1.75 At frequency (rad/sec): Closed Loop Stable? Yes Frequency (rad/sec)

12 Especificações no Domínio da Frequência O desempenho de um sistema de controle é, em geral, avaliado a partir de sua resposta temporal. Entretanto, algumas características da resposta em frequência relacionam-se fortemente a características da resposta temporal. Desse forma, portanto, pode-se considerar o projeto via resposta em frequência como um projeto indireto.

13 Alguns dos principais critérios de um desempenho da resposta em frequência são: Pico de ressonância (µ r ): é o valor máximo de T(jw) - é a maior ampliação do sinal de entrada considerando-o senoidal. Frequência de ressonância (w r ): é a frequência na qual ocorre o pico de ressonância.

14 Frequência de corte (w b ): é a frequência na qual T(jw) cai 1/ 2 = 0, 707 de seu valor de baixa frequência T(0) (cai 3 db de T(0)). Largura de faixa (0 w w b ). Taxa de corte: é a inclinação da curva T(jw) db próxima à frequência de corte - indica a capacidade de um sistema para distinguir o sinal do ruído. Margens de ganho e de fase.

15 Exemplo Caracterização de um sistema de 1 a ordem.

16 Análise de Estabilidade: Critério de Nyquist Previamente, foram vistos dois critérios: i) Método direto, em que o posicionamento dos pólos em relação ao eixo imaginário do plano s fica determinado pelas raízes do polinômio característico. ii) Crirério de Routh. Já o critério de Nyquist é um método gráfico que permite que se avalie o quanto estável é o sistema de malha fechada a partir do sistema em malha aberta. Ou seja, é possível obter informações sobre a resposta em frequência de um sistema e indica o seu grau de estabilidade ou quanto falta para se tornar estável (margens de ganho e de fase). É possível adaptá-lo para o estudo de sistemas não lineares.