O critério de Nyquist

Transcrição

1 O critério de Nyquist Critério de análise de estabilidade de sistemas dinâmicos lineares com realimentação negativa. Usa a função de transferência em malha aberta (antes da realimentação). É uma aplicação do princípio do argumento.

2 O princípio do argumento Conceito: Um ponto será chamado um ponto circundado por um caminho fechado no plano complexo se e só se o ponto estiver contido na região interior ao caminho.

3 Teorema (Princípio do Argumento): Seja F(s) uma função complexa de variável complexa (isto é F: C C) analítica sobre um caminho fechado no plano complexo e dentro da região por ele circundada (isto é na região interior ao caminho), exceto em um número finito de pontos no interior de. Então mapeado por F(s) circundará a origem N vezes, onde: N = Z P,

4 Teorema (Princípio do Argumento): N = Z P, Z é o número de zeros de F(s) no interior de. P é o número de polos de F(s) no interior de. N é positivo se o circundamento da origem for no mesmo sentido de. N é negativo se o circundamento da origem for em sentido contrário ao de.

5 F ( s ) F ( s 3) Ilustração F(s 1 ) s 1 0 F(s 2 ) 0 s s 3 2 O mapeamento direto é único. O mapeamento inverso pode não ser.

6 Exemplo: Fs () K( s z) ( s b)( s a) - a 0 Fase de F(s): Fs () - b - z ( s z), ( s b), ( s a)

7 Após uma volta completa pelo caminho fechado, o ângulo terá variado de 360º, pois o ponto z está no interior do caminho. O mesmo teria acontecido para qualquer contribuição de fase de outros zeros ou polos no interior de. Para os polos e zeros fora da região circundada por a contribuição de fase não terá variado de 360º. No caso deste exemplo teremos: Z = 1, P = 0 e N = Z P = 1. Numa demonstração do princípio do argumento esse arrazoado é formalizado.

8 Contando o número de circundamentos

9 O critério de Nyquist Aplicação do princípio do argumento para um caminho fechado particular chamado curva de Nyquist. A curva de Nyquist engloba todo o semi-plano complexo direito, percorrendo também o eixo imaginário. No eixo imaginário a curva de Nyquist contorna as singularidades (polos) da função analisada (pontos onde a função não é analítica).

10 ( s a) AG(s) (, a 0, b 0, c s( s b )( s c)

11 O diagrama de Nyquist O diagrama de Nyquist é a representação gráfica do mapeamento da curva de Nyquist através da função em análise. No caso do exemplo, este diagrama seria o mapeamento G(), sendo o caminho fechado mostrado na figura anterior. Para a construção do diagrama de Nyquist, o esboço prévio do diagrama de Bode da função G(s) pode ser proveitoso. Não é necessário que o diagrama de Nyquist seja muito preciso; muitas vezes um esboço é o suficiente para a análise e pontos de interesse podem ser calculados quando necessário.

12 Propriedade de simetria do diagrama de Nyquist Como para funções de transferência racionais com coeficientes reais valem as propriedades G( j ) G( j) e G( j) G( j) o diagrama de Nyquist de uma função de transferência será sempre simétrico em relação ao eixo real.

13 Teorema: O critério Um sistema com função de transferência de um dos tipos T(s) = G(s) 1+kG(s) T(s) = 1 1+kG(s) T(s) = kg(s) 1+kG(s) (ou com denominador da forma Δ(s) = 1+kG(s)) é estável se e somente se o diagrama de Nyquist de G(s) circundar o ponto 1/k no sentido contrário ao da curva de Nyquist um número de vezes igual ao número de polos de G(s) no semiplano complexo direito.

14 O critério Teorema (enunciado alternativo): Seja P o número de polos de uma função de transferência G(s) no semiplano complexo direito. Então uma função de transferência de um dos tipos T(s) = G(s) 1+kG(s) T(s) = 1 1+kG(s) T(s) = kg(s) 1+kG(s) terá Z = N + P polos no semiplano complexo direito, onde N é o número de voltas que o diagrama de Nyquist de G(s) dá em torno do ponto 1/k no mesmo sentido da curva de Nyquist, e P, como dito anteriormente, é o número de polos de G(s) no semiplano complexo direito.

15 Entendendo o critério F(s) = Δ(s) = 1+kG(s) = 1+k Os polos de F(s) são as raízes de D(s) que são também os polos de G(s) (polos de malha aberta). Os zeros de F(s) são as raízes de D(s)+kN(s), que nada mais são que os polos em malha fechada do sistema. Podemos então reescrever N = Z P como Ou N(s) D(s) N = PolosMF PolosMA PolosMF = PolosMA + N = D(s) + kn(s) D(s)

16 Onde N é o número de voltas que F() dá em torno da origem no mesmo sentido da curva. Que é o número de voltas que 1+kG() dá em torno da origem. Que, por sua vez é igual ao número de voltas que kg() dá em torno de -1. (F(s) nada mais é que kg(s) transladado). E o número de voltas que kg() dá em torno de -1 é igual ao número de voltas que G() dá em torno de -1/k (basta escalonar o gráfico usando k como fator de escala).

17 Conclusão: PolosMF = PolosMA + N O número de polos de MF no semiplano da direita é igual ao número de polos de MA no spd mais o número de voltas que o diagrama de Nyquist de G(s) dá em torno de -1/k no mesmo sentido da curva de Nyquist. Ou seja, para que o sistema em malha fechada seja estável o diagrama de Nyquist deve dar um número de voltas em torno de -1/k no sentido contrário, igual ao número de polos de malha aberta de G(s) no semiplano da direita.

18 O diagrama de Nyquist de G(s) nada mais é do que o diagrama polar de G(jω) e G(-jω) percorrido em um determinado sentido. A parte com raio do contorno é mapeada em um único ponto, normalmente na origem.