Introdução Diagramas de Bode Gráficos Polares Gráfico de Amplitude em db Versus Fase. Aula 14. Cristiano Quevedo Andrea 1

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1 Cristiano Quevedo Andrea 1 1 UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Outubro / 48

2 Resumo 1 Introdução 2 Diagramas de Bode 3 Gráficos Polares 4 Gráfico de Amplitude em db Versus Fase 2 / 48

3 Resposta em Frequência Introdução Resposta em regime estacionário de um sistema submetido a um sinal senoidal (método mais antigo que o Lugar das Raízes). Para analisar a resposta em frequência de um sistema varia-se a frequência do sinal de entrada e estuda-se os efeitos resultantes. Ao ser variado a frequência do sinal de entrada pode variar o ganho do sinal de saída e a ainda a fase do sinal. Quando abordamos o estudo de um sistema de controle no domínio da frequência podemos encontrar várias vantagens: Análise de estabilidade via o critério de Nyquist. Determinação experimental de funções de transferência via análise da reposta em frequência. Projeto de sistemas de controle robusto a presença de ruídos. 3 / 48

4 Embora especificações de regime transitório e permanente não estejam presentes na análise frequencial, ocorre um ajuste das características da resposta em frequência de malha aberta utilizando vários critérios de projeto para que a resposta em malha fechada seja satisfatória. RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE PARA UMA ENTRADA SENOIDAL Considere o sistema linear e invariante no tempo ilustrado a seguir: Neste caso temos que a função de transfêrencia, G(s) = Y(s) X(s) 4 / 48

5 O sinal de entrada é senoidal e é dado por: x(t) = Xsen(ωt) Se o sistema for estável, a saída y é dada por: y(t) = Ysen(ωt +φ) sendo, Y = X G(jω) 5 / 48

6 Neste caso o ângulo da função de transferência G(s) é dado por: [ ] Parte Imaginária de G(jω) φ = G(jω) = tan 1 Parte Real de G(jω) Em resumo, e G(jω) = Y(jω) X(jω) G(jω) = Y(jω) X(jω) Assim a resposta em frequência é obtida a partir de: G(jω) = Y(jω) X(jω) 6 / 48

7 Um valor negativo de fase é chamado atraso de fase e um valor positivo de fase é chamado avanço de fase. A função de transferência senoidal é obtida substituindo-se jω na função de transferência. CARACTERÍSTICAS DA RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Podemos representar a resposta em frequência graficamente, neste contexto, é caracterizada a magnitude e fase do sistema abordado. Existem 3 representações gráficas comumente utilizadas para obter a resposta em frequência. Diagrama de Bode Diagrama de Nyquist (gráfico polar) Diagrama da Resposta Logarítmica versus Ângulo de fase 7 / 48

8 Diagramas de Bode Diagramas de Bode Gráfico no qual é apresentado dois gráficos simultâneos. O primeiro gráfico apresenta a relação entre o módulo em db da função de transferência e no segundo gráfico é apresentado o angulo em graus da função de transferência. Ambos os gráficos são construídos em função da frequência na escala logarítmica. Exemplo Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 8 / 48

9 O módulo do diagrama de Bode O módulo é apresentado em db, assim para obter a magnitude do sistema em uma determinada frequência, temos: M db = 20log G(jω) Exemplo: Considere que em uma análise do diagrama de bode foi encontrado o valor de magnitude de -20dB para uma determinada frequência. Assim, para obter o valor do ganho em magnitude temos: 20log(G) = 20 log(g) = G = 10 1 = 0, 1 9 / 48

10 Exemplo: Encontre a equação analítica para magnitude e fase para o seguinte sistema: G(s) = 1 (s + 2)(s + 4) (1) Resp: M(ω) = 1 (8 ω2 ) 2 +(6ω) 2 (2) e ( ) 6ω φ(ω) = arctan 8 ω 2 (3) 10 / 48

11 VANTAGENS DA ESCALA LOGARÍTMICA Multiplicação de módulos é convertida em adição. O esboço da curva do logaritmo do módulo é simples. Neste contexto utilizamos aproximações por assíntotas para esboçar o diagrama de módulo logarítmico. FATORES BÁSICOS DE G(jω)H(jω) 1- Ganho K Magnitudes com número maior que 1 possuem valores positivo em decibéis, enquanto magnitudes menos que 1 possuem valores negativos. A curva do logaritmo do módulo para um ganho K constante é uma horizontal de valor 20log(K) db. O ângulo do ganho K é nulo. Variando-se o ganho K não se altera o ângulo. 11 / 48

12 Quando aumentamos o ganho de 10 vezes temos: 20log(10k) = 20log(K)+20 generalizando 20log(10 n k) = 20log(K)+20n 12 / 48

13 2- Fatores Integrais e Derivativo (jω) ±1 O módulo logarítmico de 1/jω é: 20log 1 jω = 20log(ω) db O ângulo de 1/jω é 90. Em um diagrama de Bode as frequências são expressas em oitavas ou décadas. Uma oitava é um intervalo de frequência compreendido entre ω 1 e 2ω 1, sendo ω 1 uma frequência de qualquer valor. Uma década corresponde a um intervalo de frequência compreendido entre ω 1 e 10ω 1. Considerando-se uma frequência 10ω temos, 20log(10ω) = 20log(ω) 20 db (4) a inclinação da reta é 20 db/década. 13 / 48

14 O logaritmo do módulo de jω em db é: O ângulo de fase de jω é log jω = 20log(ω) A curva do módulo em db é uma reta com inclinação de 20 db/década. Se a função de transferência contiver o fator (1/jω) n e (jω) n, os módulos em db resultam respectivamente: 20log 1 (jω) n = n20log jω = 20nlog(ω) db 20log (jω) n = n20log jω = 20nlog(ω) db 14 / 48

15 Diagrama de Bode 15 / 48

16 3- Fatores de Primeira Order (1+jω) ±1 O módulo em db do fator de primeira ordem 1/(1+jωT) é 20log 1 (1+jωT) 1+ω = 20log 2 T 2 db ω << 1/T 20log 1+ω 2 T 2 = 20log(1) = 0 db ω >> 1/T 20log 1+ω 2 T 2 = 20logωT db A resposta para o fator 1/(1+jωT) pode ser aproximada por duas retas assintóticas, uma reta em 0 db para a faixa de frequência entre 0 < ω < 1/T e outra reta com inclinação 20 db/década para faixas de frequências 1/T < ω <. 16 / 48

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18 O ângulo de fase φ para o fator de primeira ordem 1/(1+jωT) é dado por: φ = tan 1 ωt Na frequência zero, o ângulo de fase é 0. Para ω = 1/T temos: φ = tan 1 T T = tan 1 1 = 45 No infinito, o ângulo de fase se torna 90 O erro máximo entre o gráfico obtido por assíntotas e o gráfico real acontece na frequência de corte e é dado por: 20log log1 = 3, / 48

19 Erro em Módulo da Resposta em Frequência por Assíntota 19 / 48

20 Diagrama de Bode para o Fator (1+jωT) 20 / 48

21 4- Fatores Quadráticos [ 1+2ζ(jω/ω n )+(jω/ω n ) 2] ±1 Muitos sistemas de controle possui a forma quadrática dada por: 1 ) ) 2 1+2ζ (j ωωn + (j ωωn A resposta em frequência pode ser obtida por: ( ) 2 ) log ) ) 2 = 20log 1 1+2ζ (j ωωn + (j ω2 +(2ζ ωωn ω ωωn n 2 Se ω << ω n, temos 20log1 = 0 db A assíntota para baixas frequências é um reta em 0 db. 21 / 48

22 Se ω >> ω n, temos 20log ω2 ω 2 n = 40log ω ω n a equação para a assíntota em alta frequência é uma reta que possui inclinação de 40 db/década uma vez que: 40log 10ω ω n = 40 40log ω ω n A frequência de corte é ω n. O ângulo φ para o fator quadrático é dado por: 1 φ = ) ( ) 2 = tan 1+2ζ (j 1 2ζ ω ω n ( ωωn + j ω ω n 1 ) 2 ω ω n 22 / 48

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24 Exemplo Esboce o diagrama de bode para a seguinte função de transferência: G(jω) = 10(jω + 3) (jω)(jω + 2)[(jω) 2 + jω + 2] O primeiro procedimento a ser realizado é normalizar a função de transferência para evitar possíveis erros, então: ( ) 7, 5 jω G(jω) = [ ] (jω)( jω + 1) (jω) 2 + jω Esta função é composta pelos seguintes fatores: ( ) jω 7, 5; 3 + 1, 1 jω, 1 jω + 1 e 1 ( jω 2 2 ) 2 + jω / 48

25 As frequências de corte terceiro, quarto e quinto termo são respectivamente, ω = 3, ω = 2 e ω = 2. O coeficiente de amortecimento do último termo é 0, / 48

26 Diagrama de Bode no Matlab bode(num, den) bode(num, den, w) [mag, fas, w] = bode(num, den) bode(a, B, C, D) 0 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 26 / 48

27 Considerando-se o diagrama de Bode anterior, se for aplicado um sinal senoidal r(t) = sin(10t), qual é o valor do sinal de saída? 0 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 27 / 48

28 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE POSIÇÃO K p Considere um sistema com realimentação unitária com função de transferência de malha direta dado por: ou G(s) = K(T as + 1)(T b s + 1) (T m s + 1) s N (T 1 s + 1)(T 2 s + 1) (T p s + 1) G(jω) = K(T ajω + 1)(T b jω + 1) (T m jω + 1) (jω) N (T 1 jω + 1)(T 2 jω + 1) (T p jω + 1) Neste caso, lim ω 0 G(jω) = K p assim, a assíntota para baixas frequências é uma reta horizontal em 20logK p db. 28 / 48

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30 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE K v Considere o sistema de controle ilustrado abaixo: A interseção do segmento de 20dB/década com a reta ω = 1 tem como valor 20logK v. 30 / 48

31 Para o sistema de controle abordado nesta seção temos, assim, G(jω) = K v, para ω << 1 jω 20log K v jω = 20logK v ω=1 A interseção do segmento inicial de 20dB/década com a reta de 0 db possui frequência numericamente igual a K v. Para verificar este resultado, define-se a frequência nesta interseção igual a ω 1, assim: K v jω 1 = 1 ou K v = ω 1 31 / 48

32 DETERMINAÇÃO DA CONSTANTE DE ERRO DE VELOCIDADE K a Seja o sistema de controle com realimentação unitária com função de transferência G(s) ilustrado anteriormente, a figura seguinte ilustra o diagrama de Bode de um sistema tipo / 48

33 A interseção do segmento inicial de 40dB/década, ou seu prolongamento, com a reta ω = 1 possui a ordenada 20logK a. Considerando-se frequências baixas temos: segue-se que: G(jω) = K a (jω) 2,para ω << 1 (5) 20log K a (jω) 2 = 20logK a ω=1 A frequência ω a do segmento incial de 40dB/década com a reta de 0 db fornece a raiz quadrada de K a numericamente. 20log K a (jω a ) 2 = 20log1 ω a = K a 33 / 48

34 Sistema de Fase Mínima e Não Mínima Funções de transferência que não possuam pólos ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase mínima. Funções de transferência que possuam pólos e/ou zeros no semiplano direito do plano complexo s são funções de transferência de fase não-mínima 34 / 48

35 Gráficos Polares O gráfico polar de uma função de transferência senoidal G(jω) é um gráfico do módulo de G(jω) versus o ângulo de fase de G(jω) em coordenadas polares, quando ω varia de zero a infinito. Em gráficos polares os ângulos de fase positivo é medido no sentido horário, enquanto o ângulo de fase negativo é medido no sentido anti-horário. O gráfico polar também é denominado de gráfico de Nyquist. 35 / 48

36 1- Fatores Integrais e Derivativo (jω) ±1 O gráfico polar de G(jω) = 1/jω é o eixo imaginário negativo, uma vez que: G(jω) = 1 jω = j ω = 1 ω 90 O gráfico polar de G(jω) = jω é o eixo imaginário positivo. 2- Fatores de Primeira Ordem (1+jω) ±1 Para a função de transferência senoidal, G(jω) = 1 1+jωT = 1 1+ω2 T 2 tan 1 ωt os valores de G(jω) para ω = 0 e ω = 1/T são respectivamente, ( G(j0) = 1 0 ; G j 1 ) = 1 45 T 2 36 / 48

37 Quando ω tende ao infinito, o módulo de G(jω) tende ao infinito, e o ângulo de fase tende a / 48

38 3 - Fatores Quadráticos [ 1+2ζ(jω/ω n )+(jω/ω n ) 2] ±1 As partes de baixa e alta frequência para a função senoidal 1 ) ) 2 para ζ > 0 1+2ζ (j ωωn + (j ωωn são dadas respectivamente por: lim G(jω) = ω e lim G(jω) = ω O gráfico polar para fatores quadráticos são ilustrados a seguir: 38 / 48

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40 Considere a seguinte função senoidal, ) ) 2 G(jω) = 1+2ζ (j ωωn + (j ωωn = (1 ω2 ω 2 n O trecho para baixas frequências é; ) + j lim G(jω) = 1 0 ω 0 e para o trecho de altas frequências é: lim G(jω) = 180 ω ( ) 2ζω ω n 40 / 48

41 Diagrama de Nyquist 41 / 48

42 EXEMPLO Considere a seguinte planta de segunda ordem: G(s) = 1 s(ts + 1) Esboçar o gráfico polar desta função de transferência. A função senoidal pode ser escrita como: 1 G(jω) = jω(1+jωt) = T 1+ω 2 T 2 j 1 1+ω 2 T 2 a parte para baixas frequências do gráfico polar temos: lim G(jω) = T j = 90 ω 0 e a parte de alta frequência se torna, lim G(jω) = 0 j0 = ω 42 / 48

43 Gráfico Polar 43 / 48

44 GRÁFICOS POLARES DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA SIMPLES 44 / 48

45 45 / 48

46 DIAGRAMA DE NYQUIST VIA MATLAB nyquist(num, den) nyquist(num, den, w) [re, imag] = nyquist(num, den) [re, imag] = nyquist(num, den, w) nyquist(a, B, C, D) num e den é o numerador e denominador da função G(s) respectivamente. A, B, C, D são as matrizes de um dado sistema descrito na forma de espaço de estado. 46 / 48

47 Gráfico de Amplitude em db Versus Fase Outra abordagem para representar a resposta em frequência é o gráfico do log do módulo versus fase. Também conhecido como gráfico de Nichols. As vantagens do gráfico log-módulo versus fase são as seguintes: a estabilidade relativa de malha fechada pode ser determinada rapidamente e a compensação pode ser realizada com facilidade. O gráfico log-módulo versus fase para as funções de transferência senoidais G(jω) e 1/G(jω) são anti-simétricos em relação a origem: 1 G(jω) db = G(jω) db e G(jω) = 1/G(jω) 47 / 48

48 Comparação entre as resposta em frequência de um fator quadrático 48 / 48