V. ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA MPS-43: SISTEMAS DE CONTROLE V. ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO Prof. Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Abril/2017 São José dos Campos

2 MPS-43: Sistemas de Controle 2 Sumário V. ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO V.1. Introdução V.2. Sinais de Teste V.3. Especificação de Desempenho em Regime Transitório V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente V.4.1. Definições Preliminares V.4.2. Sistemas com Realimentação Unitária

3 MPS-43: Sistemas de Controle 3 Sumário V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.1. Introdução V.7.2. Inserção de um Polo à FTMF V.7.3. Inserção de um Polo à FTMA V.7.4. Inserção de um Zero à FTMF V.7.5. Inserção de um Zero à FTMA

4 MPS-43: Sistemas de Controle 4 V.1. Introdução Resposta Temporal da Saída do Sistema: Em geral, é dada por y t = y T t + y P t, t t 0, onde y T t é a resposta em regime transitório (transiente) e y P t é a resposta em regime permanente (estacionário). Considera-se neste capítulo que os sistemas sejam estáveis. Nesse caso, y P t lim t y t.

5 MPS-43: Sistemas de Controle 5 V.1. Introdução Importância em Projeto: Seja o sistema de controle modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Controlador Planta E(s) U(s) Y(s) C(s) G(s) No projeto desse sistema, deve-se dimensionar o controlador C(s) de forma que y(t) se aproxime de r(t), tanto no regime transitório, como em regime permanente.

6 MPS-43: Sistemas de Controle 6 V.2. Sinais de Teste Motivação: Geralmente, não se pode prever os comandos a que um sistema será submentido durante sua operação. Exemplo: Quadricóptero em movimento num ambiente desconhecido e/ou que se modifica ao longo do tempo.

7 MPS-43: Sistemas de Controle 7 V.2. Sinais de Teste... Nesse caso Sinais padrão de teste são adotados com o intuito de sistematizar a avaliação de desempenho de sistemas de controle.

8 MPS-43: Sistemas de Controle 8 V.2. Sinais de Teste Entrada (do tipo) Degrau: r t = ρ, t 0 0, t < 0 ρ r t R s = ρ s 0 t Observações: 1. Em especial, se ρ = 1, r t = 1 t (degrau unitário); 2. Testes com entrada degrau revelam informações sobre a resposta do sistema a mudanças abruptas na entrada de comando.

9 MPS-43: Sistemas de Controle 9 V.2. Sinais de Teste Entrada (do tipo) Rampa: r t = ρt, t 0 0, t < 0 r t coef. angular = ρ R s = ρ s 2 Observações: 0 t 1. Em especial, se ρ = 1, r t = t1 t (rampa unitária); 2. Útil para testar sistemas de controle de posição que devem, em partes da missão, movimentar-se com velocidade constante; 3. Se o sistema de controle não for capaz de acompanhar a velocidade comandada, o erro de posição aumentará com o tempo.

10 MPS-43: Sistemas de Controle 10 V.2. Sinais de Teste Entrada Parabólica: r t = ρ 2 t2, t 0 0, t < 0 r t R s = ρ s 3 Observações: 0 t 1. Em especial, se ρ = 1, r t = t1 t (parábola unitária); 2. Útil para testar sistemas de controle de posição que devem, em partes da missão, movimentar-se com aceleração constante.

11 MPS-43: Sistemas de Controle 11 V.3. Especificação de Desempenho em Regime Transitório Geralmente, caracteriza-se o regime transitório considerando-se que a entrada de comando r(t) seja submetida a um degrau unitário. A saída y(t) resultante é tipicamente: y max M p = y max 1 1 r t y t 0,02 0 t s t p t a t t s : tempo de subida t p : tempo de pico M p : máxima ultrapassagem t a : tempo de acomodação

12 MPS-43: Sistemas de Controle 12 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente V.4.1. Definições Preliminares Seja o sistema modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Controlador C(s) D(s) U(s) + + Planta G(s) Y(s) Sensor H(s) + + N(s)

13 MPS-43: Sistemas de Controle 13 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Ignorando as entradas de ruído e distúrbio, define-se o erro (de controle) do sistema como sendo que no domínio do tempo fica E s R s Y s, e t r t y t. O erro em regime permanente é definido por (3) e P lim t e t. (4)

14 MPS-43: Sistemas de Controle 14 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Causas de Erro em Regime Permanente: Externas: entradas de distúrbio D(s) e de ruído N(s). Internas: não linearidades (atrito seco ou folga); comportamento entrada-saída do sistema. R(s) + Controlador C(s) D(s) U(s) + + Planta G(s) Y(s) Sensor H(s) + + N(s)

15 MPS-43: Sistemas de Controle 15 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Exemplo: 1 No DB abaixo, considere C(s) = 1, H(s) = 2 e G s =. Calcule s s+3 e P para uma entrada de comando do tipo degrau unitário. Despreze não linearidades, distúrbio e ruído de medida. R(s) + Controlador C(s) D(s) U(s) + + Planta G(s) Y(s) Sensor H(s) + + N(s)

16 MPS-43: Sistemas de Controle 16 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente V.4.2. Sistemas com Realimentação Unitária Seja agora o sistema modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Controlador C(s) U(s) Planta G(s) Y(s) Sensor O erro de controle definido na equação (3), fica E s = C s G s R s (5)

17 MPS-43: Sistemas de Controle 17 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Adicionalmente, considere que a função de transferência da malha tenha a forma C s G s = K T as + 1 T b s T m1 s + T m2 s 2 s j T 1 s + 1 T 2 s T n1 s + T n2 s 2, (6) em que T a, T b,..., T m1, T m2, T 1, T 2,..., T n1, T n2 são constantes reais e j é uma constante inteira não negativa. Diz-se que j é o tipo do sistema.

18 MPS-43: Sistemas de Controle 18 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Entrada Degrau Unitário: Considerando R(s) = 1/s em (5), obtém-se E s = 1 s 1 + C s G s Usando o Teorema do Valor Final, o erro em regime permanente é obtido como sendo... e P = lim s 0 se s = κ p,.

19 MPS-43: Sistemas de Controle 19 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente onde κ p é a constante de erro de posição: κ p lim s 0 C s G s = lim s 0 K T a s + 1 T b s T m1 s + T m2 s 2 s j T 1 s + 1 T 2 s T n1 s + T n2 s 2. Em resumo, Tipo (j) κ p e P = 1/(1 + κ p ) 0 K 1/(1 + K) r t 1 y t e P 0 t

20 MPS-43: Sistemas de Controle 20 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Entrada Rampa Unitária: Considerando R(s) = 1/s 2 em (5), obtém-se E s = s C s G s Usando o Teorema do Valor Final, o erro em regime permanente é obtido como sendo... e P = lim s 0 se s = 1 κ v,.

21 MPS-43: Sistemas de Controle 21 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente onde κ v é a constante de erro de velocidade: κ v lim s 0 sc s G s = lim s 0 K T a s + 1 T b s T m1 s + T m2 s 2 s j 1 T 1 s + 1 T 2 s T n1 s + T n2 s 2. Em resumo, Tipo (j) κ v e P = 1/κ v K 1/K r t y t e P 0 t

22 MPS-43: Sistemas de Controle 22 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente Entrada Parábola Unitária: Considerando R(s) = 1/s 3 em (5), obtém-se E s = s C s G s Usando o Teorema do Valor Final, o erro em regime permanente é obtido como sendo... e P = lim s 0 se s = 1 κ a,.

23 MPS-43: Sistemas de Controle 23 V.4. Análise de Desempenho em Regime Permanente onde κ a é a constante de erro de aceleração: κ a lim s 0 s 2 C s G s = lim s 0 K T a s + 1 T b s T m1 s + T m2 s 2 s j 2 T 1 s + 1 T 2 s T n1 s + T n2 s 2. Em resumo, Tipo (j) κ a e P = 1/κ a K 1/K y t r t e P 0 t

24 MPS-43: Sistemas de Controle 24 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Sistema: Seja o sistema LIT de primeira ordem modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Controlador Planta E(s) U(s) Y(s) 1 1/(τs) A função de transferência de malha fechada é Y s R s = 1/(τs) 1 + 1/(τs) = 1 τs + 1, onde τ é a constante de tempo do sistema. (1)

25 MPS-43: Sistemas de Controle 25 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Degrau Unitário: Considerando R(s) = 1/s em (1), obtém-se e, portanto, Y s = 1 s y t = L 1 1 s 1 s + 1/τ e a derivada temporal y t = 1 τ e t τ, t 0. 1 τs + 1 = 1 s 1 s + 1/τ = 1 e t τ, t 0,

26 MPS-43: Sistemas de Controle 26 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem O tempo de acomodação t a da saída y(t) em torno de uma faixa de 2% do valor final é tal que 1 0,02 = 1 e t a τ ln 0,02 = t a τ t a 3,91τ Graficamente, Incl.= 1/τ r(t) 1 0,632 y(t) 0,02 0 τ t a t

27 MPS-43: Sistemas de Controle 27 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Resposta à Rampa Unitária: Considerando R(s) = 1/s 2 em (1), obtém-se e, portanto, Y s = 1 s 2 1 τs + 1 = τ s + 1 s 2 + τ s + 1/τ τ 1 y t = L s + 1 s 2 + τ s + 1/τ t = τ + t + τe τ, t 0. O erro em regime permanente é e P = τ.

28 MPS-43: Sistemas de Controle 28 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Graficamente, r(t) 0 τ e P = τ y(t) t

29 MPS-43: Sistemas de Controle 29 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Resposta ao Impulso Unitário: Considerando R(s) = 1 em (1), obtém-se e, portanto, y t = L 1 1/τ s + 1/τ e a derivada temporal Y s = 1/τ s + 1/τ = 1 τ e y t = 1 τ 2 e t τ, t 0. t τ, t 0.

30 MPS-43: Sistemas de Controle 30 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Graficamente, r(t) 1/τ 0,368/τ y(t) 0 τ t

31 MPS-43: Sistemas de Controle 31 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Observação: Como a derivada da rampa é o degrau e a derivada do degrau é o impulso: A resposta ao degrau é igual à derivada da resposta à rampa, A resposta ao impulso é igual à derivada da resposta ao degrau.

32 MPS-43: Sistemas de Controle 32 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Exemplo: Seja um motor de corrente contínua acoplado a uma carga rotativa. O modelo físico desse sistema é dado na figura: v a R a L a 0 i e τ, ω, θ Carga R a : Resistência da armadura L a : Indutância da armadura B: Coeficiente de atrito J: Momento de inércia J B 0 Características do motor: e = K e ω τ = K τ i...

33 MPS-43: Sistemas de Controle 33 V.5. Resposta Transitória de Sistemas de Primeira Ordem Obtenha analiticamente a resposta em velocidade ω t causada pelo comando do sistema por um degrau unitário na tensão de armadura v a t.

34 MPS-43: Sistemas de Controle 34 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Sistema: Seja o sistema LIT de segunda ordem modelado por: R(s) + E(s) ω n 2 s(s + 2ζω n ) Y(s) A função de transferência de malha fechada é Y s R s = ω n s ζω n s + ω, n onde ω n é a frequência natural não amortecida e ζ é o coeficiente de amortecimento do sistema. 2 (2)

35 MPS-43: Sistemas de Controle 35 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem A equação característica desse sistema é Δ s = s 2 + 2ζω n s + ω n 2 = 0 (3) e suas raízes s 1 e s 2 (polos de malha fechada) são s 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1. (4) Em seguinda, estuda-se analiticamente a resposta de (2) a um comando degrau unitário. A análise é dividida em três casos: Sistemas Subamortecidos: 0 < ζ < 1 Sistemas Criticamente Amortecidos: ζ = 1 Sistemas Superamortecidos: ζ > 1

36 MPS-43: Sistemas de Controle 36 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem 1. Sistemas Subamortecidos (0 < ζ < 1): Neste caso, as raízes em (4) são complexas conjugadas e podem ser reescritas como s 1,2 = ζω n ± jω d, onde ω d = ω n 1 ζ 2 é a frequência natural amortecida. Essas raízes são representadas no plano complexo por: s 1 ζω n s 2 β ω n 0 Im s jω d Re s (5)

37 MPS-43: Sistemas de Controle 37 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Da figura acima, o ângulo β é tal que cos β = ζ ou tan β = 1 ζ2. ζ Considerando um comando degrau unitário, i.e. R(s) = 1/s, de (2), a saída do sistema é obtida como sendo Y s = 1 s ω n 2 s 2 + 2ζω n s + ω n 2, cuja transformada inversa de Laplace fornece (6) y t = 1 e ζω nt 1 ζ 2 sin ω dt + β, t 0. (7)

38 MPS-43: Sistemas de Controle 38 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Observações: Se ζ = 0, a equação (7) se reduz a y t = 1 sin ω n t + π/2. Em palavras, o sistema fica no limiar de estabilidade. Da equação (5), observa-se que os polos do sistema se tornam imaginários, i.e. s 1,2 = ±jω n ; Se ζ < 0, da equação (5), observa-se que os polos s 1,2 do sistema estão no semiplano complexo da direita e, portanto, o sistema é instável. Da equação (7), nota-se que y(t) cresce ilimitadamente com o tempo. Em seguida, são obtidas expressões que relacionam t s, t p, t a e M p com os parâmetros ζ e ω n de um sistema de segunda ordem padrão.

39 MPS-43: Sistemas de Controle 39 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Tempo de Subida (t s ): É tal que y t s = 1. Usando (7), obtém-se 1 e ζω nt s 1 ζ 2 sin ω dt s + β = 1, donde sin ω d t s + β = 0, ou ainda ω d t s + β = kπ, k = 1,2,. Logo, fazendo k = 1, t s = π β ω d em que β é dado por (6).

40 MPS-43: Sistemas de Controle 40 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Tempo de Pico (t p ): É tal que y t p = 0. Derivando-se a equação (7), obtém-se e ζω nt p 1 ζ 2 ω d cos ω d t p + β + e ζωntp 1 ζ 2 ζω nsin ω d t p + β = 0, 1 ζ 2 cos ω d t p + β = ζsin ω d t p + β = 0, Por outro lado, por geometria, tan ω d t p + β = 1 ζ2 ζ. (8) 1 ζ 2 ζ = tan β + kπ, k = 0,1,2, (9)

41 MPS-43: Sistemas de Controle 41 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Fazendo k = 1 e substituindo (9) em (8), vem tan ω d t p + β = tan β + π, ω d t p + β = β + π, t p = π ω d

42 MPS-43: Sistemas de Controle 42 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Tempo de Acomodação (t a,2%): As envoltórias exponenciais da resposta y(t) dada por (7) são q 1,2 t = 1 ± e ζω nt 1 ζ 2, (10) O tempo de acomodação é tal que q 1 t a = 1,02. Logo, de (10), ζ q 1 t q 2 t 1 y t 1 1 ζ 2 t t a = 1 ζ2 ζω n ln 0,02 4 ζω n

43 MPS-43: Sistemas de Controle 43 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Máxima Ultrapassagem (M p ): É dado por M p = y t p M p = e ζω nt p M p = e ζωn 1. Usando (7), obtém-se 1 ζ 2 sin ω dt p + β = e π ω n 1 ζ 2 1 ζ 2 1 ζ 2, M p = e π ζω n ω n 1 ζ 2 ζπ 1 ζ 2 = sinβ 1 ζ 2 sin ω d π ω d + β, s 1 ζω n β ω n 0 Im s ω d Re s

44 MPS-43: Sistemas de Controle 44 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem 2. Sistemas Criticamente Amortecidos (ζ = 1): Neste caso, as raízes em (4) são reais e iguais: s 1,2 = ω n. Considerando um comando degrau unitário, i.e. R(s) = 1/s, de (2), a saída do sistema é obtida como sendo Y s = 1 s ω n 2 s 2 + 2ω n s + ω n 2 = 2 ω n s s + ω 2, n cuja transformada inversa de Laplace fornece y t = 1 e ω nt 1 + ω n t, t 0. 1 r(t) y(t) 0 t

45 MPS-43: Sistemas de Controle 45 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem 3. Sistemas Superamortecidos (ζ > 1): Neste caso, as raízes em (4) são reais e distintas: s 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1. Considerando um comando degrau unitário, i.e. R(s) = 1/s, de (2), a saída do sistema é obtida como sendo Y s = 1 s ω n 2 s + ζω n ω n ζ 2 1 s + ζω n + ω n ζ 2 1, Y s = k 1 s + k 2 s + ζω n ω n ζ k 3 s + ζω n + ω n ζ 2 1,...

46 MPS-43: Sistemas de Controle 46 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem cuja transformada inversa de Laplace fornece y t = ζ 2 1 ζ + ζ 2 1 e ζ+ ζ2 1 ω nt 1 2 ζ 2 1 ζ ζ 2 1 e ζ ζ2 1 ω nt, t 0. 1 r(t) y(t) 0 t

47 MPS-43: Sistemas de Controle 47 V.6. Resposta Transitória de Sistemas de Segunda Ordem Exemplo: Seja um servomecanismo de posição angular, controlado por uma lei de controle P-D, modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Planta E(s) + U(s) Y(s) K p K d s k s s + a Considere conhecidos os parâmetros k e a do modelo da planta. Dados como especificação de desempenho o tempo de pico t p e a máxima ultrapassagem M p da saída y(t) em resposta a um comando r(t) degrau unitário, obtenha expressões para o cálculo de K p e K d.

48 MPS-43: Sistemas de Controle 48 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.1. Introdução Motivação: Para sistemas de segunda ordem padrão, deduzimos relações simples entre especificações de desempenho (t s,t p,t a e M p ) e os parâmetros do modelo do sistema (ζ e ω n ). Seria possível deduzir tais relações para sistemas de segunda ordem com um zero ou para sistemas de ordem superior?

49 MPS-43: Sistemas de Controle 49 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Desafio: Seja um servomecanismo de posição angular, controlado por uma lei de controle PD, modelado pelo seguinte diagrama de blocos: R(s) + Planta E(s) U(s) Y(s) K p + K d s k s s + a Considere conhecidos os parâmetros k e a do modelo da planta. Dados como especificação de desempenho o tempo de pico t p e a máxima ultrapassagem M p da saída y(t) em resposta a um comando r(t) degrau unitário, obtenha expressões para o cálculo de K p e K d.

50 MPS-43: Sistemas de Controle 50 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Início da solução: Função de transferência de malha fechada: Y(s) R(s) = k K p + K d s s 2 + a + kk d s + kk p Considerando uma entrada do tipo degrau unitário, Y s = 1 k K p + K d s s s 2 + a + kk d s + kk p Y s = 1 kk p s s 2 + K d kk p + a + kk d s + kk p K p s 2 + a + kk d s + kk p e, portanto,... y t = 1 e ζω nt 1 ζ 2 sin ω dt + β + T zω n e ζωnt 1 ζ 2 sin ω dt (11)

51 MPS-43: Sistemas de Controle 51 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros onde ω n = kk p, ζ = a + kk d 2ω n, T z = K d K p. Desafio: Ache uma relação algébrica entre M p e t p e os parâmetros ω n, ζ e T z da resposta temporal dada pela equação (11).

52 MPS-43: Sistemas de Controle 52 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Comentários: Para fins de projeto, é interessante que o sistema em malha fechada se comporte aproximadamente como um sistema de segunda ordem padrão; Caso essa aproximação seja inviável, qual o efeito, ao menos qualitativo, da inserção de polos ou zeros a um sistema de segunda ordem padrão?

53 MPS-43: Sistemas de Controle 53 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.2. Inserção de um Polo à FTMF Sistema: R(s) + ω n 2 s(s + 2ζω n ) Y 1 (s) T p s Y(s) A função de transferência de malha fechada fica Y s R s = 1 ω2 n 1 + T p s s ζω n s + ω, n... Y s R s = k 1 s + 1/T p + k 2 s + ζω n jω d + k 3 s + ζω n + jω d,

54 MPS-43: Sistemas de Controle 54 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros onde k 1 = T p 2 ω n 2 T p 2 ω n ζω n T p k 2 = k 3 = 2jω d ω n 2 2jω d 1 T p ζω n jω d ω n 2 1 T p ζω n + jω d Análise Qualitativa: O aumento de T p aumenta a significância do polo real em relação ao par de polos complexos. Consequentemente, o aumento de T p : Reduz M p ; Torna o sistema mais lento.

55 MPS-43: Sistemas de Controle 55 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Simulação: Considera-se ω n = 1, ζ = 0,5. Comandando o sistema com um degrau unitário, suas saídas, quando se varia T p (T p = 0; 1; 5; e 10), são dadas no gráfico: Tp = 0 Tp = 1 Tp = 5 Tp = 10 y(t) (seconds) t

56 MPS-43: Sistemas de Controle 56 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.3. Inserção de um Polo à FTMA Sistema: R(s) T p s ω n 2 s(s + 2ζω n ) Y(s) A função de transferência de malha fechada fica Y s R s = ω n T p s 3 + 2ζω n T p + 1 s ζω n s + ω. n 2

57 MPS-43: Sistemas de Controle 57 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Análise Qualitativa: Espera-se que o polo de malha aberta inserido em s = 1/T p : Aumente M p à medida que se aumenta T p, pois dessa forma, s se aproxima do semiplano complexo da direita. Torne o sistema mais lento, pois o fator 1/(1 + T p s) tem característica de um filtro PB.

58 MPS-43: Sistemas de Controle 58 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Simulação: Considera-se ω n = 1, ζ = 0,5. Comandando o sistema com um degrau unitário, suas saídas, quando se varia T p (T p = 0; 1; 5; e 10), são dadas no gráfico: Tp = 0 Tp = 1 Tp = 5 Tp = 10 y(t) (seconds) t

59 MPS-43: Sistemas de Controle 59 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.4. Inserção de um Zero à FTMF Sistema: R(s) + ω n 2 s(s + 2ζω n ) Y 1 (s) 1 + T z s Y(s) A função de transferência de malha fechada fica Y s R s = ω n T z s s ζω n s + ω. n

60 MPS-43: Sistemas de Controle 60 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Considerando uma entrada degrau unitário, a saída fica: Y s = ω n 2 que no domínio do tempo fica: 2 T z s s ζω n s + ω + ω n n s ζω n s + ω n Y 1 s y t = y 1 t + T z y 1 t. st z Y 1 s (Este gráfico foi retirado de [Kuo, B. C.; Golnaraghi, F. Automatic Control Systems, John Wiley & Sons, 2003], página 280.)

61 MPS-43: Sistemas de Controle 61 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Análise Qualitativa: Espera-se que o zero de malha fechada inserido em s = 1/T z : Aumente M p à medida que se aumenta T z ; Torne o sistema mais rápido à medida que se aumenta T z.

62 MPS-43: Sistemas de Controle 62 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Simulação: Considera-se ω n = 1, ζ = 0,5. Comandando o sistema com um degrau unitário, suas saídas, quando se varia T z (T z = 0; 1; 5; e 10), são dadas no gráfico: y(t) 3 Tz = 0 Tz = 1 Tz = 5 Tz = (seconds) t

63 MPS-43: Sistemas de Controle 63 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros V.7.5. Inserção de um Zero à FTMA Sistema: R(s) T z s ω n 2 s(s + 2ζω n ) Y(s) A função de transferência de malha fechada fica Y s R s = ω 2 n 1 + T z s s 2 + 2ζω n + T zω 2 2 n s + ω. n

64 MPS-43: Sistemas de Controle 64 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Análise Qualitativa: O parâmetro T z tem os seguintes efeitos: No numerador: aumenta M p e reduz t s ; No denominador: reduz M p e aumenta t s. Dependendo da faixa de valores de T z, um ou o outro efeito acima descritos será dominante.

65 MPS-43: Sistemas de Controle 65 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros Simulação: 1. Considera-se ω n = 1, ζ = 0,5. Comandando o sistema com um degrau unitário, suas saídas, quando se varia T z (T z = 0; 0,1; 0,2; e 0,5), são dadas no gráfico: Tz = 0 Tz = 0,1 Tz = 0,2 Tz = 0,5 y(t) (seconds) t

66 MPS-43: Sistemas de Controle 66 V.7. Efeitos da Inserção de Polos e Zeros 2. Considera-se ω n = 1, ζ = 0,1. Comandando o sistema com um degrau unitário, suas saídas, quando se varia T z (T z = 0; 1; 2; e 5), são dadas no gráfico: Tz = 0 Tz = 1 Tz = 2 Tz = 5 y(t) (seconds) t

67 MPS-43: Sistemas de Controle 67 Obrigado pela presença e atenção!