Método da Resposta da Freqüência

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1 Método da Resposta da Freqüência Introdução; Gráfico de Resposta de Freqüência; Medidas de Resposta de Freqüência; Especificação de Desempenho no Domínio da Freqüência; Diagrama Logarítmicos e de Magnitude de Fases;; Métodos de Resposta de Freqüência usando MATLAB.

2 Introdução A resposta de freqüência de um sistema é definida como a resposta de estado estacionário do sistema a um sinal senoidal de entrada. A senóide é um sinal de entrada peculiar, e o sinal de saída resultante em um sistema linear, bem como os sinais ao longo deste, é senoidal em regime permanente; difere da forma de onda do sinal de entrada somente no que diz respeito a amplitude e ângulo de fase. Exemplo, seja o sistema Y(s)=T(s)R(s) com r(t)=asen(ωt), então Aω m( s) m( s) R( s) = T ( s) = = n s +ω q( s) ( s + p ) Y s Onde p i são pólos distintos. Então, na forma da fração parcial tem-se k k αs + β = s + p s + p s + ω n ( ) L n i= i p t - αs + n L pt β n y( t) = k e + L+ k e + s + ω α e β são constantes dependentes do problema. Para um sistema estável, todos p i tem parte real negativa diferente de zero.

3 Uma vez que os termos exponenciais caem a zero quando t, então lim y(t) t αs + β s + ω - = lim L t - α s + β y(t) = L s + ω = AωT ( jω) sen( ωt + φ) ω = A T ( jω) sen( ωt + φ), onde φ = T ( jω) O sinal de saída em RP depende somente da magnitude e fase de T(jω) na freqüência ω. R( s) = s Aω +ω T ( s) = m( s) m( s) = n q( s) ( s + p ) i= i 3

4 Gráficos de Resposta de Freqüência A função de Transferência de um sistema G(s) pode ser descrita no domínio de freqüência pela relação G ( j ω) = G ( s ) = R ( ω) + jx ( ω) s= jω onde R( ) = Re G( j ) X ( ) = Im G( j ) [ ] [ ] ω ω ω ω Alternativamente, a FT pode ser representada por uma magnitude G(jω) e por uma fase φ(jω) como jφ ( jω ) G( jω) = G( jω) e = G( ω) φ( ω) onde X ( ω) φ( ω) = tg G( ω) = R( ω) + X ( ω) R( ω) [ ] [ ] Plano Polar 4

5 Exemplo, Resposta de Freqüência de um filtro RC. Um filtro RC da figura tem a seguinte FT G( s) V ( s) V ( s) RCs + = = E a FT senoidal em RP é O diagrama polar é obtido a partir da relação G( jω) = = onde ω = RC( jω) + ω j + RC ω G( jω) = R( ω) + jx ( ω) j( ω / ω ) = ( ω / ω) + j( ω / ω ) = + ( ω / ω ) + ( / ) ω ω 5

6 Exemplo, Diagrama Polar de uma função de Transferência Este é util para investigar a estabilidade do sistema. Seja a FT K G( s) = G( jω) = = s= jω j j j ω( ωτ + ) ω ω τ Entao, a magnitude e o ângulo de fase são escritos como K G( jω) =, e φ( ω) = tg 4 ω ω τ ωτ K Uma solução alternativa usa as partes real e imaginaria de G(jω) como G( jω) K K jω ω τ = = 4 jω ω τ ω + ω τ = R( ω) + jx ( ω) ( ) ω 0 /τ /τ G(ω) 4Kτ/5 0,5 Kτ/ 0,5 0 φ(ω)

7 Exemplo, Diagrama de Bode de um filtro RC Seja a FT G ( j ω) = RC( j ) j onde τ ω + = ωτ + = RC O ganho logarítmico é + ( ωτ ) ωτ 0log G = 0log = 0log( + ( ) ) Em ω=/τ, tem-se 0log G = 0log + τ = 0log = 3,0 db τ 7

8 O ângulo de fase deste circuito é ( j ) = tg φ ω ωτ A freqüência ω=/τ é chamada de freqüê üência de corte. Curva assintótica para (jω+) - 8

9 A maior vantagem do gráfico logarítmico é a conversão de fatores multiplicativos como (jωτ+) em fatores aditivos 0log (jωτ+). Onde pode ser verificado G( jω) = K Q ( + jωτ ) b i i= M R N ( jω) ( + jωτ m) ( + ( ζ k / ωn ) jω + ( jω / ω ) ) k nk m= k= A Magnitude logarítmica de G(jω) é k= Q M N b i m i= m= 0log G( ω) = 0log K + 0 log + jωτ 0log ( jω) 0 log + jωτ R 0 log + ( ζ / ω ) jω + ( jω / ω ) O gráfico do ângulo de fase é k n n k Q M R ζ 0 kωn ω k φ( ω) = + tg ωτ i N(90 ) tg ωτ m tg i= m= k= ωn ω k k 9

10 Os 4 tipos diferentes que podem ocorrer em uma FT são:. Ganho Constante K b ;. Pólos (ou zeros) na origem (jω); 3. Pólos (ou zeros) sobre o eixo real (jωτ+); 4. Pólos (ou zeros) conjugados complexos [+(ζ/ω n )jω+(jω/ω n ) ;.Ganho Constante Kb: 0log K = constante em db φ( ω ) = 0 O ganho é uma reta horizontal no diagrama de Bode. b. Pólos P (ou zeros) na origem (jω): 0 Um pólo na origem: 0log 0logω db φ( ω) 90 jω = = 0 Pólo múltiplo na origem: 0log = 0N logω db φ( ω) = 90 N ( jω) N Um zero na origem: 0log jω = + 0logω db φ( ω) =

11 3.Pólos (ou zeros) sobre o eixo real (jωτ ωτ+): Um pólo sobre o eixo real: + jωτ = +ω τ 0log 0log( ) ωτ 0,0 0,50 0,76, log (+j ωτ) -0,04 -,0 -,0-3,0-4,3-7,0-4, -0,04 Aprx. Assintótica , φ(ω), graus( 0 ) -5,7-6,6-37,5-45,0-5,7-63,4-78,7-84,3 Aprx. Linear, graus( 0 ) 0-3,5-39, ,3-58,5-76,5-90

12 4. Pólos P (ou zeros) conjugados complexos [+(ζ/ω n )jω+(jω/ω n ) : O fator quadrático devido a um par de pólos conjugados complexos pode ser escrito na forma normalizada [ + j ζ u u ] onde u = ω / ωn Assim, ζ u 0log G( ω) = 0log(( u u ) + 4 ζ u ) φ( ω) = tg u O valor Maximo da resposta de freqüência M pω ocorre na freqüência de ressonância ω r. Quando ζ 0, então ω r ω n, a freqüência natural. Freqüência de Ressonância ω = ω ζ r n Magnitude Máxima G(ω r ) M ( ) = G( ωr ) = ζ ζ ω p

13 O valor Maximo da resposta em freqüência M pω, e a freqüência de ressonância, ω r versus ζ para um par de pólos complexos 3

14 Um Resumo de curvas assintóticas referentes aos termos básicos de uma FT é a seguir mostrado 4

15 5

16 Um sistema pode ter zeros localizados no semiplano s da direita e ainda assim ser ESTAVEL. Uma FT é chamada de uma FT de Fase MínimaM se todos os seus zeros estiverem no semiplano s da esquerda. É chamada de FT de fase Não-MínimaN se tiver zeros no semiplano s da direita. Se os zeros da FT forem simétricos em relação ao eixo jω, não existe mudança na magnitude da FT, e a única diferença ocorre na característica da fase. Por comparação, verifica-se que o deslocamento da fase ao longo da faixa de freqüência de zero à é MENOR para o sistema com todos os zeros no semiplano s da esquerda. ( ) s + z G s = s + p ( ) s z G s = s + p 6

17 Exemplo: Desenhe o Diagrama de Bode da FT G( jω) = 5( + j0, ω) jω j ω j ω jω ( + 0,5 )( + 0,6( / 50) + ( / 50) ) Os fatores, na ordem em que ocorrem à medida que a freqüência cresce são:. Um Ganho constante K=5;. Um pólo na origem; 3. Um pólo em ω=; 4. Um zero em ω=0; 5. Um par de pólos complexos em ω=ω n =50. Primeiramente será calculada a magnitude de cada um dos fatores individuais:. Ganho constante 0 log 5 = 4. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à com uma inclinação de -0 db/década 7

18 . Ganho constante 0 log 5 = 4. Magnitude do pólo na origem aumento de 0 à com uma inclinação de -0 db/década 3. Aprx. Assintótica da magnitude do pólo ω= tem inclinação de -0 db/década alem da freqüência de corte ω=, e a magnitude abaixo desta é zero. 4. A magnitude assintótica para o zero em ω=0 tem inclinação de +0 db/década. 5. A aproximação assintótica para o par de pólos complexos em ω=ω n =50 tem uma inclinação de -40 db/década devido as formas quadráticas. 8

19 Característica de magnitude de G(jω) 9

20 A característica de fase individuais para os pólos e zeros são:. A fase do ganho constante é 0 0 ;. A fase do pólo na origem é uma constante ; 3. Aprx linear para a fase do pólo em ω=, tem um deslocamento de fase de em ω=; 4. Aprx linear para a fase do zero em ω=0, tem um deslocamento de fase de em ω=0; 5. A característica de fase real para o par de pólos complexos em ω=ω n =50 é mostrado na figura 0

21 A característica de fase total é obtida adicionando a fase devida a cada fator. Para qualquer freqüência pode se calcular o deslocamento de fase real por φ( ω) = 90 tg ωτ + tg ωτ tg ζ u u 0