Circuitos Elétricos II

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1 Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Ganho e Deslocamento de Fase Função de Rede (ou de Transferência) Estabilidade 1

2 Definições Ganho? Deslocamento de fase? Função de transferência? Como a impedância dos capacitores e indutores do circuito varia com a frequência, consequentemente, essas três propriedades são funções da frequência. 2

3 Definição de Ganho Ganho: é um parâmetro que expressa a relação entre a intensidade do sinal de saída e a intensidade do sinal de entrada. No caso de sinais senoidais em circuitos lineares, o ganho é a razão entre a amplitude da senoide da saída e a amplitude da senoide da entrada. 3

4 Definição de Deslocamento de Fase Deslocamento de fase: é um parâmetro que descreve a relação entre o ângulo de fase do sinal de saída e o ângulo de fase do sinal de entrada. No caso de sinais senoidais em circuitos lineares, o deslocamento de fase é a diferença entre o ângulo de fase da senoide de saída e o ângulo de fase da senoide de entrada. 4

5 Ganho e Deslocamento de Fase 5

6 Ganho e Deslocamento de Fase v in (t) v out (t) 6

7 Ganho e Deslocamento de Fase Resposta em frequência 7

8 Definição de Ressonância Ressonância é uma condição em um circuito RLC no qual as reatâncias capacitivas e indutivas são iguais em módulo. 8

9 Exemplo A I s = V(s) R V(s) I(s) = V(s) + CsV s + Ls Ls CLs 2 + L R s + 1 x 1 LC x 1 LC 9

10 Exemplo A (cont.) V(s) I(s) = s/c s RC s + 1 LC Equação característica s RC s + 1 LC = 0 r 1,2 = 1 2RC ± 1 2RC 2 1 LC α α 2 ω 0 2 s 2 + 2αs + ω 0 2 = 0 (frequência de ressonância) ω 0 = 1 LC rad/s r 1,2 = α ± jω d ω d = ω o 2 α 2 (freq. de amortecimento) (fator de amortecimento) α = 1 2RC Np/s 10

11 Fator de Qualidade O de fator de qualidade do circuito ressonante (Q) expressa a rapidez com a qual Z diminui para valores da frequência maiores ou menores que a frequência de ressonância. No caso de sinais sinusoidais: Q = R C L 11

12 Fator de Qualidade O de fator de qualidade do circuito ressonante (Q) 12

13 Exemplo V(s) I(s) = Z(s) = s/c s RC s + 1 LC C=100 uf L=1 mh R=100Ω Q=31,623 C=100 uf L=1 mh R=10kΩ Q=3162,3 13

14 Funções de Rede (ou de Transferência) u(t) Circuito Linear y(t) Função de Rede: G(s) condições iniciais nulas G(s) não depende da excitação 14

15 Funções de Rede e Resposta Forçada Conhecendo-se a Função de Transferência de um circuito linear, é possível obter a resposta forçada a qualquer excitação e(t): Domínio s L L 1 y t Y s G s E s 1 1 f( ) L L 1 f( ) ( ). ( ) Tempo e (t) y f (t) 15

16 Exemplo B e g (t) 2Ω 1H e g (t) = 4.H(t) i(0-) = 4A ; i =? E.D.O.: di() t L Ri( t) eg ( t) dt di(t) + 2i t dt = e g (t) L di(t) + 2i t dt = L e g (t) si s i 0 + 2I s = E g (s) I s s + 2 = E g s + i(0 ) LL I s = E g(s) (s + 2) + i(0 ) (s + 2) resposta forçada L 16

17 Exemplo B (cont.) G s = Y(s) U(s) c.i.n. = I(s) E g (s) c.i.n. = 1 (s + 2) [ função de rede G(s) ] Resposta forçada ao degrau: e(t)= 4H(t) I ( s) G( s). E( s) f 4/ s ( s 2) L 1 1 2t L if t e ( ) 2 2 [A,s] forçada (transitório+permanente) Resposta forçada ao impulso: e(t)= 4(t) I ( s) G( s). E( s) f 4 ( s 2) 1 L 1 L i t 2t f ( ) 4 e [A,s] forçada (transitório) 17

18 Obtenção de Função de Rede 18

19 Tipos de Funções de Rede Funções de Entrada (circuitos de 1 porta, 2 terminais) 19

20 Tipos de Funções de Rede Funções de Transferência (circuitos de 2 portas, 4 terminais) 20

21 Exemplo C Circuito de segunda ordem A função de transferência depende do sinal que é definido como saída. Como um circuito pode ter múltiplas fontes, podem existir várias funções de transferência. I( s) 1 sc H ( s) V ( s) R sl 1/ Cs s LC RCs 1 1 c. i. n. 2 g H V( s) 1/ Cs 1 ( s) V ( s) R sl 1/ Cs s LC RCs 1 2 c. i. n. 2 g 21

22 Resposta Impulsiva A Resposta Impulsiva é a anti-transformada da Função de Rede 22

23 Resposta Impulsiva Com a resposta ao impulso do sistema, é possível obter a função de transferência do sistema. 23

24 Exemplo D: resposta ao impulso unitário Circuito de primeira ordem 2Ω e g (t) 1H G s = Y(s) U(s) c.i.n. = I(s) E g (s) c.i.n. = 1 (s + 2) Resposta Impulsiva: e g (t) = (t) e i(0-)=0 g( t) L L 1 ( ) 1 G s g t e H t 2t ( ). ( ) [V,s] 24

25 Exemplo E: resposta ao impulso unitário Circuito RLC série sub-amortecido ou oscilatório R=0,2 Ω L=1H C=1F α = R 2L = 0,1 Np s LC 1 rd / 2 2 d 0 0,995 rd / s s Gs ( ) Vs ( ) 1 c. i. n. 2 V ( s) s LC RCs 1 g g( t) L ( ) 1 G s 25

26 Resposta transitória e permanente Considerando: Y(s) = G(s)X(s) Função de transferência entrada Os termos gerados pelos pólos de G(s) dão origem à componente transitória da resposta global, Enquanto que, os termos gerados pelos pólos de X(s) dão origem à componente permanente da resposta global. 26

27 Exemplo F A fonte vg é a alimentação e vo a saída. Determine: A expressão numérica para a função de transferência; Os valores de pólos e zeros. Domínio t Domínio s 27

28 Exemplo F (cont.) Vo Vg 1000 Vo 250 0,05s Vo. s p1=-3000+j4000 H ( s) Vo Vg s ( s 5000) 6000s p2=-3000-j4000 z1=

29 Exemplo F (cont.) Considere que o circuito é alimentado por uma fonte de tensão que aumenta linearmente com o tempo, isto é, vg = 50tu(t). Use a função de transferência para determinar vo. Identifique a componente transitória da resposta. Identifique a componente de regime permanente da resposta. H ( s) Vo Vg s ( s 5000) 6000s V g s = L 50tu(t) = 50 s 2 Vo s ( s 5000) 6000s s 29

30 30 Exemplo F (cont.) V t t e vo t ] ,70º ).cos(4000 [22, s s j s j s Vo ,7º 11, ,7º 11, ) 1000( s s s s Vo transitória permanente

31 Exemplo F (cont.) transitória 22, e 3000t.cos(4000t 79,70º ) permanente (10t ) Parcela transitória: gerada pelos polos de G(s). Parcela permanente: gerado pelo pólo de 2ª ordem da tensão de alimentação. Após 1 ms a diferença entra a resposta global e de regime permanente é imperceptível 31

32 Resposta em Regime Permanente Senoidal (RPS) Uma vez calculada a função de transferência, não é necessário realizar uma análise fasorial para determinar a resposta em RPS. Admita que x(t) = A.cos(wt + ) x t = A. cos wt. cos φ A. sin wt. sin φ Laplace X ( s) A.cos s A. sen w A. s.cos w. sen s 2 w 2 s 2 w 2 s 2 w 2 cos a + b = cos a cos b sin a sin b 32

33 Resposta em RPS A. (s. cos φ w. sin φ) Y s = G s. X(s) Y s = G s. s 2 + w 2 Y s = K 1 s jw + K 1 s + jw + termos devido aos pólos de G(s) Não contribuem para a resposta em reg. permanente Pólos => p 1 = jw; p 2 = jw Utilizando o método dos resíduos: K 1 = 1 G jw. A. ejφ 2 G(jw) quantidade complexa Se: G jw = G(jw). e j G(jw) K 1 = A 2 G(jw). ej( G jw +φ) y rp t = L 1 K 1 s jw + K 1 s + jw = A. G jw. cos(wt + φ + G(jw)) 33

34 Cálculo do resíduo K1 Y s = G s. A. (s. cos φ w. sin φ) s 2 + w 2 = K 1 s jw + K 1 s + jw + termos devido aos pólos de G(s) K 1 = Y s A. (s. cos φ w. sin φ) s jw = G s. s=jw (s jw)(s + jw) s jw s=jw A. (jw. cos φ w. sin φ) K 1 = G jw. (2jw) A. (cos φ + j. sin φ) = G jw. 2 K 1 = G jw. A 2 ejφ 34

35 Exemplo G Para o circuito da figura abaixo, determine a tensão vo(t) em regime permanente, para t>0, se as condições iniciais são nulas. A = 10; w = 2; 35

36 Exemplo G (cont.) L=1H; C=1/2 F; w = 2 rad/s; Transformar o circuito para o domínio da Laplace. Considerar todas as condições iniciais nulas. se: x t = A cos(wt + φ) y rp t = A. G jw. cos(wt + φ + G(jw)) v i t = 10 cos 2t A = 10; w = 2; V 0 s = s 2 3s 2 + 4s + 4 V i(s) LKC@V1: KCL@V 1 V V 2 Voltage Divisor tensão divider : V 2s V o V 2 1 s : 1 i V 2 1 s 1 0 G s = G j2 = s 2 3s 2 + 4s + 4 j2 2 3 j j2 + 4 = 0, v o,rp = 3,54 cos 2t + 45 V 36

37 Exemplo 1 Encontrar a função de transferência: 3 dy(t) dt + 2y(t) = x(t) Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação, considerando condições iniciais nulas 3sY s + 2Y(s) = X s Logo, isolar a saída em função da entrada: G s = Y(s) X(s) = 1 3s + 2 = 1 3 s

38 Exemplo 2 Encontrar a função de transferência: 10 dy(t) dt + 2y(t) = x(t) Se deve aplicar a transformada de Laplace na equação, considerando condições iniciais nulas 10sY s + 2Y(s) = X s Logo, isolar a saída em função da entrada: G s = Y(s) X(s) = 1 10s + 2 = 1 10 s = 0,1 s + 0,2 38

39 Exemplo 3 Obtenha a resposta no tempo y(t) a partir da função de transferência anterior, considerando como sinal de entrada uma função degrau unitário, admitindo condições iniciais nulas. G s = 1 10 s = 0,1 s + 0,2 Y s = G s X s ; X s = L u(t) = 1 s Y s = 1 10 s s = K 1 s + K 2 s

40 Exemplo 3 (cont.) Y s = 1 10 s s = K 1 s + K 2 s Y s = 1 2 s 1 2 s y t = L 1 {Y s } = 1 2 u t 1 2 e (1 5 )t u t y t = e 1 5 t ; p/ t > 0 40

41 Exemplo 4 Obtenha a resposta no tempo y(t) à rampa para um sistema cuja função de transferência é: s G s = s + 4 (s + 8) Y s = G s X s ; X s = L{t} = 1 s 2 Y s = s s 2 s + 4 (s + 8) = 1 s s + 4 (s + 8) = K 1 s + K 2 s K 3 s + 8 Y s = 1 32 s s s + 8 y t = L 1 {Y s } = ( e 4t e 8t )u t y t = e 4t e 8t ; p/ t > 0 41

42 Estabilidade das redes lineares Pólos da rede 42

43 Estabilidade das redes lineares Assintoticamente Estável 43

44 Estabilidade das redes lineares Marginalmente Estável 44

45 Estabilidade das redes lineares Instável multiplicidade exponencial linear 45

46 Exemplo Veja o exemplo do colapso da ponte Tacoma Narrows, localizado em Washington, Estados Unidos. Resonance, Tacoma Narrows Bridge Failure, and Undergraduate Physics Textbooks, by K. Y. Billah and R. H. Scalan published in the American Journal of Physics, vol. 59, no. 2 (1991), pp ch?v=j-zczjxsxnw 7 de Novembro de

47 Próxima Aula 1. Exercícios. 47

48 Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,