Circuitos Elétricos II

Transcrição

1 Universidade Federal do AB Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica ircuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Aplicação da Transformada de Laplace 1

2 Resistor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: sendo: V R s = L{V R (t)} e v ( t) Ri ( t) R R V ( s) RI ( s) R R I R s = L{I R (t)} i R (t) R v R (t) I R (s) R V R (s) 2

3 Teoremas de derivada e integral Teorema da Derivada L df t dt = sf s f(0 ) Teorema da Integral LL ( ) ( ) t Fs f( ) d + f d s s 0 3

4 apacitor no domínio de Laplace No domínio do tempo: () dv () t i t dt No domínio da frequência: i (t) (Teorema da Derivada) v (t) sendo: I ( s) sv ( s) v(0 ) I ( s) sv ( s) v(0 ) q 0= carga em t = 0 I s = L{i (t)} V s = L{v (t)} 4

5 fonte equivalente da condição inicial Tempo () dv () t i t dt Frequência I ( s) sv ( s) v(0 ) I ( s) sv ( s) V 0 5

6 fonte equivalente da condição inicial nula Tempo () dv () t i t dt Frequência V0 0 I ( s) sv ( s) 6

7 apacitor no domínio de Laplace No domínio do tempo: 1 v( t) i( ) d t No domínio da frequência: 0 (Teorema da Integral) I ( s) 1 V( s) i( ) d s s v (0 ) i (t) v (t) V I( s) v(0 ) ( s) s s 7

8 - fonte equivalente da condição inicial Tempo 1 v( t) i( ) d t Frequência V I( s) v(0 ) ( s) s s ( ) I ( ) s V V s s s 0 8

9 fonte equivalente da condição inicial nula Tempo v ( t) 1 t i ( ) d Frequência V 0 0 V ( s) I ( s) s 9

10 Indutor no domínio de Laplace No domínio do tempo: () di () L t vl t L dt No domínio da frequência: (Teorema da Derivada) VL ( s) L sil( s) il(0 ) VL ( s) slil( s) LiL(0 ) i L (t) L v L (t) sendo: 0 =fluxo em t = 0 V L s = L{v L (t)} I L s = L{i L (t)} 10

11 L - fonte equivalente da condição inicial Tempo Frequência () di () L t vl t L dt VL ( s) slil( s) LiL(0 ) V ( s) sli ( s) LI L L 0 11

12 fonte equivalente da condição inicial nula Tempo Frequência () di () L t vl t L dt i(0 ) 0 I0 V ( s) sli ( s) L L 12

13 Indutor no domínio de Laplace No domínio do tempo: No domínio da frequência: i L (t) (Teorema da Integral) t 1 i( t) vl( ) d L VL ( s) 1 I( s) vl( ) d sl sl 0 i (0 ) L v L (t) VL ( ) ( s ) i Is (0 ) sl s 13

14 L - fonte equivalente da condição inicial Tempo t 1 i( t) vl( ) d L Frequência VL ( ) ( s ) i Is (0 ) sl s VL ( s) I0 Is ( ) sl s 14

15 fonte equivalente da condição inicial nula Tempo Frequência t 1 i( t) vl( ) d L I0 0 VL ( ) ( s Is ) sl 15

16 Análise de circuitos no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por: V( s) Z( s) I( s) (Lei de Ohm no domínio de Laplace) Sendo: Z(s) = impedância do elemento no domínio da frequência Impedância do resistor = R [] Impedância do indutor = sl [] Impedância do capacitor = 1/s [] 16

17 Análise de circuitos no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por: Sendo: I( s) Y( s) V( s) (Lei de Ohm no domínio de Laplace) Y(s) = admitância do elemento no domínio da frequência Admitância do resistor = G=1/R [S] Admitância do indutor = 1/sL [S] Admitância do capacitor = s [S] 17

18 Análise de circuitos no domínio de Laplace 1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência complexa s. 2. Substituir as condições iniciais pelas fontes equivalentes. 3. Resolver o circuito usando análise de malhas, análise nodal, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos. 4. Efetuar a transformada inversa da resposta de interesse, obtendo a solução no domínio do tempo. 18

19 Análise de circuitos no domínio de Laplace As regras para associações e simplificações valem no domínio da frequência s. As Leis de Kirchhoff continuam válidas no domínio s, ou seja: Is ( ) 0 V( s) 0 Todos os métodos de análise podem ser aplicados no domínio de Laplace (para circuitos lineares!). 19

20 Problema prático 16.1 Determine vo(t) no circuito da Figura abaixo supondo condições nulas. Rpta: 40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V 20

21 Problema prático 16.1 v 0 (t) [V] Vo(t)=40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V tempo [s] 21

22 Problema prático 16.3 A chave na figura abaixo esteve na posição b por muito tempo. Ela é movida para a posição a em t=0. Determine v(t) para t>0. Rpta: v(t)=(vo-io*r)*exp(-t/tau) + Io*R ; para t>0, onde Tau=R* 22

23 Problema onsidere o circuito RL em paralelo da figura abaixo. Determine v(t) e i(t) dado que v(0)=5 V e i(0)=-2 A. 23

24 Próxima Aula Leitura: ap 16 livro texto 1. Aplicações da Transformada de Laplace. 24

25 Referências 1. ALEXANDER,. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de ircuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, Slides da prof. Denise, acesso em fevereiro de ORSINI, L.Q.; ONSONNI, D. urso de ircuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed ), Ed. Blücher, São Paulo. 4. ONSONNI, D. Transparências de ircuitos Elétricos I, EPUSP. 5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. ircuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson,