Sistemas de Controle 1

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1 Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap2 - Modelagem no Domínio de Frequência Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro

2 Sistemas de Controle 1 Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro 2. Modelagem no Domínio de Frequência 2.1 Introdução 2.2 Revisão sobre Transformada de Laplace 2.3 Função de Transferência 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação 2.6 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação 2.7 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens 2.8 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico 2.9 Circuitos Elétricos Análogos 2.10 Não-linearidades 2.11 Linearização Estudos de Caso

3 Aula 3 Funções de transferência de circuitos elétricos Circuitos RLC Circuitos com amplificadores operacionais Funções de transferência para circuitos mecânicos de translação 3

4 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Aplicação da função de transferência em circuitos elétricos: - Passivos (resistores, indutores e capacitores) - Amplificadores operacionais Leis de Kirchhoff - Tensão nas malhas - Corrente nos nós 4

5 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada Temos aqui a corrente no circuito e a tensão na entrada Temos aqui a carga no circuito e a tensão na entrada Temos aqui a tensão no capacitor e a tensão na entrada 5

6 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Simples via Método das Malhas com transformada de Laplace Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada - É possível escrever a equação do circuito direto no domínio da frequência. - Considerar diretamente as impedâncias, sem escrever a equação no domínio do tempo. Indutor Resistor Capacitor CsV c s V(s) 1 = Ls + R + 1 Cs V c s V(s) = 1 CLs 2 + CRs + 1 6

7 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Simples via Método do Nós Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada Impedâncias i 2 i 1 Soma das correntes que saem do nó: i 1 + i 2 = 0 7

8 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Simples via divisão de tensão Problema: Obter função de transferência relacionando a tensão Vc(s) no capacitor e a tensão V(s) de entrada Impedâncias V out Divisão de tensão 8

9 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método das malhas Malha 1: Malha 2: Malha 1: Resolvendo pela Regra de Cramer: Malha 2:

10 Revisão da Regra de Cramer:

11 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método das malhas Malha 1: Malha 2: Malha 1: Resolvendo pela Regra de Cramer: Malha 2: Sistema:

12 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método das malhas Montagem do sistema por inspeção: Malha 1: Malha 2:

13 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método dos Nós Re-organizando o sistema: I1 I3 Nó 1 Nó 2 I2 I = 0 Nó 1: Nó 2:

14 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método dos Nós Circuito equivalente de Norton e condutâncias

15 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Circuitos Complexos via método dos Nós Nó 1 Nó 2 Nó 1: Nó 2: Montagem do Sistema por inspeção:

16 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Exemplo de montagem de sistema por inspeção método das malhas:

17 a) Corrente nos nós V o V i 1 + V o 1 + V o 1s = 0 V o V i s + V o s + V o = 0 b) Usando o divisor de tensão V o = V o = Z 2 Z 1 + Z 2 V i Ls R Cs + Ls V i V o 1 + 2s = V i s V o V i = s 1 + 2s V o V i = s 2 s 2 + s

18 c) Usando o divisor de tensão

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20 Solução Equação das malhas: Aplicando regra de cramer: G s = 3s 2 6s 3 + 5s 2 + 4s + 2

21 Solução 1 1 s I 1 1 I 1 1 I 1 (1) I 2 (1) I 3 = s I s I s I 2 + = V i s s I 3 = s V 0 = I 3 s

22 Solução Aplicando regra de cramer para I3: 1 A= 1 s s V i 1 1 s B= s 1 1 s s + 1 s s s s I 3 = V is(s 2 + 3s + 1) 2s 2 + 7s + 2 V 0 = I 3 s V o = s2 + 3s + 1 V i 2s 2 + 7s + 2

23 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional inversor Amplificador operacional não-inversor V o s I a s = 0 (divisor de tensão) I 1 s = I 2 s v 1 s = 0 I 1 s = V i s Z 1 (s) I 2 s = V 0 s Z 2 (s) (curto circuito virtual)

24 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional inversor Controlador PID (Proporcional, integral, derivativo)

25 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Amplificador operacional não-inversor V o s V i (s) = R C 1 s + R 2 1 C 2 s R C 2 s R C 1 s

26 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos

27 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos V L

28 2.4 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos V L

29 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Armazena energia Análogo ao Capacitor Dissipa energia (calor) Análogo a resistência Armazena energia Análogo ao Indutor

30 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Desenhar diagrama de corpo livre Colocar na massa todas as forças sentidas por ela. Lei de Newton para somar e igualar a zero todas as forças: Transformada de Laplace (condições iniciais nulas)

31 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Um Sistema mecânico terá um número de equações igual ao número de movimentos linearmente independentes. Movimento linearmente independente = graus de liberdade - Ponto que pode permanecer em movimento enquanto todos os outros estão parados. Resolução de sistemas mecânicos: Desenhamos o diagrama de corpo livre para cada um dos pontos Para cada um dos diagramas de corpo livre, começamos fixando todos os outros pontos e determinando as forças que atuam sobre o corpo, devidas somente ao próprio movimento. Mantemos o corpo parado e ativamos, um a um, os outros pontos, colocando no corpo original as forças criadas pelo movimento adjacente.

32 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Dois graus de Liberdade Duas equações de movimento Diagrama de corpo livre de M1: Fixando M2 e movendo M1 para direita vemos em M1: Mola K1 Atrito em M1 Força f(t) Massa de M1 Amortecedor fv3 Mola K2 Portanto, as forças sobre M1 são: Fixando M1 e movendo M2 para direita vemos em M1: Mola K2 Amortecedor fv3 Equacionamento para M1:

33 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Diagrama de corpo livre de M2: Fixando M1 e movendo M2 para direita vemos em M2: Fixando M2 e movendo M1 para direita vemos em M2: Portanto, as forças sobre M2 são: Equacionamento para M2:

34 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Equacionamento para o sistema: Resolvendo pela regra de Cramer temos:

35 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Equacionamento por inspeção: Massa 1: A forma geral das equações é semelhante às equações elétricas de malha: Massa 2: Equacionamento para o sistema:

36 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Sistema com 3 graus de liberdade Cada uma das três massas pode se movimentar independentemente enquanto as outras permanecem paradas

37 Equacionamento por inspeção:

38 Equacionamento por inspeção:

39 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação

40 2.5 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Equações de movimento: Aplicando a regra de crammer para X2: