Modelagem Matemática de Sistemas

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1 Modelagem Matemática de Sistemas 1. de modelagem com Circuitos Elétricos 2. Sistemática para Obtenção de Equações de Estado pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

2 Descrição Matemática de Sistemas Exemplo Circuito elétrico R v 2 (t) u(t) C 2 i v 1 (t) C 1 y(t) L Um bipolo (dispositivo contendo 2 terminais condutores) se caracteriza pela relação tensão-corrente pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

3 Circuito elétrico Resistor, Capacitor e Indutor lineares (convenção de receptor): i R i C i L R v R v C L v C L v R = Ri R i C = C dv C dt v L = L di L dt pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

4 Circuito elétrico Fontes de Tensão e de Corrente (convenção de gerador): i i u v (t) v u i (t) v v = u v (t) i = u i (t) pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

5 Circuito elétrico Convenção em geral, a convenção de receptor é utilizada para os bipolos passivos e a de gerador para as fontes Nó: Um ponto de ligação entre 2 ou mais bipolos Lei das Correntes ou 1 a Lei de Kirchhoff: a soma algébrica das correntes que saem de um nó é nula Laço: Qualquer percurso fechado formado por bipolos que não passe duas vezes pelo mesmo nó Lei das Tensões ou 2 a Lei de Kirchhoff: a soma algébrica das tensões nos bipolos pertencentes a um laço é nula Em um circuito com b bipolos e n nós tem-se 2b variáveis (tensões e correntes nos bipolos) pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

6 Circuito elétrico (u v 1 )/R R N v 2 i = C 2 v 2 u(t) v 1 C 1 v 1 C 1 C 2 L y = v L = L di dt Nó N: u v 1 R = C 1 v 1 C 2 v 2 = C 1 v 1 i Laço da direita: v 1 = v 2 L di dt pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

7 Circuito elétrico Definindo x 1 = v 1, x 2 = v 2 e x 3 = i obtêm-se as equações de estado: ẋ 1 = 1 RC 1 x 1 1 C 1 x 3 1 RC 1 u ẋ 2 = 1 C 2 x 3 ẋ 3 = 1 L (x 1 x 2 ) Equação de saída: y = Lẋ 3 = x 1 x 2 ẋ = 1/RC 1 0 1/C /C 2 1/L 1/L 0 x 1/RC u y = [ ] x pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

8 Grafo Conexo: Grafo no qual existe sempre um caminho constituído por ramos entre dois nós quaisquer Grafo Conexo Grafo Não Conexo Subgrafo: conjunto qualquer de ramos e nós de um grafo Corte: conjuntos de ramos que, eliminados, deixam dois subgrafos conexos pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

9 Laço: caminho fechado formado por ramos e não passando mais de uma vez por nenhum nó Árvore: subgrafo conexo contendo todos os nós do grafo e nenhum laço. Escolhida uma árvore para um grafo, os demais ramos (não pertencentes à árvore) são chamados de ramos de ligação Corte Fundamental: constituído por um único ramo da árvore e ramos de ligação Laço Fundamental: constituído por um único ramo de ligação e ramos da árvore pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

10 Exemplo R L e(t) C R Grafo: pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

11 Árvores: Laços: pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

12 Árvore Própria: é uma árvore com todos os capacitores e fontes de tensão do circuito, sem indutores e sem fontes de corrente R 1 L e(t) i C v R Cada capacitor define um corte fundamental, constituído pelo capacitor e por ramos de ligação Cada indutor define um laço fundamental, constituído pelo indutor e ramos da árvore 0 pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

13 Partindo de cada capacitor e do corte fundamental apropriado (que não inclui fontes de tensão pois a idéia é escrever equação de correntes), obtém-se Corte Fundamental 4 3 i = C v v R 2 0 pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

14 Partindo de cada indutor e do laço fundamental apropriado (que não inclui fontes de corrente pois a idéia é escrever equação de tensões), obtém-se: Laço Fundamental 5 4 e(t) = R 1 i L di dt v As equações de estado são obtidas a partir das equações de correntes para os cortes fundamentais e das equações de tensões para os laços fundamentais... 0 pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

15 rep Sistemática para Obtenção de Equações de Estado Exemplo R L e(t) x v 1 C C v 2 2R Árvore Própria: pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

16 Cortes Fundamentais: e(t) v 1 R = C dv 1 dt x, x = C dv 2 dt v 2 2R Laço Fundamental: v 1 = Lẋ v 2 (não tem fonte de tensão...) pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

17 Exemplo R R L C e(t) i R i R v R Árvore Própria: pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

18 Corte Fundamental: i L R di dt = } C {{ v } corrente i RC em RC v RC v R }{{} v corrente só em R: R Ri RC R pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

19 Laço Fundamental: e(t) = Ri R L di dt v RC v As equações obtidas dependem da corrente i R (que não é variável de estado). Uma equação auxiliar é necessária... pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

20 Equação Auxiliar: Equação de correntes para o corte fundamental definido pelo resistor (se este estiver na árvore própria) ou equação das tensões para o laço fundamental definido pelo resistor (se for um ramo de ligação) Corte Fundamental: i R = L R di dt i Equações de Estado: 8 >< RC v v 2L di dt Ri = e(t) >: 2RC v v Ri L di dt = 0 pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

21 Passando para a forma padrão (isolando os termos com derivada v e di dt ) Definindo-se x v i dv dt = 3 5RC v 1 5C i 1 5RC e(t) di dt = 1 5L v 3R 5L i 2 5L e(t) e a saída y(t) v(t)... pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

22 ẋ(t) = 3 5RC 1 5C 1 3R } 5L {{ 5L } A x(t) 1 5RC 2 } 5L {{ } B e(t) y(t) = [ ] 1 0 x(t) } {{ } C Para R = L = C = 1, A = , B = pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

23 Descrição por Função de Transferência T(s) = C (si A) 1 B D. Calculando (si A) 1 : s s = 1 s 2 1.2s 0.4 s s 0.6 T(s) = [ 1 0 ] s 0.6 s 2 1.2s s 2 1.2s 0.4 s s 2 1.2s 0.4 s 2 1.2s 0.4 pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

24 T(s) = [ 1 0 ] 0.2s 0.2 s 2 1.2s s 0.2 = 0.2s 0.2 s 2 1.2s 0.4 N(s) D(s) s 2 1.2s 0.4 Veja que: 0.2s 0.2 s 2 1.2s s 0.2 s 2 1.2s 0.4 é a FT de e(t) para a saída igual a v(t) é a FT de e(t) para a saída igual a i(t) pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

25 MATLAB A=[ ; ]; B= [0.2;0.4]; C=[1 0]; >> sys=ss(a,b,c,0) a = x1 x2 x x b = u1 x1 0.2 x2 0.4 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1 y1 0 pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

26 MATLAB >> FT=tf(sys) Transfer function: 0.2 s s^2 1.2 s 0.4 Suponha que v(t) e i(t) sejam medidos... Apenas C se modifica C=eye(2); >> sys=ss(a,b,c,[0; 0]) a = x1 x2 x x b = u1 x1 0.2 x2 0.4 c = pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4

27 MATLAB x1 x2 y1 1 0 y2 0 1 d = u1 y1 0 y2 0 >> FT=tf(sys) Transfer function from input to output s 0.2 #1: s^2 1.2 s s 0.2 #2: s^2 1.2 s 0.4 pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 4