ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E LEIS DE KIRCHHOFF

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1 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E LEIS DE KIRCHHOFF Introdução Associação de Resistores Em muitas aplicações na engenharia elétrica e eletrônica é muito comum fazer associações de resistores com o objetivo de dividir ou limitar correntes e voltagens elétricas. As lâmpadas usadas em decorações natalinas, os eletrodomésticos em nossas casas, as pilhas de rádio, etc. constituem exemplos de associação de resistores. Existem três maneiras de fazer tais associações: em série, em paralelo e mista. A Figura 41 mostra a associação (a) em série, (b) em paralelo e (c) mista. a) b) c) Figura 1: Associação de resistores: a) em série b) em paralelo e c) mista. Na associação em série, todos os resistores são ligados em sequência e há um único caminho para a passagem de corrente elétrica. Desta forma, a corrente elétrica será a mesma para todos os resistores e a queda de tensão total é igual à soma da queda de tensão em cada resistor. Na associação em paralelo, os resistores são ligados na mesma diferença de potencial, oferecendo caminhos alternativos para a passagem de corrente elétrica. Em ambos os casos, os resistores podem ser substituídos por um resistor único produzindo a mesma Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 1

2 corrente e a mesma diferença de potencial. Esse resistor é chamado de resistor equivalente e geralmente é simbolizado por Req. Para determinar a resistência equivalente do circuito em série da Figura 1a consideraremos que: i. A corrente elétrica que passa em cada resistor da associação é sempre a mesma: i = i 1 = i 2 = i 3 = i 4 (1) ii. A tensão elétrica no gerador elétrico é igual à soma de todas as tensões elétricas dos resistores: V = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 (2) Assim, utilizando a 1ª Lei de Ohm: V = R. i, teremos: R eq i = R 1 i 1 + R 2 i 2 + R 3 i 3 + R 4 i 4 (3) Como as correntes são iguais (vide Equação (1)), teremos: R eq i = R 1 i + R 2 i + R 3 i + R 4 i (4) e a resistência equivalente do circuito será: R eq = R 1 + R 2 + R 3 + R 4 (5) Para determinar a resistência equivalente para a associação em paralelo da Figura 1b consideraremos que: i. Todos os resistores estão submetidos à mesma diferença de potencial: Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 2

3 V = V 1 = V 2 = V 3 = V 4 (6) ii. A corrente elétrica total é a soma das correntes elétricas que passam em cada resistor: i = i 1 + i 2 + i 3 + i 4 (7) Utilizando a 1ª Lei de Ohm, teremos: i = V R eq = V 1 R 1 + V 2 R 2 + V 3 R 3 + V 4 R 4 (8) Como: V = V 1 = V 2 = V 3 = V 4 (9) A resistência equivalente do circuito será: 1 R eq = 1 R R R R 4 (10) A determinação da resistência equivalente para a associação mista da Figura 1c será feita em 3 etapas. Observe atentamente o circuito e verifique que há uma associação em série entre os resistores R1 e R2, resultando em Req1 e uma associação em paralelo entre os resistores R3 e R4, resultando em Req2. Verifique também que os resistores equivalentes Req1 e Req2 estão associados em série. Assim, pode ser facilmente determinada a resistência equivalente através das 3 etapas descritas nos itens i, ii e iii. i) Determinação da resistência equivalente para os resistores R1 e R2 que estão em série; R eq1 = R 1 + R 2 ii) Determinação da resistência equivalente para os resistores R3 e R4 que estão em paralelo; Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 3

4 1 R eq2 = 1 R R 4 = R 4 + R 3 R 3 R 4 Assim: iii) R eq2 = R 3R 4 R 3 + R 4 E, por último, determinação da resistência equivalente entre Req1 e Req2, que estão em série: R eq = R eq1 + R eq2 Leis de Kirchhoff Quando os circuitos são mais complexos, devido à presença de mais de uma fonte com resistores ligados em série ou em paralelo, a utilização das Leis de Kirchhoff simplifica a obtenção das grandezas elétricas. Para estudá-las, é imprescindível definir o que são Nós e Malhas: Nó: é um ponto onde três (ou mais) condutores são ligados. Malha: é qualquer caminho condutor fechado. A Figura 2 mostra um circuito elétrico com alguns nós e malhas. Figura 2: Circuito com várias malhas e nós 1. Na Figura 2 temos os seguintes elementos: Nós: Pontos a e d Malhas: afeda, adcba e bfecb Pergunta: Os pontos b, c, e, f podem ser considerados nós? 1 Figura retirada de em 19/03/2012. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 4

5 As duas leis de Kirchhoff são: i. Primeira Lei de Kirchhoff - Lei das Correntes ou Lei dos Nós ii. Segunda Lei de Kirchhoff Lei das Tensões ou Lei das Malhas A Lei dos Nós afirma que em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam (divergem do nó) é igual a soma das correntes que chegam até ele. Isto é uma confirmação de que não há acumulação de cargas nos nós, refletindo a conservação de cargas no circuito. A Figura 3 mostra um exemplo da aplicação da Lei dos Nós. Figura 3: Esquema mostrando a aplicação da Lei dos Nós 2. A Lei das Malhas estabelece que a soma algébrica (os sinais das correntes elétricas e quedas de tensão elétrica são incluídas na adição) de todas as tensões elétricas tomadas num sentido determinado (horário ou anti-horário), em torno de um circuito fechado é nula. Por convenção, todas as tensões que estão no sentido da corrente elétrica são positivas. Para resistores, quando o atravessamos no mesmo sentido da corrente, há uma queda de potencial e devemos considerar, portanto, como negativo o termo ir. Figura 2. Um exemplo da aplicação da 2ª Lei de Kirchhoff pode ser feito usando a 2 Figura retirada de em 19/03/2012 Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 5

6 Os sentidos das correntes são escolhidos arbitrariamente. Aplicando a 1ª lei de Kirchhoff (Lei dos Nós) temos: i 3 = i 1 + i 2 (11) Aplicando a 2ª Lei de Kirchhoff (Lei das Malhas), partindo do ponto a percorrendo a malha abcda no sentido anti-horário, encontramos: i 1 R 1 E 1 i 1 R 1 + E 2 + i 2 R 2 = 0 (12) Percorrermos a malha adefa no sentido horário temos: +i 3 R 1 E 2 +i 3 R 1 + E 2 + i 2 R 2 = 0 (13) Atividade experimental 1. Objetivos O objetivo desta atividade prática é contribuir para a compreensão das regras de associação de resistores e das Leis de Kirchhoff, por meio da montagem de circuitos com resistores associados em série e em paralelo e pelas medidas de corrente e tensão nos diversos pontos dos circuitos montados. 2. Materiais e Métodos Os materiais necessários para realização deste experimento são: Fonte de tensão elétrica; Cabos; Multímetros; Jumpers; Placa de teste; Lâmpadas; Resistores. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 6

7 Roteiro Experimental: 1ª Parte: Circuito 1: Lâmpadas em série. i. Monte o circuito de acordo com a Figura 4, no qual os elementos 1 e 2 são duas lâmpadas. Figura 4: Esquema de ligação do Circuito 1, com lâmpadas em série. ii. iii. iv. Aplique uma tensão no circuito igual à tensão máxima suportada por cada lâmpada (esta informação deve estar impressa na lâmpada). Observe e descreva o que acontece. Desligue a fonte e substitua a lâmpada 1 por um jumper. Religue a fonte e aplique novamente a mesma tensão, observe e descreva o que acontece. Desligue a fonte e retire o jumper. Religue a fonte e aplique novamente mesma tensão, observe e descreva o que acontece. 2ª Parte: Circuito 2: Lâmpadas em paralelo. i. Monte o circuito de acordo com a Figura 5. Figura 5: Esquema de ligação do Circuito 2, com lâmpadas em paralelo. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 7

8 ii. iii. Aplique uma tensão no circuito igual à tensão máxima suportada por cada lâmpada. Observe e descreva o que acontece. Desligue a fonte e retire a lâmpada 1. Religue a fonte e aplique novamente a mesma tensão, observe e descreva o que acontece. 3ª Parte: Associação em série. i. Escolha 3 resistores de modo que R1 tenha valor menor ou igual a 1 kω, que R2 tenha valor entre 1 kω e 10 kω, e que R1 < R2 < R3. Meça os valores das resistências com o Ohmímetro. Estas resistências serão utilizadas nas partes 3, 4 e 5 do experimento. ii. Monte o circuito de acordo com a Figura 6. Figura 6: Esquema de ligação do Circuito 3, com resistores em série. iii. Com a fonte desconectada, meça o valor de Rtotal do circuito, repetindo 3 vezes a medida. iv. Aplique uma tensão no circuito de 5 V, meça, três vezes, os valores de Vtotal e Itotal. v. Meça, também três vezes, os valores de corrente e tensão em cada resistor. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 8

9 4ª Parte: Associação em paralelo. i. Monte o circuito de acordo com a Figura 7. Figura 7: Esquema de ligação do Circuito 4, com resistores em paralelo. ii. Com a fonte desconectada, meça o valor de Rtotal do circuito, repetindo 3 vezes a medida. iii. Aplique uma tensão no circuito de 5 V, meça, três vezes, os valores de Vtotal e Itotal. iv. Meça, também três vezes, os valores de corrente e tensão em cada resistor. 5ª Parte: Leis de Kirchhoff Considerando o circuito apresentado na i. Figura 8, planeje um esquema de ligação na placa de teste (use a Figura 9 para desenhar o circuito) que permita as medidas das correntes e tensões totais e em todos os resistores do circuito. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 9

10 Figura 8: Esquema de ligação do Circuito 5, para estudo das Leis de Kirchhoff. Figura 9: Placa de testes existente no laboratório de física B. ii. iii. iv. Identifique, no seu desenho, todos os nós e as malhas. Monte o circuito como planejado. Meça, sempre três vezes, os valores de tensão em cada resistor e de corrente em cada ramo do circuito. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 10

11 3. Tabela de Dados Tabela 1: Valores de resistência obtidos para os resistores da atividade prática sobre associação de resistores. Resistor Nº 1 Resistor Nº 2 Resistor Nº 3 Resistência Nominal (Ω) Resistência Nominal (Ω) Resistência Nominal (Ω) Tolerância Nominal (%) Tolerância Nominal (%) Tolerância Nominal (%) Resistência (Ω) Resistência (Ω) Resistência (Ω) Medida 1 Medida 1 Medida 1 Medida 2 Medida 2 Medida 2 Medida 3 Medida 3 Medida 3 Média Média Média Desvio Padrão Desvio Padrão Desvio Padrão s a s a s a s b s b s b s c s c s c Resultado Resultado Resultado Resistências Equivalentes Calculadas Associação em Série: R eq série (Ω) = ± Associação em Paralelo: R eq paralelo (Ω) = ± Tabela 2: Dados coletados na atividade prática sobre a associação em série de resistores. R total I total I resitor 1 I resitor 2 I resitor 3 V total V resitor 1 V resitor 2 V resitor 3 Associação em Série Medidas da Resistência Total R Medida (Ω) R total s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) Medidas de Corrente I Medida (ma) I s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (ma) (ma) (ma) (ma) Medidas de Tensão V Medida (V) V s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (V) (V) (V) (V) Resultado de R total Resultado de I Resultado de V Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 11

12 Tabela 3: Dados coletados na atividade prática sobre a associação em paralelo de resistores. R total I total I resitor 1 I resitor 2 I resitor 3 V total V resitor 1 V resitor 2 V resitor 3 Associação em Paralelo Medidas da Resistência Total R Medida (Ω) R total s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (Ω) (Ω) (Ω) (Ω) Medidas de Corrente I Medida (ma) I s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (ma) (ma) (ma) (ma) Medidas de Tensão V Medida (V) V s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (V) (V) (V) (V) Resultado de R total Resultado de I Resultado de V Tabela 4: Dados coletados na atividade prática sobre Leis de Kirchhoff. I 1 I 2 I 3 V resistor 1 V resistor 2 V resistor 3 Circuito N 0 5 Medidas de Corrente I Medida (ma) I s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (ma) (ma) (ma) (ma) Medidas de Tensão V Medida (V) V s a s b s c Medida 1 Medida 2 Medida 3 (V) (V) (V) (V) Resultado de I Resultado de V Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 12

13 4. Discussão 1ª e 2ª Partes: 1. Discuta os comportamentos observados nas lâmpadas nos circuitos das partes 1 e 2, nas diversas situações simuladas. 2. Ao observar a luminosidade das lâmpadas nos dois tipos de arranjo (série e paralelo), qual dos dois seria mais apropriado para se obter uma maior luminosidade? Explique. 3. Considerando um arranjo de lâmpadas em uma casa, discuta o que ocorre quando alguma lâmpada queima e, a partir disto, indique qual é a forma de arranjo comumente utilizada. 3ª e 4ª Partes: 1. Por meio dos valores medidos de Vtotal e Itotal determine a resistência equivalente do circuito e compare com o valor medido com o Ohmímetro e com o valor calculado. 2. Utilizando os valores de V1, V2, V3, I1, I2 e I3, determine os valores de resistência de cada resistor e compare com os valores medidos com o Ohmímetro. 3. Determine a Vtotal e Itotal utilizando os valores de V1, V2, V3, I1, I2 e I3, e compare com os valores medidos. 4. Qual a conclusão que se pode chegar sobre a diferença entre tensão e corrente em associações em série e paralelo. 5ª Parte: 1. Considerando os valores nominais de resistência, utilize as Leis de Kirchhoff para montar um sistema de equações e determinar os valores esperados para I1, I2, I3, V1, V2 e V3. 2. Compare os valores medidos com os valores estimados pelos cálculos. 3. Utilizando dos valores de corrente e tensão medidos experimentalmente, verifique a validade das Leis de Kirchhoff em todos os nós e malhas do circuito 5. Departamento de Física, Universidade Federal de Sergipe 13